三次方程式

代数学において、1 変数の3 次方程式は、aが 0 ではない形式の 方程式です。 $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

この方程式の解は、方程式の左辺で定義される3 次関数の根と呼ばれます。3次方程式の係数a、b、c、dがすべて実数である場合、少なくとも 1 つの実根が存在します (これはすべての奇数次多項式関数に当てはまります)。3 次方程式のすべての根は、次の方法で求めることができます。

• 代数的には、より正確には、4 つの係数、4 つの基本的な算術演算、平方根、および3 乗根を含む3次式で表すことができます。(これは2 次方程式や4次方程式にも当てはまりますが、アーベル・ルフィニの定理により、より高次の方程式には当てはまりません。)
• 三角法で
• 根の数値近似値は、ニュートン法などの根探索アルゴリズムを使用して求めることができます。

係数は実数である必要はありません。以下で説明する内容の多くは、 2 と 3 以外の特性を持つ任意の体の係数に当てはまります。3 次方程式の解は、必ずしも係数と同じ体に属するわけではありません。たとえば、有理係数を持つ 3 次方程式の中には、無理数 (実数ではない数) の複素数根を持つものもあります。

三次方程式は、古代バビロニア人、ギリシャ人、中国人、インド人、エジプト人には知られていました。^{[1] [2] [3]} バビロニア（紀元前20世紀から16世紀）の楔形文字の粘土板には、立方数と立方根を計算するための表が見つかっています。^{[4] [5]}バビロニア人は三次方程式を解くのにその表を使用した可能性がありますが、実際に使用したという証拠はありません。^[6]立方数を2倍にする問題は、最も単純で最も古くから研究されている三次方程式に関係しており、古代エジプト人はその解法が存在しないと考えていました。^[7]紀元前5世紀に、ヒポクラテスはこの問題を、ある直線とその2倍の長さの別の直線との間の2つの平均比例を求める問題に簡略化しましたが、コンパスと定規を使った作図ではこれを解くことができませんでした。^[8]この作業は現在では不可能であることがわかっています。三次方程式を解く方法は、紀元前2世紀頃に編纂され、3世紀に劉徽によって注釈が付けられた中国の数学書『九章算術』^{に記載されている。 [2]}

紀元後3世紀、ギリシャの数学者 ディオファントスは、いくつかの2変数3次方程式（ディオファントス方程式）の整数解または有理数解を発見した。^{[3] [9]}ヒポクラテス、メナエクモス、アルキメデスは、交差する円錐曲線を使用して立方体の2倍の問題を解くところまで到達したと考えられているが、^[8]レビエル・ネッツなどの歴史家は、ギリシャ人が3次方程式について考えていたのか、それとも3次方程式につながる問題だけを考えていたのかについて異論を唱えている。アルキメデスの著作をすべて翻訳したTLヒースなど一部の人はこれに反対し、アルキメデスが実際に2つの円錐曲線の交差を使用して3次方程式を解いたという証拠を提示しながらも、根が0、1、または2である条件についても議論した。^[10]

7世紀、唐代の天文学者で数学者の王暁同は、数学論文『集古算経』の中で、 x ³ + px ² + qx = Nの形の3次方程式25個を体系的に構築し、数値的に解きました。そのうち23個はp、q ≠ 0であり、2個はq = 0でした。^[11]

11世紀、ペルシャの詩人で数学者のオマール・ハイヤーム（1048-1131）は、3次方程式の理論で大きな進歩を遂げた。初期の論文で、彼は3次方程式が複数の解を持つことを発見し、コンパスと定規を使った作図では解けないと述べた。また、幾何学的な解も発見した。^{[12] [a]}後年の著作『代数学の問題の証明に関する論文』では、交差する円錐曲線によって一般的な幾何学的解が見出された3次方程式の完全な分類を記した。^{[13] [14]}ハイヤームは、3次根を求める代数式を考え出そうとした。彼は次のように書いている。

「我々はこれらの根源を代数で表現しようとしたが失敗した。しかし、我々の後継者たちは成功するかもしれない。」^[15]

12世紀、インドの数学者バースカラ2世は3次方程式の解法を試みたが、大部分は成功しなかった。しかし、彼は3次方程式の例を1つ挙げている：x ³ + 12 x = 6 x ² + 35。^[16] 12世紀には、別のペルシャの数学者シャラフ・アルディーン・アルトゥースィー（1135–1213）が『方程式論』を著し、正の解を持つ8種類の3次方程式と、正の解を持たない可能性のある5種類の3次方程式を扱った。彼は、後にホーナー・ルフィニ法として知られるようになる方法を用いて、 3次方程式の根を数値的に近似した。また、曲線の最大値と最小値の概念を用いて、正の解を持たない可能性のある3次方程式を解いた。^[17]彼は、特定のタイプの3次方程式の代数解を見つけるために、3次方程式の判別式の重要性を理解していました。 ^[18]

レオナルド・デ・ピサ（フィボナッチとしても知られる、1170–1250）は、著書『花』の中で、三次方程式x ³ + 2 x ² + 10 x = 20の正の解を近似することに成功した。バビロニア数字で書き表すと、彼はその結果を 1,22,7,42,33,4,40 （ 1 + 22/60 + 7/60 ²  + 42/60 ³  + 33/60 ⁴ +  4/60 ⁵  + 40/60 ⁶に相当）と示し、相対誤差は約 10 ⁻⁹であった。^[19]

16 世紀初頭、イタリアの数学者シピオーネ・デル・フェロ(1465–1526) は、 x ³ + mx = nの形式の三次方程式を解く方法を発見しました。実際、mとn が負の数であることを許容すれば、すべての三次方程式はこの形式に簡約できますが、当時のデル・フェロは負の数を知りませんでした。デル・フェロは死の直前まで自分の業績を秘密にしていましたが、死の直前に弟子のアントニオ・フィオールにそのことを伝えました。

1535年、ニッコロ・タルタリア（1500年 - 1557年）はズアンネ・ダ・コーイから3次方程式の問題を2つ受け取り、それを解けると発表した。すぐにフィオールがタルタリアに挑戦し、2人の間で有名なコンテストが行​​われた。参加者はそれぞれ一定額の賞金を出し、対戦相手に解かせる問題をいくつか提案しなければならなかった。30日以内により多くの問題を解いた人が賞金全額を獲得するというものだった。タルタリアはx ³ + mx = nという形式の問題を受け取り、それに対する一般的な方法を編み出していた。フィオールはx ³ + mx ² = nという形式の問題を受け取り、それを解くのは難しすぎたため、タルタリアがコンテストに勝利した。

その後、タルタリアはジェロラモ・カルダーノ(1501–1576)に説得され、三次方程式を解く秘密を明かした。1539 年、タルタリアはカルダーノが秘密を明かさないこと、また三次方程式に関する本を書く場合は出版する時間を与えることを条件に、タルタリアに秘密を明かした。数年後、カルダーノはデル・フェロの以前の研究について知り、1545 年にデル・フェロの手法を著書「アルス・マグナ」で出版した。つまり、カルダーノはタルタリアに結果を出版する 6 年の猶予を与えたことになる (タルタリアは独立した解法の功績を認められた)。

カルダーノはタルタリアとの約束でタルタリアの著作を出版しないとしており、カルダーノは約束を破るためにデル・フェッロの著作を出版していると感じていた。しかし、タルタリアはカルダーノに挑戦状をたたきつけたが、カルダーノはそれを拒否した。この挑戦は最終的にカルダーノの弟子ロドヴィーコ・フェラーリ（1522年 - 1565年）によって受け入れられた。フェラーリは競争でタルタリアよりも良い成績を収め、タルタリアは名声と収入の両方を失った。^[20]

カルダノは、タルタリアの方法では負の数の平方根を求める必要があることに気づいた。彼はこれらの複素数を使った計算を『アルス・マグナ』に収録したが、彼はそれを本当に理解していなかった。ラファエル・ボンベッリはこの問題を詳細に研究したため^[21]、複素数の発見者とみなされることが多い。

フランソワ・ヴィエト（1540–1603）は独立に3つの実根を持つ三次方程式の三角関数の解を導き出し、ルネ・デカルト（1596–1650）はヴィエトの研究を拡張した。^[22]

3次方程式の係数が有理数である場合、すべての係数にその分母の 公倍数を掛けることで、整数係数を持つ同等の方程式を得ることができます。このような整数係数を持つ方程式は、左辺の多項式が低次多項式の積である場合に既約で あると言われます。ガウスの補題により、方程式が既約である場合、因子は整数係数を持つと想定できます。 $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$$

約分可能な 3 次方程式の根を求めるのは、一般的な場合を解くよりも簡単です。実際、方程式が約分可能な場合、因数の 1 つは次数 1 である必要があり、したがって qとp が互いに素な整数 である形式になります。有理根テストでは、有限個のケースを調べることでqとp を見つけることができます( q はaの約数でなければならず、p はdの約数でなければならないため)。 $${\displaystyle qx-p}$$

したがって、1 つの根は であり、他の根は多項式の長除法によって求められる他の因数の根です。この他の因数は です (係数は整数ではないように見えますが、 p / qが根である 場合は整数でなければなりません。)${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},}$$${\displaystyle {\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}}$$

そして、他の根はこの二次多項式の根であり、二次方程式の公式を使用して求めることができます。

形の 3 次方程式は 凹型であると言われています。これらは一般の 3 次方程式よりもはるかに単純ですが、変数を単純に変更するだけで任意の 3 次方程式の研究を凹型 3 次方程式の研究に簡略化できるため、基本的なものです。 $${\displaystyle t^{3}+pt+q}$$

を 3 次方程式とします 。変数変換により、 t ²に項がない 3 次 ( t ) 方程式が得られます。 $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$$${\displaystyle x=t-{\frac {b}{3a}}}$$

1で割ると、次の3次方程式 が得られます 。 $${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}}$$

元の方程式の根は、 の関係によって、低下した方程式の根に関連付け られます 。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}}$$${\displaystyle x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},}$$${\displaystyle i=1,2,3}$

3次方程式の根の性質（実数かどうか、異なるかどうか）は、判別式を使用することで、明示的に計算しなくても決定できます。

多項式の判別式は係数の関数であり、多項式が重根を持つ場合、または非定数多項式の平方で割り切れる場合にのみ 0 になります。言い換えると、判別式が 0 でないのは、多項式が平方根を持たない場合のみです。

r ₁、r ₂、r ₃が3次の根（必ずしも異なる根でも実数でもない）である場合、判別式は ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$$${\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}$$

凹立方体の判別式は ${\displaystyle t^{3}+pt+q}$$${\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}$$

一般の3次方程式の判別式は 、対応する凹み3次方程式の判別式の 積である。一般の3次方程式と対応する凹み3次方程式を関連付ける式を使用すると、一般の3次方程式の判別式は次のように書ける。 ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$$${\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.}$$${\displaystyle a^{4}}$$${\displaystyle {\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}} }.}$$

したがって、これら 2 つの判別式のうちの 1 つがゼロになるのは、もう 1 つもゼロの場合のみであり、係数が実数の場合、 2 つの判別式は同じ符号を持ちます。要約すると、これら 2 つの判別式のどちらからでも同じ情報を推測できます。

前述の公式を証明するには、ヴィエタの公式を使用してすべてをr ₁、r ₂、r ₃、およびaの多項式として表現します。この証明により、2 つの多項式の等式が検証されます。

多項式の係数が実数で、判別式がゼロでない場合、次の 2 つのケースが考えられます。 ${\displaystyle \Delta }$

• 3次方程式に3つの異なる実根がある場合${\displaystyle \Delta >0,}$
• 3次方程式に実根が 1 つと、非実複素共役根が 2 つある場合。${\displaystyle \Delta <0,}$

これは次のように証明できます。まず、r が実係数の多項式の根である場合、その複素共役も根です。したがって、実数でない根は、もしあれば、複素共役根のペアとして発生します。代数の基本定理により、3 次多項式には 3 つの根 (必ずしも異なるとは限りません) があるため、少なくとも 1 つの根は実数でなければなりません。

上で述べたように、r ₁、r ₂、r _{3 が}3次の根である場合、判別式は ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$$${\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}$$

3つの根が実数で異なる場合、判別式は正の実数の積、つまり${\displaystyle \Delta >0.}$

もし、 r _{1 の}ような実根が1つだけであれば、r ₂とr _{3 は}複素共役であり、r ₂ – r ₃は純虚数であり、したがって( r ₂ – r ₃ ) ^{2 は}実数で負である。一方、r ₁ – r ₂とr ₁ – r ₃は複素共役であり、それらの積は実数で正である。^[23]したがって、判別式は1つの負の数と複数の正の数の積である。つまり、${\displaystyle \Delta <0.}$

3次式の判別式がゼロの場合、その3次式には重根があります。さらにその係数が実数の場合、そのすべての根は実数です。

陥没三次方程式の判別式がゼロになるのは、 pもゼロならp = q = 0であり、0は三次方程式の三重根である。p ≠0なら三次方程式は単根を持つ。 ${\displaystyle t^{3}+pt+q}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0,}$$${\displaystyle t_{1}={\frac {3q}{p}}}$$

そして二重根 $${\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {3q}{2p}}.}$$

言い換えると、 $${\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {3q}{2p}}\right)^{2}.}$$

この結果は、後者の積を展開することによって証明するか、またはVieta の公式から得られるかなり単純な方程式系を解くことによって得ることができます。

凹型三次方程式の簡約法を使うと、これらの結果は一般の三次方程式に拡張できる。つまり、三次方程式の判別式がゼロの場合、 ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

• 3次方程式が3倍根を持ち、${\displaystyle b^{2}=3ac,}$$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}},}$$$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}}$$
• あるいは、 3次方程式に2重根と単根がある場合、${\displaystyle b^{2}\neq 3ac,}$$${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},}$$$${\displaystyle x_{1}={\frac {4abc-9a^{2}db^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.}$$$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.}$$

上記の結果は、係数が 2 または 3 以外の特性のフィールドに属する場合に有効ですが、2 および 3 による除算が含まれるため、特性 2 または 3 の場合は修正する必要があります。

押下三次関数への簡約は、特性 2 では機能しますが、特性 3 では機能しません。ただし、どちらの場合も、一般の三次関数の結果を確立して述べる方が簡単です。そのための主なツールは、多重根が多項式とその形式的な導関数の共通根であるという事実です。これらの特性では、導関数が定数でない場合、特性 3 では線型多項式であり、特性 2 では線型多項式の平方です。したがって、特性 2 と特性 3 のどちらでも、導関数には根が 1 つしかありません。これにより多重根を計算でき、3 番目の根はVieta の公式によって提供される根の和から演繹できます。

他の特性との違いは、特性 2 では二重根の式に平方根が含まれ、特性 3 では三重根の式に立方根が含まれることです。

ジェロラモ・カルダーノは、シピオーネ・デル・フェロとニッコロ・フォンターナ・タルタリアに因んで、3次方程式を解く最初の公式を発表したとされている。この公式は凹型3次方程式に適用されるが、§ 凹型3次方程式で示したように、この公式ですべての3次方程式を解くことができる。

カルダノの結果は、が 3次方程式でpとqが実数でが正である（これは方程式の判別式が負であることを意味する）場合、方程式は実根を持ち 、とが2つの数であり、$${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u_{1}}}+{\sqrt[{3}]{u_{2}}},}$$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle -{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$${\displaystyle -{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}}$

この結果を得るためのいくつかの方法については、以下の § 根の導出 を参照してください。

§ 根の性質で示したように、この場合、他の2つの根は非実数複素共役数である。後に（カルダノは複素数を知らなかった）、他の2つの根は、立方根の1つに1の原始立方根 を掛け、もう1つの立方根に1の原始立方根を掛けることで得られることが示された。つまり、方程式の他の根は、およびである^[24]。${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}$${\displaystyle \varepsilon _{2}=\varepsilon _{1}^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$${\displaystyle \varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}.}$

実根が 3 つある場合、ガロア理論では、有理根がない場合、実数のみを含む代数式では根を表すことができないことが証明されます。したがって、この場合、カルダノの時代の知識では方程式を解くことはできません。そのため、この場合はラテン語で「既約な場合」を意味するcasus irreducibilisと呼ばれています。 ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$

不可逆な場合、カルダノの公式は依然として使用できますが、立方根の使用には注意が必要です。最初の方法は、記号と を根関数の主値(つまり、最大の実部を持つ根)を表すものとして定義することです。この規則により、3 つの根に対するカルダノの公式は有効なままですが、主部の定義は、実部の比較に不等式を含むため、純粋に代数的ではありません。また、係数が実数でない複素数の場合、主立方根を使用すると間違った結果が生じる可能性があります。さらに、係数が別の体に属する場合、主立方根は一般に定義されません。 ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$

カルダノの公式を常に正しくする2つ目の方法は、2つの立方根の積が– p / 3でなければならないことに注意することです。その結果、方程式の根は次のようになります。 この式では、記号と は任意の平方根と任意の立方根を表します。方程式の他の根は、立方根を変換するか、または同等に、立方根に1の原始立方根を掛けることによって得られます。$${\displaystyle C-{\frac {p}{3C}}\quad {\text{with}}\quad C={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

この根の公式は、p = q = 0の場合を除き常に正しい。ただし、 p = 0の場合は、平方根はC ≠ 0となるように選択される。しかし、カルダノの公式は、根が の3乗根である場合は役に立たない。同様に、この公式は、3乗根が必要ない場合、つまり3次多項式が既約でない場合にも役に立たない。これには、次の場合が含まれる。${\displaystyle p=0,}$${\displaystyle -q.}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$

この式は、 pとq が2 または 3 以外の 特性のフィールドに属する場合にも正しいです。

一般的な 3 次方程式 ( a ≠ 0 ) の根を求める3次式は、 カルダノの公式のあらゆる変形から、低下した 3 次式への簡約によって演繹できます。ここで提示する変形は、実係数だけでなく、 2 または 3 以外の任意の特性体に属する係数a、b、c、dにも有効です。係数が実数の場合、この式は実数だけでなく、すべての複素解をカバーします。 $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

式はかなり複雑なので、小さな式に分割する価値があります。

させて $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d.\end{aligned}}}$$

（と は両方とも、 3次関数とその導関数の終結式として表すことができます。 ⁠${\displaystyle \Delta _{0}}$${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{1}}$−1/8時⁠ 3次関数とその2次導関数の積分値であり、 ⁠${\displaystyle \Delta _{0}}$−1/12時⁠三次多項式の 1 次導関数と 2 次導関数の結果の倍数。

次に、 と をそれぞれ任意の 平方根と任意の立方根として解釈します(すべての非ゼロの複素数は 2 つの平方根と 3 つの立方根を持ちます)。平方根の前の符号「 ± 」は「 +」または「–」のいずれかです。選択はほぼ任意であり、これを変更すると別の平方根を選択することになります。ただし、選択によってC = 0になる場合( の場合に発生)、代わりに他の符号を選択​​する必要があります。両方の選択によってC = 0になる場合、つまり分数⁠$${\displaystyle C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}},}$$${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$${\displaystyle \Delta _{0}=0}$${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0,}$0/0⁠ は次の式に現れます。この分数はゼロと解釈する必要があります（このセクションの最後を参照してください）。これらの規則では、根の1つは $${\displaystyle x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}}$$

他の2つの根は、 Cの定義における立方根の選択を変えることによって得られる。または、同等に、Cに1の原始立方根を掛けることによって得られる。つまり、–1 ± √ –3/2⁠。言い換えれば、3つの根は ξ = ⁠ と$${\displaystyle x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\xi ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\xi ^{k}C}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}}$$–1 + √ –3/2⁠ .

特殊なケースである負の3次方程式の場合、この公式は適用できるが、根が立方根なしで表現できる場合には役に立たない。特に、この公式が3つの根が等しいことを示している場合、3次多項式は次のように因数分解できる。簡単な計算により、この因数分解の存在が次の式と等しいことが確認できる。${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0,}$${\displaystyle {\frac {-b}{3a}},}$${\displaystyle \textstyle a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}.}$${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0.}$

実係数の3次方程式に3つの実根がある場合、これらの根を根号で表す式には複素数が含まれる。ガロア理論では、 3つの根が実数で、いずれも有理数でない場合（casus irreducibilis ）、根を実根号で表すことはできないことが証明されている。しかし、三角関数、具体的には余弦と逆余弦を使って、解の純粋に実数的な表現を得ることができる。^[25]より正確には、減数3次方程式の根号は ^[26] である。$${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$ $${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

この公式はフランソワ・ヴィエトによるものです。^[22]この式が純粋に実数となるのは、その方程式が3つの実根を持つ場合（つまり ）です。それ以外の場合も正しいのですが、実根が1つしかない場合は複素余弦と逆余弦が含まれ、 p = 0の場合は無意味（ゼロ除算）になります。 ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0}$

この式は、§ 抑圧三次方程式で説明した後退代入を使用して、一般三次方程式の根の式に直接変換できます。

この公式は次のように証明できる。方程式t ³ + pt + q = 0から始めて、 t = u cos  θと設定する。考え方は、方程式が恒等式と一致するように u を選択することである 。そのためには、方程式を選択して で割る。これ により、 上記の恒等式と組み合わせると、 となり 、根は次のように表される。  $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.}$$${\displaystyle u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,}$${\displaystyle {\frac {u^{3}}{4}}.}$$${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.}$$$${\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,}$$$${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

実根が1つしかない場合（p ≠ 0）、この根は同様に双曲関数を使用して次のように表すことができます。^{[27] [28]} p ≠ 0で右側の不等式が満たされない 場合（実根が3つある場合）、式は有効のままですが、複素数が含まれます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}}$$

p = ±3のとき、上記のt ₀の値はチェビシェフの3乗根と呼ばれることがあります。^[29]より正確には、余弦と双曲余弦を含む値は、p = −3のとき、正しいチェビシェフの3乗根であるC _1/3 ( q )で表される同じ解析関数を定義します。双曲正弦を含む値も同様にp = 3のときS _1/3 ( q )と表されます。

オマール・カヤムは、三次方程式x ³ + m ² x = n ( n > 0 )を解くために、放物線y = x ² / m、つまり正のx軸上の線分[0, n / m ² ]を直径とする円と、円と放物線がx軸上で交差する点を通る垂直線を作成しました。解は、原点から垂直線とx軸の交点までの水平線分の長さで与えられます (図を参照)。

簡単な現代的な証明は次のとおりです。方程式にx / m ²を掛けて項をまとめると、次のようになります 。 左辺は放物線上のy ^{2の値です。円の方程式は}y ² + x ( x − ⁠$${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$$ん/メートル²⁠ ) = 0、右側は円上の y ^{2の値です。}

実係数の3次方程式は、3つの実根を持つ場合にのみ、コンパス、定規、角の三等分線を使用して幾何学的に解くことができます。 ^{[30] : Thm. 1}

三次方程式は、有理根がある場合に限り、コンパスと定規による作図（三等分線なし）で解くことができます。これは、古代ギリシャの数学者によって設定された角の三等分と立方体の倍数という古い問題は、コンパスと定規による作図では解けないことを意味します。

ヴィエトの三角関数の根の表現は、3つの実根の場合に円の幾何学的解釈に向いている。^{[22] [31]} 3次方程式を上記のように圧縮形式( 2 )、t ³ + pt + q = 0で表すと、解は次のように表される。

$${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$$

単位円内の角度は次のようになります。${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$1/3その角度の⁠ は複素数の立方根を取ることに相当し、 − k ⁠を加えると2π​/3⁠ k = 1, 2の場合、他の 3 乗根が求められ、これらの角度の余弦を乗算してスケールを修正します。 ${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$

非陥没ケース（ 1 ）（添付のグラフ参照）の場合、前述のように、陥没ケースは、tをx = t − ⁠と定義することによって得られる。b/3 a⁠つまりt = x + ⁠b/3 a⁠。グラフ的に言えば、これは、角度の関係を変えずに、変数tとxの間で変化するときに、グラフを単に水平方向にシフトすることに対応します。このシフトにより、変曲点と円の中心がy軸上に移動します。その結果、 tにおける方程式の根の合計はゼロになります。

3次関数のグラフを直交平面にプロットした場合、実根が1つしかない場合は、曲線の水平切片（図の点R）の横座標（x座標）になります。さらに、 ^{[32] [33] [34]}複素共役根がg ± hiと書かれる場合、実部 gは、3次関数のx切片R（図では負の符号付き長さOM）を通過する3次関数の接線の接点Hの横座標です。虚部±hは、この接線と水平軸の間の角度の正接の平方根です。^{[説明が必要]}

1 つの実根と 2 つの複素根があれば、3 つの根は複素平面上の点として表すことができます。これは、3 次微分の 2 つの根も同様です。これらすべての根の間には、興味深い幾何学的関係があります。

3 つの根を表す複素平面上の点は、二等辺三角形の頂点として機能します。(三角形が二等辺三角形であるのは、1 つの根が水平 (実) 軸上にあり、他の 2 つの根は複素共役であるため、実軸の上下に対称的に現れるためです。)マーデンの定理によれば、3 次微分の根を表す点は、三角形のシュタイナー内楕円(三角形の辺の中点で三角形に接する唯一の楕円)の焦点になります。実軸上の頂点の角度が ⁠ 未満の場合、π/3⁠楕円の長軸は実軸上にあり、焦点も実軸上にあり、したがって導関数の根も実軸上にあります。その角度が⁠より大きい場合、π/3⁠、長軸は垂直で、その焦点、つまり導関数の根は複素共役です。そしてその角度が⁠π/3⁠、三角形は正三角形で、シュタイナーの内接楕円は単に三角形の内接円であり、その焦点は実軸上にある内心で互いに一致するため、導関数には重複した実根があります。

2 と 3 とは異なる標数の体K上の3 次既約多項式が与えられたとき、 K上のガロア群は、 K をKの最小拡大(分割体) に固定する体自己同型群です。これらの自己同型は多項式の根を置換する必要があるため、この群は 3 つの根の 6 つの置換すべての群S ₃か、3 つの円置換の 群A _{3のいずれかになります。}

3次の判別式Δは の二乗です 。 ここでaは 3次の主係数、r ₁、r ₂、r ₃は3次の 3つの根です。2つの根が交換された場合の符号の変化と同様に、 はガロア群がA _{3 の}場合にのみガロア群によって固定されます 。言い換えると、判別式がKの元の二乗である場合に限り、ガロア群はA ₃です。 $${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),}$$${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

ほとんどの整数は平方数ではないので、有理数体 Q 上で作業する場合、ほとんどの既約 3 次多項式のガロア群は 6 つの要素を持つ群S ₃です。3 つの要素を持つガロア群A _3の例はp ( x ) = x ³ − 3 x − 1で与えられ、その判別式は81 = 9 ²です。

このセクションでは、カルダノの公式を導出するためのいくつかの方法を再まとめます。

この方法はシピオーネ・デル・フェッロとタルタリアによるものですが、最初にその方法を著書『アルス・マグナ』（1545年） で発表したジェロラモ・カルダーノにちなんで名付けられました。

この方法は、凹型三次方程式t ³ + pt + q = 0に適用されます。アイデアは、2つの変数uと を導入し、これを凹型三次方程式に代入して、 ${\displaystyle v}$${\displaystyle u+v=t}$$${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$$

この時点でカルダノは条件を課した。これにより、前の等式の3番目の項が削除され、方程式のシステムにつながる。 ${\displaystyle 3uv+p=0.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}}$$

u ³との和と積がわかれば、これらが2 次方程式の 2 つの解であることが推測できる ので 、 この方程式の判別式は であり、これが正であると仮定すると、この方程式の実数解は (平方根の下で 4 で割った後) 次のように表されます。 したがって ( uまたは を 選択しても一般性は失われません)、 これらの解の 3 乗根の和は方程式の根である ため、 は方程式の根です。 つまり、 は 方程式の根であり、これがカルダノの公式です。 ${\displaystyle v^{3},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x-u^{3})(x-v^{3})\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$$${\displaystyle -{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$$${\displaystyle v}$$${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$ $${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$${\displaystyle u+v=t,}$$${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$$