ブラウンノイズ

科学において、ブラウンノイズ（ブラウンノイズまたはレッドノイズとも呼ばれる）は、ブラウン運動によって生成される信号ノイズの一種であり、そのためランダムウォークノイズとも呼ばれます。「ブラウンノイズ」という用語は、色に由来するのではなく、水中の様々な種類の無生物粒子の不規則な動きを記録したロバート・ブラウンにちなんで名付けられました。「レッドノイズ」という用語は、「ホワイトノイズ」と「白色光」のアナロジーに由来します。レッドノイズは、可視スペクトルの赤色端と同様に、長波長で強くなります。音響学では、これは低周波数に大きく偏った音となり、深くこもった轟音を生み出します。

音響信号のグラフ表現はブラウン運動パターンを模倣しています。そのスペクトル密度はf ²に反比例するため、ピンクノイズよりもさらに低い周波数で強度が高くなります。強度は1オクターブあたり6dB（10倍あたり20dB ）ずつ減少します。これを分かりやすく説明すると、周波数が2倍になるごとに、ブラウンノイズのパワーは4分の1に減少します。 

聴いた時の印象は、ホワイトノイズやピンクノイズに比べて「減衰した」あるいは「柔らかい」音質です。高周波成分が著しく減衰するため、滝の轟音、激しい雨音、遠くで鳴る雷鳴のような低い咆哮に聞こえます。バイオレットノイズも参照してください。バイオレットノイズはこれとは正反対で、オクターブごとに6dBずつ 増加します。

厳密に言えば、ブラウン運動はガウス確率分布に従いますが、「赤色ノイズ」という用語は、その根底にある確率分布に関係なく、1/ f²^の周波数スペクトルを持つあらゆるランダム信号に適用できます。

ブラウン運動（ウィーナー過程とも呼ばれる）は、白色雑音信号の積分として得られる。 $${\displaystyle W(t)=\int _{0}^{t}{\frac {dW}{d\tau }}(\tau )d\tau }$$ つまり、ブラウン運動はホワイトノイズの積分である。${\displaystyle t\mapsto dW(t)}$パワースペクトル密度が平坦である: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle S_{0}=\left|{\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )\right|^{2}={\text{const}}.}$$

ここで注意$\displaystyle {\mathcal {F}}}$はフーリエ変換を表し、${\displaystyle S_{0}}$は定数です。この変換の重要な特性は、任意の分布の導関数が次のように変換されることです^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )=i\omega {\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ),}$$ これから、ブラウンノイズのパワースペクトルは $${\displaystyle S(\omega )={\big |}{\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ){\big |}^{2}={\frac {S_{0}}{\omega ^{2}}}.}$$

これは、時間領域における白色雑音信号の積分が、そのスペクトルを角周波数で割ることに相当することを数学的に示している。${\displaystyle \omega }$周波数領域では、特性$1/ω²$パワースペクトル密度。個々のブラウン運動軌跡はスペクトルを示す。$${\displaystyle S(\omega )=S_{0}/\omega ^{2}}$$振幅${\displaystyle S_{0}}$無限に長い軌跡の極限においても、それは確率変数である。^{[ 3 ]}

ブラウンノイズはホワイトノイズを積分する ことによって生成できます。^{[ 4 ] [ 5 ]}つまり、（デジタル）ホワイトノイズは各サンプルを独立してランダムに選択することによって生成できますが、ブラウンノイズは各サンプルにランダムなオフセットを追加して次のサンプルを取得することによって生成できます。

ブラウンノイズは低周波数帯域で無限のスペクトルパワーを持つため、信号は原点から無限に離れていく傾向があります。リーキー積分器は、信号が「逸脱」しない、つまりシステムのダイナミックレンジの限界を超えないようにするために、オーディオや電磁気学のアプリケーションで使用されることがあります。

• これは通常、デジタル処理において、前のサンプルに1よりわずかに小さい減衰係数（例えば0.999）を乗算してから、新しいランダムな白色ノイズオフセットを加えることによって実現されます。
• これにより、信号は時間とともに徐々にゼロに近づき、DCオフセットの継続的な蓄積を防ぎます。
• これにより、ブラウンノイズはオルンシュタイン・ウーレンベックノイズに変換され、低周波数では平坦なスペクトルを持ち、減衰係数によって設定された選択されたカットオフ周波数を超えると「赤色」になります。

ブラウンノイズは、まず白色ノイズ信号を生成し、それをフーリエ変換し、次に異なる周波数成分の振幅を周波数（1次元の場合）または周波数の2乗（2次元の場合）などで割ることによって、コンピュータで生成することもできます。Matlabプログラムは、1次元^{[ 6 ]}または任意の数の次元でブラウンノイズやその他のべき乗則カラーノイズを生成するために利用できます。

ブラウンノイズ、より正確にはブラウン過程の証拠は、化学^{[ 7 ]}、電磁気学^{[ 8 ]} 、流体力学^{[ 9 ]} 、経済学 ^{[ 10 ] （オプション価格設定で使用されるブラック・ショールズモデルなどの数学的基礎を形成する）、人間の神経運動制御[ 11 ]}など、さまざまな分野で発見されている。