6次元空間

6次元空間とは、6つの次元、6つの自由度を持ち、この空間内の位置を特定するために6つのデータ、つまり座標を必要とする空間のことです。このような空間は無数にありますが、最も興味深いのは、環境の何らかの側面をモデル化するより単純な空間です。特に興味深いのは、6次元ユークリッド空間。6次元多面体と5次元球面が構築されます。また、正と負の曲率が一定である 6次元楕円空間と双曲空間も研究されます。

正式には、6 次元ユークリッド空間は、この空間内のすべての実数6組を6ベクトルと見なすことによって生成されます。したがって、この空間はすべてのユークリッド空間の特性を持ち、線形であり、メトリックと一連のベクトル演算を備えています。特に、 2 つの 6 ベクトル間のドット積は簡単に定義でき、メトリックの計算に使用できます。6 × 6行列は、原点を固定した 回転などの変換を記述するために使用できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

より一般的には、必ずしもユークリッド座標である必要はなく、6 つの座標で局所的に記述できる空間はすべて6 次元です。1 つの例は、6 次元球面S ^{6です。これは、原点から固定距離にある}7 次元空間(ユークリッド)内のすべての点の集合です。この制約により、6 次元球面上の点を記述するために必要な座標の数が 1 つ減り、6 次元になります。このような非ユークリッド空間はユークリッド空間よりもはるかに一般的であり、6 次元でははるかに多くの用途があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$

6 次元の多面体は6 多面体と呼ばれます。最も研究されているのは正多面体で、 6 次元には 6 単体、6 立方体、6 正多面体の 3 つしかありません。より広いファミリーは一様 6 多面体で、これは反射の基本対称領域から構成され、各領域はCoxeter 群によって定義されます。各一様多面体は、環状Coxeter–Dynkin 図によって定義されます。6デミキューブは D ₆ファミリーからの唯一の多面体であり、2 ₂₁および1 _{22 の}多面体は E ₆ファミリーからのものです。

5次元球面、または6次元の超球面は、点から等距離にある5次元面です。記号はS ⁵で、半径r、中心が原点である 5次元球面の方程式は

${\displaystyle S^{5}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{6}:\|x\|=r\right\}.}$

この5次元球面に囲まれた6次元空間の体積は

${\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}r^{6}}{6}}}$

これは 5.16771 × r ⁶ 、つまり5 次元球面を含む 最小の6 次元立方体の 0.0807 です。

6次元球面、または7次元の超球面は、点から等距離にある6次元面です。記号はS ⁶で、半径r、中心が原点である 6次元球面の方程式は、

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

この6次元球面に囲まれた空間の体積は

${\displaystyle V_{7}={\frac {16\pi ^{3}r^{7}}{105}}}$

これは 4.72477 × r ⁷ 、つまり6 次元球面を含む 最小の7 次元立方体の 0.0369 です。

3次元空間では、剛体変換には6つの自由度、3つの座標軸に沿った3つの変換、および回転群SO(3)からの3つの変換があります。これらの変換は幾何学的構造が非常に異なるため、別々に扱われることがよくありますが、単一の6次元オブジェクトとして扱う方法もあります。

ねじ理論では、角速度と線速度が 1 つの 6 次元オブジェクトに結合され、ねじれと呼ばれます。レンチと呼ばれる同様のオブジェクトは、 6 次元の力とトルクを組み合わせます。これらは、参照フレームを変更すると線形に変換する 6 次元ベクトルとして扱うことができます。平行移動と回転はこのようには実行できませんが、指数関数によってねじれに関連付けられます。

位相空間は粒子の位置と運動量で構成される空間であり、これらを位相図にプロットして、量の関係を強調することができます。3次元で移動する一般的な粒子は、6次元の位相空間を持ちます。プロットするには多すぎますが、数学的に分析できます。^[1]

4 次元の回転群 SO(4) には 6 つの自由度があります。これは、回転を表す 4 × 4 行列を考えればわかります。これは直交行列であるため、行列は、たとえば主対角線上の 6 つの要素によって、符号の変更を除いて決定されます。ただし、このグループは線形ではなく、これまでに見た他のアプリケーションよりも複雑な構造になっています。

この群を見る別の方法は、四元数の乗算です。4 次元のすべての回転は、ベクトルの前後に 1 つずつ、単位四元数のペアを乗算することで実現できます。これらの四元数は、両方の符号が変わることを除いて一意であり、このように使用するとすべての回転が生成されます。そのため、それらの群の積S ³ × S ³は、6 次元を持つ必要がある SO(4) の 二重被覆です。

私たちが住んでいる空間は 3 次元であると考えられていますが、4 次元空間にも実用的な応用があります。3 次元での回転を記述する方法の 1 つである四元数は、4 次元空間で構成されます。たとえば、補間のための四元数間の回転は、4 次元で行われます。3つの空間次元と 1 つの時間次元を持つ時空も 4 次元ですが、ユークリッド空間とは構造が異なります。

電磁気学では、電磁場は一般に電場と磁場の2 つから構成されると考えられています。これらは両方とも 3 次元のベクトル場であり、マクスウェル方程式によって相互に関連付けられています。2 つ目のアプローチは、これらを 1 つのオブジェクト、つまり 6 次元の電磁テンソル(電磁場のテンソル値またはバイベクトル値表現) に結合することです。これを使用すると、マクスウェル方程式を 4 つの方程式から非常にコンパクトな 1 つの方程式に凝縮できます。

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}$

ここでFは電磁テンソルの2ベクトル形式、Jは4元電流、∂は適切な微分演算子である。^[2]

物理学における弦理論は、一般相対性理論と量子力学を単一の数学モデルで記述する試みです。これは宇宙をモデル化する試みですが、私たちがよく知っている時空の 4 次元よりも多くの次元を持つ空間で発生します。特に、弦理論の多くは 10 次元空間で発生し、6 次元が追加されます。これらの余分な次元は理論で必要ですが、観測できないため、まったく異なるものと考えられており、おそらく観測できないほど小さい特定の形状を持つ 6 次元空間を形成するようにコンパクト化されています。

1997年以来、6次元で機能する別の弦理論が明らかになりました。小弦理論は、 10次元弦理論の限界を考慮したときに生じる、5次元と6次元の非重力弦理論です。^[3]

上記の応用の多くは、4 次元の実数 6 次元バイベクトルを考慮することで代数的に相互に関連付けることができます。これらは、ユークリッド空間のバイベクトルの集合、または時空内のバイベクトルの集合に対して記述できます。Plücker 座標は のバイベクトルであり、前のセクションで説明した電磁テンソルは のバイベクトルです。バイベクトルを使用して、指数写像を通じてまたはの回転を生成できます(たとえば、 のすべてのバイベクトルの指数写像を適用すると、のすべての回転が生成されます)。また、 の修正された回転と考えることができる同次座標を通じて、3 次元の一般的な変換に関連付けることもできます。 ${\displaystyle \Lambda^{2}\mathbb{R}^{4}}$${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{3,1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

2ベクトルは4ベクトルのペア間の可能なウェッジ積の合計から生じる。したがって、 C4
2 = 6つの成分から成り、最も一般的には次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{12}+B_{13}\mathbf {e} _{13}+B_{14}\mathbf {e} _{14}+B_{23}\mathbf {e} _{23}+B_{24}\mathbf {e} _{24}+B_{34}\mathbf {e} _{34}}$

これらは、ベクトルのペアの積ですべて生成できない最初のバイベクトルです。生成できるものは単純バイベクトルであり、それらが生成する回転は単純回転です。4次元におけるその他の回転は二重回転と等傾斜回転であり、単一のウェッジ積では生成できない非単純バイベクトルに対応します。^[4]

6 ベクトルは、単に 6 次元ユークリッド空間のベクトルです。他の同様のベクトルと同様に線形であり、他の次元と同様に加算、減算、およびスケーリングできます。アルファベットの文字を使用するのではなく、高次元では通常、次元を指定するために接尾辞を使用するため、一般的な 6 次元ベクトルはa = (a 1 _、 a 2 _、 a 3 _{、 a 4} 、 a ₅、 a ₆ )と記述できます。このように記述すると、 6 つの基底ベクトルは (1、0、0、0、0、0)、(0、1、0、0、0、0) 、(0、0、1、0、0、0 ) 、(0、0、0、0、1、0、0)、(0、0、0、0、1、0)、(0、0、0、0、0、1、0)、(0、0、0、0、0、1)となります。

ベクトル演算子のうち、クロス積は6次元では使えません。その代わりに、2つの6次元ベクトルのウェッジ積は15次元の2重ベクトルになります。2つのベクトルの ドット積は

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+a_{5}b_{5}+a_{6}b_{6}.}$

これは、2つのベクトルとノルムの間の角度を求めるために使用できます。

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right\vert ={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}}}.}$

これは例えば6面体立方体の対角線を計算するのに使えます。1つの角が原点にあり、辺が軸に沿っていて、辺の長さが1の場合、反対側の角は(1, 1, 1, 1, 1, 1)にあり、そのノルムは

${\displaystyle {\sqrt {1+1+1+1+1+1}}={\sqrt {6}}=2.4495,}$

これはベクトルの長さであり、6 次元立方体の対角線の長さです。

1901年にJWギブスはベクトルに関する研究を発表したが、その中には彼がバイベクトルと呼ぶ6次元量が含まれていた。これは単一のオブジェクト内の2つの3次元ベクトルで構成され、彼はこれを使って3次元の楕円を記述した。他の技術が開発されたため使用されなくなり、バイベクトルという名前は現在では幾何代数学とより密接に関連している。^[5]

• Lounesto, Pertti (2001).クリフォード代数とスピノル. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-00551-7。

• アハロニー・オフェル（2000年）「「小さな弦理論」の簡単なレビュー」「古典重力と量子重力. 17 (5). arXiv : hep-th/9911147 . Bibcode :2000CQGra..17..929A. doi :10.1088/0264-9381/17/5/302.