畳み込み

{\displaystyle f} — 畳み込み、相互相関、自己相関の視覚的比較。関数を含む演算の場合 $f$ 高さを仮定すると $f$ は 1.0 であり、5 つの異なる点での結果の値は、各点の下の網掛け領域で示されています。 $f$ 理由は $f\star g$ そして $g*f$ この例では、両者は同一です。

数学（特に関数解析）において、畳み込みは2つの関数に対する数学演算である。 $f$ そして $g$ 第三の機能を生み出す $f*g$ これは、一方の関数をy軸に関して対称移動し、平行移動した後の2つの関数の積の積分として定義されます。畳み込みという用語は、結果として得られる関数と、それを計算するプロセスの両方を指します。積分はすべてのシフト値に対して評価され、畳み込み関数が生成されます。積分の前にどちらの関数を対称移動および平行移動するかを選択しても、積分の結果は変わりません（可換性を参照）。グラフ的には、一方の関数の「形状」が他方の関数によってどのように変化するかを表します。

畳み込みのいくつかの特徴は相互相関と似ています。実数値関数、連続変数または離散変数の場合、畳み込みは $f*g$ 相互相関とは異なる $f\star g$ どちらか一方に限って $f(x)$ または $g(x)$ 畳み込みでは y 軸に関して反転されるため、これは相互相関である。 $g(-x)$ そして $f(x)$ 、または $f(-x)$ そして $g(x)$ [ ^A^]複素数値関数の場合、相互相関演算子は畳み込み^演算子の随伴演算子です。

畳み込みには、確率、統計、音響、分光法、信号処理と画像処理、コンピュータビジョンと人間の視覚、地球物理学、工学、物理学、微分方程式などの応用分野があります。^{[ 1 ]}

畳み込みは、ユークリッド空間やその他の群（代数構造として）上の関数に対して定義できます。たとえば、離散時間フーリエ変換などの周期関数は、円上で定義され、周期畳み込みによって畳み込まれます。（ DTFT §特性の 18 行目を参照）。離散畳み込みは、整数の集合上の関数に対して定義できます。

畳み込みの一般化は、数値解析や数値線形代数の分野、および信号処理における有限インパルス応答フィルタの設計と実装に応用されている。

畳み込み演算の逆演算を計算することを逆畳み込みと呼びます。

意味

畳み込み $f$ そして $g$ 書かれている $f*g$ 記号で演算子を表す $*$ ^{[ B ]}これは、一方の関数をy軸に関して対称移動し、平行移動した後の2つの関数の積の積分として定義されます。したがって、これは特殊な種類の積分変換です。

(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .

同等の定義は（可換性を参照）：

(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .

シンボル $t$ 上記で使用されている場合、時間領域を表す必要はありません。 $t$ 畳み込み公式は、関数の下の面積として表すことができる。 $f(\tau )$ 関数によって重み付けされる $g(-\tau )$ 量だけシフト $t$ 。として $t$ 変更、重み付け関数 $g(t-\tau )$ 入力関数のさまざまな部分を強調する $f(\tau )$ ; もし $t$ 正の値である場合、 $g(t-\tau )$ に等しい $g(-\tau )$ に沿ってスライドまたは移動する $\displaystyle \tau }$ 右方向（右方向） $+\infty$ ） $t$ 、もし $t$ 負の値である場合、 $g(t-\tau )$ に等しい $g(-\tau )$ 左方向にスライドまたは移動する（ $-\infty$ ） $|t|$ 。

関数の場合 $f$ 、 $g$ のみサポートされています $[0,\infty )$ （つまり、負の引数の場合はゼロ）、積分範囲は切り捨てられ、結果として次のようになる。

(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .

畳み込みの多次元表現については、定義域（下記）を参照してください。

表記法

一般的な工学表記法は次のとおりです。^{[ 2 ]}

f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},

混乱を避けるためには、慎重に解釈する必要がある。例えば、 $f(t)*g(t-t_{0})$ と同等 $(f*g)(t-t_{0})$ 、しかし $f(t-t_{0})*g(t-t_{0})$ 実際には、 $(f*g)(t-2t_{0})$ [ ³^]

他の変換との関係

2つの関数が与えられた場合 $f(t)$ そして $g(t)$ 両側ラプラス変換（両側ラプラス変換）

F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u

そして

G(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v

それぞれ畳み込み演算 $(f*g)(t)$ は、の積の逆ラプラス変換として定義できる。 $F(s)$ そして $G(s)$ [ ^{4 ] [}⁵^{]より正確に}^は、

{\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s(u+v)}\ f(u)\ g(v)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}v\end{aligned}}

させて $t=u+v$ 、それから

{\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\ f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u} _{(f*g)(t)}\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}(f*g)(t)\ {\text{d}}t.\end{aligned}}

ご了承ください $F(s)\cdot G(s)$ は、の双方向ラプラス変換です。 $(f*g)(t)$ 同様の導出は、片側ラプラス変換（片側ラプラス変換）を用いても行うことができる。

畳み込み演算は、線形時不変（LTI）と呼ばれる重要な演算クラスの出力（入力に関して）も記述します。LTI制約の結果としての畳み込みの導出については、 LTIシステム理論を参照してください。LTI演算の入力と出力のフーリエ変換に関して言えば、新しい周波数成分は生成されません。既存の周波数成分は（振幅および/または位相）のみ変更されます。言い換えれば、出力変換は、入力変換と第3の変換（伝達関数として知られる）の点ごとの積です。畳み込みのこの性質の導出については、畳み込み定理を参照してください。逆に、畳み込みは、2つのフーリエ変換の点ごとの積の逆フーリエ変換として導出できます。

視覚的な説明

歴史的展開

畳み込み積分の初期の使用例の1つは、1754年に出版されたダランベールのテイラーの定理の導出に現れた。^{[ 6 ]}

また、次のような式も使用できます。

\int f(u)\cdot g(x-u)\,du

シルヴェストル・フランソワ・ラクロワは、百科事典シリーズ「微分積分計算論」（Chez Courcier、パリ、1797～1800年）全3巻のうち最後の巻である著書「差分と級数に関する論考」の505ページでこの用語を使用している。 ^[⁷^]その後まもなく、畳み込み演算はピエール・シモン・ラプラス、ジャン＝バティスト・ジョゼフ・フーリエ、シメオン・ドニ・ポアソンらの著作に登場する。この用語自体は1950年代または1960年代まで広く使われていなかった。それ以前は、ファルトゥング（ドイツ語で折り畳みを意味する）、合成積、重ね合わせ積分、カーソンの積分などと呼ばれていた。^[⁸^]しかし、1903年には既に登場しているが、古い用法では定義はあまり馴染みがない。^[⁹^]^[¹⁰^]

作戦：

\int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,

これは、 1913年にイタリアの数学者ヴィト・ヴォルテラが考察した合成積の特殊なケースである。^{[ 11 ]}

円形畳み込み

関数が $g_{T}$ 周期的であり、周期は $T$ 関数については、 $f$ 、したがって $f*g_{T}$ が存在する場合、畳み込みも周期的であり、以下と同一である。

(f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,

どこ $t_{0}$ は任意の選択です。この総和は関数の周期総和と呼ばれます。 $f$ 。

いつ $g_{T}$ 別の関数の周期的な総和であり、 $g$ 、それから $f*g_{T}$ は、円形または周期的な畳み込みとして知られています。 $f$ そして $g$ 。

そして、上記の周期的な総和が次のように置き換えられる場合 $f_{T}$ この操作は周期畳み込みと呼ばれます。 $f_{T}$ そして $g_{T}$ 。

離散畳み込み

複素数値関数の場合 $f$ そして $g$ 集合上で定義される $\mathbb {Z}$ 整数の離散畳み込み $f$ そして $g$ は次のように与えられる：^{[ 12 ]}

(f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],

または同等に（可換性を参照）次のように表すこともできます。

(f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].

2つの有限数列の畳み込みは、整数の集合上の有限個の台を持つ関数に数列を拡張することによって定義されます。数列が2つの多項式の係数である場合、 2つの多項式の通常の積の係数は、元の2つの数列の畳み込みになります。これは、数列の係数のコーシー積として知られています。

したがって、 $g が有限区間$ $[- m, + m]$ でゼロでない場合(たとえば、有限のインパルス応答を表す)、有限の総和を使用することができます。^{[ 13 ]}

(f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].

円形離散畳み込み

関数が $g_{_{N}}$ 周期的であり、周期は $N,$ 次に関数については、 $f,$ そのため $f*g_{_{N}}$ が存在する場合、畳み込みも周期的であり、以下と同一である。

(f*g_{_{N}})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{_{N}}[n-m].

総括 $k$ 関数の周期的な総和と呼ばれる $f.$

もし $g_{_{N}}$ 別の関数の周期的な総和であり、 $g,$ それから $f*g_{_{N}}$ は、 $f$ そして $g.$

両方の非ゼロ期間 $f$ そして $g$ 区間に限定される $[0,N-1],$ $f*g_{_{N}}$ 次のような一般的な形式に簡略化されます。

表記法 $f*_{N}g$ 巡回畳み込みは、整数の巡回群上での畳み込みを法 $N$ で表します。

円形畳み込みは、高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムを用いた高速畳み込みの文脈で最も頻繁に発生します。

高速畳み込みアルゴリズム

多くの状況において、離散畳み込みは円形畳み込みに変換できるため、畳み込み特性を持つ高速変換を使用して計算を実行できます。たとえば、数字列の畳み込みは多桁数の乗算における核となる演算であり、変換技術を使用して効率的に実装できます（Knuth 1997 、§4.3.3.C、von zur Gathen & Gerhard 2003 、§8.2）。

式1では $、出力値ごとにN回$ の算術演算が必要となり $、 N個の出力に対しては$ $N² 回の$ 演算が必要となります。これは、いくつかの高速アルゴリズムを用いることで大幅に削減できます。デジタル信号処理などのアプリケーションでは、一般的に高速畳み込みアルゴリズムを使用して、畳み込みの計算コストをO( $N$ log $N$ )にまで削減します。

最も一般的な高速畳み込みアルゴリズムは、円畳み込み定理を介して高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムを使用します。具体的には、 2 つの有限長シーケンスの円畳み込みは、各シーケンスの FFT を取得し、ポイントごとに乗算し、逆 FFT を実行することによって求められます。上記で定義されたタイプの畳み込みは、この手法をゼロ拡張および/または出力の一部を破棄することと組み合わせて使用することで効率的に実装されます。Schönhage –Strassen アルゴリズムや Mersenne 変換^[¹⁴^]などの他の高速畳み込みアルゴリズムは、他のリングで高速フーリエ変換を使用します。Winograd 法は FFT の代替として使用されます。^[¹⁵^{]これは 1D、}^[¹⁶^] 2D、^[¹⁷^]および 3D ^[¹⁸^]畳み込みを大幅に高速化します。

一方のシーケンスが他方のシーケンスよりはるかに長い場合、短いシーケンスのゼロ拡張と高速円形畳み込みは、利用可能な最も計算効率の良い方法ではありません。^{[ 19 ]}代わりに、長いシーケンスをブロックに分解し、各ブロックを畳み込むことで、オーバーラップ保存法やオーバーラップ加算法などのより高速なアルゴリズムが可能になります。^{[ 20 ]}ブロックアルゴリズムとFIRアルゴリズムを組み合わせたハイブリッド畳み込み法は、リアルタイム畳み込み計算に役立つゼロ入出力遅延を可能にします。^{[ 21 ]}

定義領域

$R d$ 上の 2 つの複素数値関数の畳み込みは、それ自体が $R d$ 上の複素数値関数であり、次のように定義されます。

(f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,

そして、積分が存在するためには、 $f$ と $g が$ 無限遠で十分に急速に減衰する場合にのみ、適切に定義されます。畳み込みの存在条件は、 $gの無限遠での爆発が$ $f$ の十分に急速な減衰によって容易に相殺される可能性があるため、厄介な場合があります。したがって、存在の問題には、 $f$ と $g$ に関する異なる条件が含まれる可能性があります。

コンパクトにサポートされた機能

$f$ と $g が$ コンパクト台を持つ連続関数である場合、それらの畳み込みが存在し、コンパクト台を持ち連続である（Hörmander 1983 、第 1 章）。より一般的には、いずれかの関数（例えば $f$ ）がコンパクト台を持ち、もう一方の関数が局所的に積分可能である場合、畳み込み $f * g$ は適切に定義され連続である。

$f$ と $g$ の畳み込みは、両方の関数が $R$ 上で局所的に二乗積分可能であり、 $[a, +\infty)$ の形の区間でサポートされている場合 (または両方とも $[-\infty, a]$ でサポートされている場合) にも適切に定義されます。

積分可能な関数

$f$ と $g$ の畳み込みは、 $f$ と $g が$ 両方とも $L$ $1$ ( $R$ $d$ )のルベーグ積分可能な関数である場合に存在し、この場合 $f$ $*$ $g$ も積分可能です( Stein & Weiss 1971 、定理 1.3) 。これはトネリの定理の結果です。これは、離散畳み込みの下での $L$ $1$ の関数、またはより一般的には任意の群上の畳み込みについても真です。

同様に、 $f \in L 1$ ( $R d$ ) かつ $g$ $\in$ $L$ $p$ ( $R$ $d$ )で $1 \leq$ $p$ $\leq \infty$ の場合、 $f$ $*$ $g$ $\in$ $L$ $p$ ( $R$ $d$ ) となり、

\|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.

特に $p = 1 の$ 場合、これは $L 1 が$ 畳み込みの下でバナッハ代数であることを示している（そして、 $f$ と $g$ がほとんど至るところで非負であれば、両辺の等号が成り立つ）。

より一般的には、ヤングの不等式は、畳み込みが適切な $L p$ 空間間の連続双線形写像であることを意味します。具体的には、 $1 \leq p 、 q 、 r \leq \infty が$ 以下を満たす場合です。

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,

それから

\left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q},

したがって、畳み込みは $L p \times L q$ $からL r$ への連続双線形写像である。畳み込みに関するヤングの不等式は、他の文脈（円群、 $Z$ 上の畳み込み）でも成り立つ。上記の不等式は実数直線上では厳密ではない。1 $< p, q, r < \inftyの場合、定数$ $B p, q < 1$ が存在し、次のようになる。

\left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q}.

$B p 、 q$ の最適値は1975 年に^{[ 22 ]}および 1976 年に独立して^{[ 23 ]}発見されました。ブラスカンプ–リーブの不等式を参照してください。

$1 < p, q, r < \infty$ の場合、より強い推定が成り立つ。

\|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}

どこ $\|g\|_{q,w}$ は弱い $L q$ ノルムです。畳み込みは双線形連続写像も定義します。 $L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}$ のために $1<p,q,r<\infty$ ヤングの不等式が弱いため：^{[ 24 ]}

\|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.

急速な崩壊の機能

コンパクト台を持つ関数や積分可能な関数に加えて、無限遠で十分に急激に減衰する関数も畳み込みが可能です。畳み込みの重要な特徴は、fとg の両方が急激に減衰する場合、f ∗ gも急激に減衰することです。特に、fとg が急激に減少する関数であれば、畳み込みf ∗ gも急激に減少します。畳み込みが微分と可換であるという事実（#Properties を参照）と組み合わせると、シュワルツ関数のクラスは畳み込みに関して閉じていることがわかります（Stein & Weiss 1971 、定理 3.3）。

分布

fがコンパクトな台を持つ滑らかな関数であり、gが分布である場合、 f ∗ gは次のように定義される滑らかな関数である。

\int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy=(f*g)(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}).

より一般的には、畳み込みの定義を次のように一意に拡張することが可能です。 $\varphi$ 上記のfと同じなので、結合法則

f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi

fが分布であり、gがコンパクトサポート分布である場合にも有効である（Hörmander 1983 、§4.2）。

対策

有界変動の任意の 2 つのボレル測度μとνの畳み込みは、測度である。 $\mu *\nu$ （ルーディン 1962 ）によって定義された

\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu )(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y).

特に、

(\mu *\nu )(A)=\int _{\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}}1_{A}(x+y)\,d(\mu \times \nu )(x,y),

どこ $A\subset \mathbf {R} ^{d}$ は測定可能な集合であり、 $1_{A}$ は、 $A$ 。

これは、μとνを分布とみなした場合の上記の畳み込み、およびμとνがルベーグ測度に関して絶対連続である場合のL1関数^{の畳み込みと一致する。}

測度の畳み込みは、ヤングの不等式の次のバージョンも満たす。

\|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|

ここで、ノルムは測度の全変動を表します。有界変動の測度の空間はバナッハ空間であるため、測度の畳み込みは、分布の畳み込みには適用できない可能性のある標準的な関数解析の手法で扱うことができます。

物件

代数的性質

畳み込みは、可積分関数の線形空間上の積を定義します。この積は次の代数的性質を満たし、形式的には、畳み込みによって与えられる積を持つ可積分関数の空間は単位元を持たない可換結合代数であることを意味します（Strichartz 1994 、§3.3）。コンパクト台を持つ連続関数の空間など、他の関数の線形空間も畳み込みに関して閉じているため、同様に可換結合代数を形成します。

可換性: $f*g=g*f$ 証明：定義により： $(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$ 積分変数を変更する $u=t-\tau$ 結果は以下の通り。

連想性: $f*(g*h)=(f*g)*h$ 証明：これはフビニの定理（すなわち、二重積分はどちらの順序でも反復積分として評価できる）を用いることで導かれる。

分配性: $f*(g+h)=(f*g)+(f*h)$ 証明：これは積分の線形性から導かれる。

スカラー乗法における結合法則: $a(f*g)=(af)*g$ 任意の実数（または複素数）に対して $a$ 。

乗法的な単位元: 関数代数には畳み込みの恒等式は存在しない。畳み込みを行う関数のほとんどの集合はデルタ分布（ゼロを中心とするユニタリインパルス）で畳み込むことができるか、少なくとも（L ¹の場合のように）恒等式の近似を許容するため、恒等式がないことは通常は大きな不都合ではない。しかし、コンパクト台を持つ分布の線形空間は、畳み込みの下で恒等式を許容する。具体的には、 $f*\delta =f$ ここで、δはデルタ分布を表す。

逆要素: 一部の分布Sは畳み込みに対して逆元S ⁻¹を持ち、それは次の条件を満たす必要がある。 $S^{-1}*S=\delta$ そこからS ⁻¹の明示的な式が得られる。
可逆分布の集合は、畳み込みの下でアーベル群を形成する。

複雑な共役: ${\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}$

時間反転: もし $q(t)=r(t)*s(t),$ それから $q(-t)=r(-t)*s(-t).$

証明（畳み込み定理を使用）：
$q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)$
$q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)$
${\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}$

分化との関係: $(f*g)'=f'*g=f*g'$ 証拠：; ${\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}$

統合との関係: もし ${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}$ そして ${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}$ それから $(F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .$

統合

fとgが積分可能な関数である場合、全空間におけるそれらの畳み込みの積分は、それらの積分の積として単純に得られます。^{[ 25 ]}

\int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).

これはフビニの定理から導かれる。トネリの定理によれば、 fとgが非負の可測関数であると仮定した場合でも、同じ結果が得られる。

分化

1変数の場合、

{\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}

どこ ${\frac {d}{dx}}$ は導関数です。より一般的には、多変数関数の場合、偏導関数についても同様の式が成り立ちます。

{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.

このことから、畳み込みは「平滑化」演算と見なすことができるという特別な結果が生じる。つまり、fとgの畳み込みは、 fとgの合計微分回数と同じ回数だけ微分可能である。

これらの恒等式は、例えば、fとg が絶対積分可能であり、かつ少なくとも一方が絶対積分可能な (L ^{1 ) 弱微分を持つという条件の下で、}ヤングの畳み込み不等式の結果として成り立つ。例えば、fがコンパクトな台を持つ連続微分可能であり、g が任意の局所積分可能な関数である場合、

{\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.

これらの恒等式は、 fまたはgのいずれかが急速に減少する緩増加関数、コンパクト台を持つ緩増加関数、またはシュワルツ関数であり、もう一方が緩増加関数である場合、緩増加関数の意味でより広く成り立ちます。一方、2 つの正の積分可能かつ無限回微分可能な関数は、どこでも連続でない畳み込みを持つ場合があります。

離散的な場合、差分演算子D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) は同様の関係を満たす。

D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).

畳み込み定理

畳み込み定理によれば^{[ 26 ]}

{\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}

どこ ${\mathcal {F}}\{f\}$ はフーリエ変換を表す。 $f$ 。

他の種類の変換における畳み込み

この定理の変形版は、ラプラス変換、両側ラプラス変換、Z変換、およびメリン変換にも適用できる。

行列の畳み込み

もし ${\mathcal {W}}$ はフーリエ変換行列であり、

{\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y

、

どこ $\bullet$ 顔面分割製品である、^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}^{[ 31 ]} $\otimes$ はクロネッカー積を表します。 $\circ$ はアダマール積を表します（この結果はカウントスケッチ特性の発展です^{[ 32 ]}）。

これは適切な行列に対して一般化できる。 $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ :

{\mathcal {W}}\left((\mathbf {A} x)\ast (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {W}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {W}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {W}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {W}}\mathbf {B} y)

面分割生成物の特性から。

翻訳等変性

畳み込みは並進と可換である。つまり、

\tau _{x}(f*g)=(\tau _{x}f)*g=f*(\tau _{x}g)

ここで、τ _x f は、関数fのxによる平行移動であり、次のように定義される。

(\tau _{x}f)(y)=f(y-x).

fがシュワルツ関数である場合、τ _x fは平行移動したディラックのデルタ関数との畳み込みτ _x f = f ∗ τ _x δとなります。したがって、シュワルツ関数の畳み込みの平行移動不変性は、畳み込みの結合法則の結果です。

さらに、特定の条件下では、畳み込みは最も一般的な並進不変演算である。非公式に言えば、以下が成り立つ。

Sが関数に作用する有界線形演算子であり、並進と可換であると仮定します。すなわち、すべてのxに対してS ( τ _x f ) = τ _x ( Sf ) です。このとき、Sは関数 (または分布) g _Sとの畳み込みとして与えられます。つまり、Sf = g _S ∗ fです。

したがって、一部の並進不変演算は畳み込みとして表現できます。畳み込みは、時間不変システム、特にLTIシステム理論の研究において重要な役割を果たします。表現関数g _Sは、変換Sのインパルス応答です。

上記の定理のより正確なバージョンでは、畳み込みが定義される関数のクラスを指定する必要があり、さらに、S が適切な位相に関して連続線形作用素でなければならないと仮定する必要があります。たとえば、L ^{1上のすべての連続並進不変連続線形作用素は、有限}ボレル測度との畳み込みであることが知られています。より一般的には、 1 ≤ p < ∞ のL ^p上のすべての連続並進不変連続線形作用素は、フーリエ変換が有界である緩増加分布との畳み込みです。つまり、それらはすべて有界フーリエ乗数によって与えられます。

グループに対する畳み込み

Gが測度λを備えた適切な群であり、fとg がG上の実数値または複素数値の可積分関数である場合、それらの畳み込みは次のように定義できます。

(f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).

一般には可換ではありません。典型的な興味深いケースでは、Gは局所コンパクトハウスドルフ位相群であり、λ は（左）ハール測度です。この場合、Gがユニモジュラーでない限り、このように定義された畳み込みは、 ${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$ 一方の優先は、固定関数gとの畳み込みが群における左平行移動と可換になるように行われる。

L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.

さらに、この慣例は、後述する測度の畳み込みの定義との整合性を保つためにも必要である。ただし、左ハール測度ではなく右ハール測度を用いる場合は、後者の積分の方が前者よりも好ましい。

局所的にコンパクトなアーベル群では、畳み込み定理の一種が成り立ちます。畳み込みのフーリエ変換は、フーリエ変換の点ごとの積になります。^ルベーグ測度を持つ円群T は、その直接的な例です。L 1 ( T )内の固定されたgに対して、ヒルベルト空間L ² ( T )上で作用する次のよく知られた演算子があります。

T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.

演算子Tはコンパクトである。直接計算すると、その随伴演算子T*はと畳み込みであることがわかる。

{\bar {g}}(-y).

上記の可換性により、Tは正規演算子である。T * T = TT * 。また、Tは並進演算子と可換である。このような畳み込みと並進演算子からなる演算子の族Sを考える。すると、 Sは正規演算子の可換族となる。スペクトル理論によれば、 S を同時に対角化する正規直交基底 { h _k }が存在する。これは円上の畳み込みを特徴づける。具体的には、次のようになる。

h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;

これらはまさにTの特性である。各畳み込みは、この基底におけるコンパクトな乗算演算子である。これは、上で説明した畳み込み定理の一種と見なすことができる。

離散的な例としては、位数nの有限巡回群が挙げられます。畳み込み演算子は巡回行列で表され、離散フーリエ変換によって対角化できます。

コンパクト群（必ずしもアーベル群ではない）についても同様の結果が得られます。有限次元ユニタリ表現の行列係数は、ピーター・ワイルの定理によりL2^空間の正規直交基底を形成し、畳み込み定理の類似が、フーリエ変換に依存する調和解析の他の多くの側面とともに引き続き成り立ちます。

尺度の畳み込み

G を（乗法的に表記された）位相群とする。μ と ν が G 上のラドン測度である場合、それらの畳み込みμ ∗ νは群作用のプッシュフォワード測度として定義され、 ^[³³^]のように記述できる。

(\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)

Gの各可測部分集合Eに対して。畳み込みはラドン測度でもあり、その全変動は以下を満たす。

\|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.

G が(左) Haar 測度λ で局所的にコンパクトであり、μ と ν がλ に関して絶対連続である場合、つまりそれぞれが密度関数を持つ場合、畳み込み μ∗ν も絶対連続であり、その密度関数は 2 つの別々の密度関数の畳み込みになります。実際、いずれかの測度が Haar 測度に関して絶対連続であれば、それらの畳み込みも絶対連続になります。^[³⁴^]

μとνが位相群( R ,+)上の確率測度である場合、畳み込みμ ∗ νは、それぞれの分布がμとνである2つの独立な確率変数XとYの和X + Yの確率分布です。

最小畳み込み

凸解析では、適切な (同一ではない) の最小畳み込みは、 $+\infty$ 凸関数 $f_{1},\dots ,f_{m}$ の上 $\mathbb {R} ^{n}$ は次のように定義されます: ^{[ 35 ]} $(f_{1}*\cdots *f_{m})(x)=\inf _{x}\{f_{1}(x_{1})+\cdots +f_{m}(x_{m})|x_{1}+\cdots +x_{m}=x\}.$ 凸関数の最小畳み込みは凸関数であることが示せる。さらに、従来の畳み込みのフーリエ変換と同様の恒等式を満たし、フーリエ変換の役割はルジャンドル変換によって担われる。 $\varphi ^{*}(x)=\sup _{y}(x\cdot y-\varphi (y)).$ 我々は持っています： $(f_{1}*\cdots *f_{m})^{*}(x)=f_{1}^{*}(x)+\cdots +f_{m}^{*}(x).$

双代数

( X , Δ, ∇, ε , η ) を、余乗法 Δ、乗法 ∇、単位 η、余単位 ε を持つ双代数とする。畳み込みは、自己準同型代数 End( X ) 上で次のように定義される積である。φ , ψ ∈ End ( X ) 、すなわちφ , ψ : X → XがXのすべての代数構造を尊重する関数であるとすると、畳み込みφ ∗ ψは合成として定義される。

X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.

畳み込みは、ホップ代数の定義（Kassel 1995 、§III.3）に顕著に現れる。双代数がホップ代数であるのは、それが対蹠点、すなわち自己準同型Sを持ち、

S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .

アプリケーション

畳み込み演算および関連する演算は、科学、工学、数学の多くの分野で応用されている。

畳み込みニューラルネットワークは、機械視覚や人工知能に応用される複数のカスケード畳み込みカーネルを適用します。^[³⁶^]^[³⁷^]ただし、これらは実際には畳み込みではなく相互相関です。 ^[³⁸^]
ニューラルネットワークに基づかない画像処理では
- デジタル画像処理において、畳み込みフィルタリングは、エッジ検出や関連処理における多くの重要なアルゴリズムで重要な役割を果たします（カーネル（画像処理）を参照）。
- 光学において、ピントの合っていない写真は、鮮明な画像とレンズ関数との畳み込みによって得られる。写真用語では、これをボケと呼ぶ。
- ぼかし効果の追加などの画像処理アプリケーションにおいて。
デジタルデータ処理において
- 分析化学において、サビツキー・ゴレイ平滑化フィルターは分光データの解析に用いられる。これにより、スペクトルの歪みを最小限に抑えつつ、信号対雑音比を向上させることができる。
- 統計学において、加重移動平均は畳み込み演算の一種である。
音響学において、残響とは、元の音と音源を取り囲む物体からの反響音との畳み込みのことである。
- デジタル信号処理において、畳み込み演算は、実際の部屋のインパルス応答をデジタル音声信号にマッピングするために使用される。
- 電子音楽における畳み込みとは、音にスペクトル構造またはリズム構造を付加することである。多くの場合、このエンベロープまたは構造は別の音から取られる。2つの信号の畳み込みは、一方を他方を通してフィルタリングすることである。^{[ 39 ]}
電気工学において、ある関数（入力信号）と別の関数（インパルス応答）の畳み込みによって、線形時不変システム（LTI）の出力が得られます。任意の時点における出力は、入力関数の過去のすべての値の累積効果であり、通常は最新の値が最も大きな影響力（乗数として表される）を持ちます。インパルス応答関数は、各入力値が発生してから経過した時間の関数として、その係数を提供します。
物理学において、「重ね合わせの原理」が成り立つ線形システムが存在する場合、必ず畳み込み演算が登場します。例えば、分光法では、ドップラー効果による線幅の広がりだけではガウス型のスペクトル線形状が得られ、衝突による線幅の広がりだけではローレンツ型の線形状が得られます。両方の効果が同時に作用する場合、線形状はガウス型とローレンツ型の畳み込み、すなわちフォークト関数となります。
- 時間分解蛍光分光法では、励起信号はデルタパルスの連鎖として扱うことができ、測定される蛍光は各デルタパルスからの指数関数的減衰の合計となる。
- 計算流体力学において、大規模渦シミュレーション（LES）乱流モデルは、畳み込み演算を用いて計算に必要な長さスケールの範囲を縮小し、それによって計算コストを削減する。
確率論において、 2つの独立な確率変数の和の確率分布は、それぞれの確率分布の畳み込みによって表される。
- カーネル密度推定では、等方性ガウス分布などのカーネルとの畳み込みによってサンプル点から分布が推定されます。^{[ 40 ]}
放射線治療計画システムでは、現代の計算コードの大部分が畳み込み重ね合わせアルゴリズムを採用している。
構造信頼性においては、信頼性指標は畳み込み定理に基づいて定義することができる。
- 非正規分布を持つ限界状態関数の信頼性指標の定義は、同時分布関数に対応して確立することができる。実際、同時分布関数は畳み込み理論を用いて得ることができる。^{[ 41 ]}
平滑化粒子流体動力学では、流体動力学のシミュレーションは、それぞれが周囲にカーネルを持つ粒子を使用して計算されます。任意の粒子について $i$ 何らかの物理量 $A_{i}$ は畳み込みとして計算されます $A_{j}$ 重み付け関数を用いて、 $j$ 粒子の近傍を表す $i$ : カーネル内に位置するもの。畳み込みは各近傍の総和として近似される。^{[ 42 ]}
分数階微積分において、畳み込みは分数階積分および分数階微分の様々な定義において重要な役割を果たす。

注記

↑
反省の理由としては、以下の点が挙げられます。
- フーリエ変換の点ごとの積に相当するものを実装する必要がある。 $f$ そして $g$ 。
- 畳み込みを移動加重平均と見なすと、重み関数は、 $g(-x)$ は、別の関数の観点から指定されることが多い。 $g(x)$ これは、線形時不変システムのインパルス応答と呼ばれる。
↑記号U+2217 ∗アスタリスク演算子は、複雑な共役を表すためによく使用されるU+002A *アスタリスクとは異なります。アスタリスク §数学的タイポグラフィを参照してください。

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外部リンク

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https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution離散畳み込みオンライン計算機
https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html JavaScriptによる畳み込みのデモと可視化
https://phiresky.github.io/convolution-demo/ JavaScriptによる別の畳み込みデモ
画像処理に関する講義：ヴァンダービルト大学による18の講義をPDF形式で収録。第7講義は2次元畳み込みについて。（アラン・ピーターズ著）
畳み込みカーネルマスク操作のインタラクティブチュートリアル
MathWorldにおける畳み込み
Freeverb3 インパルス応答プロセッサー：VSTプラグイン対応のオープンソース・ゼロレイテンシー・インパルス応答プロセッサー
スタンフォード大学CS 178のインタラクティブなFlashデモ。空間畳み込みの仕組みを示しています。
サルマン・カーンによる畳み込みに関するビデオ講義
パターン認識（画像処理）におけるFFT畳み込みの例
畳み込みの直感的な解説畳み込みの直感的な解釈についてのブログ記事。

[1] 反省の理由としては、以下の点が挙げられます。
フーリエ変換の点ごとの積に相当するものを実装する必要がある。 $f$ そして $g$ 。
畳み込みを移動加重平均と見なすと、重み関数は、 $g(-x)$ は、別の関数の観点から指定されることが多い。 $g(x)$ これは、線形時不変システムのインパルス応答と呼ばれる。

[mwBNA] フーリエ変換の点ごとの積に相当するものを実装する必要がある。 $f$ そして $g$ 。

[mwBOM] 畳み込みを移動加重平均と見なすと、重み関数は、 $g(-x)$ は、別の関数の観点から指定されることが多い。 $g(x)$ これは、線形時不変システムのインパルス応答と呼ばれる。

[3] 記号U+2217 ∗アスタリスク演算子は、複雑な共役を表すためによく使用されるU+002A *アスタリスクとは異なります。アスタリスク §数学的タイポグラフィを参照してください。

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