モデル方程式 海抜高度の関数としての気圧 米国標準大気では 、海面から高度86kmまでの気圧を高度の関数として計算するための2つの式が与えられています。最初の式は、温度が高度に応じて非ゼロの温度勾配 で変化すると想定される大気層に適用されます。L M 、 b {\displaystyle L_{M,b}} [ 1 ] : P = P b ⋅ [ T M 、 b T M 、 b + L M 、 b ⋅ （ H − H b ） ] g 0 ′ ⋅ M 0 R * ⋅ L M 、 b 。 {\displaystyle P=P_{b}\cdot \left[{\frac {T_{M,b}}{T_{M,b}+L_{M,b}\cdot (H-H_{b})}}\right]^{\frac {g_{0}'\cdot M_{0}}{R^{*}\cdot L_{M,b}}}.}
2番目の式は、高度によって温度が変化しない（温度勾配がゼロ）と仮定される大気層に適用されます。[ 1 ] ： P = P b ⋅ exp [ − g 0 ′ ⋅ M 0 （ H − H b ） R * ⋅ T M 、 b ] 。 {\displaystyle P=P_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}'\cdot M_{0}(H-H_{b})}{R^{*}\cdot T_{M,b}}}\right].}
どちらの式においても：
P b {\displaystyle P_{b}} T M 、 b {\displaystyle T_{M,b}} K )L M 、 b {\displaystyle L_{M,b}} 海面では -6.5 K/km (これは符号が逆の減率です)。 H {\displaystyle H} ジオポテンシャル高度 （メートル）H b {\displaystyle H_{b}} b のジオポテンシャル高さ(メートル、例: H b =メートル )R * {\displaystyle R^{*}} 普遍気体定数、8.31432 × 10⁻⁶ とする J/(kmol·K) [ 1 ] : M 0 {\displaystyle M_{0}} kg/kmol (1976年時点) [ 1 ] : g 0 ′ {\displaystyle g_{0}'} 重力加速度（ ジオポテンシャル高度単位）= 9.80665 m /s² 。 [ 1 ] : または帝国単位 に変換：[ 2 ]
P b {\displaystyle P_{b}} T M 、 b {\displaystyle T_{M,b}} K )L M 、 b {\displaystyle L_{M,b}} H {\displaystyle H} H b {\displaystyle H_{b}} b (フィート、例: H b =フィート )R * {\displaystyle R^{*}} 普遍気体定数 、フィート、ケルビン、および (SI)モル を使用し、メートル法からヤード・ポンド法に (誤って) 変換した定数を正しい方法で変換することにより、およそ8.949 4596 × 10 4 lb m ·ft 2 /(lb m -mol·K·s 2 )とみなされます。 g 0 ′ {\displaystyle g_{0}'} 重力加速度 = 32.17405 ft/s 2 ; M {\displaystyle M} 28.9644 lb / lb - mol (lbs はどちらもポンド質量 であり、ポンド力で はありません )。 添え字b の値は、下の表に示す大気の 7 つの連続する層それぞれに応じて 0 から 6 まで変化します。これらの式では、g 0 、M およびR * はそれぞれ単一値の定数ですが、P 、L 、T およびH は下の表に従って多値定数です。M 、g 0 、 およびR *に使用される値は、 米国標準大気 1976に準拠しており、特にR * の値は、この定数の標準値と一致しません。[ 1 ] : b = 0の場合のP b の参照値は、定義された海面値P 0 = 325 Pa inHg。b = 1 からb = 6 までのP b の値は、 H = H b +1 の場合の対方程式 1 および 2 の適切な項を適用することによって得られます。[ 1 ] : 12
密度は圧力と温度から計算できます[ 1 ] ： ρ = P ⋅ M 0 R * ⋅ T M = P ⋅ M R * ⋅ T 、 {\displaystyle \rho ={\frac {P\cdot M_{0}}{R^{*}\cdot T_{M}}}={\frac {P\cdot M}{R^{*}\cdot T}},}
M 0 {\displaystyle M_{0}} M {\displaystyle M} T {\displaystyle T} T M = T ⋅ M 0 / M {\displaystyle T_{M}=T\cdot M_{0}/M} [ 1 ] ： 大気は高度約80kmまで完全に混合されていると想定される ため、M = M 0 {\displaystyle M=M_{0}} [ 1 ] ：
あるいは、密度方程式は、基準圧力の代わりに基準密度を用いることで、圧力方程式と同じ形式で導出することもできる。
このモデルは、単純な線形分割された温度プロファイルを持つため、高度20km以下の実際の観測大気とは一致しない 。51kmから 81kmの高度では 、観測条件により近い。[ 1 ] ：
導出 気圧の公式は、理想気体の法則 を用いて導き出すことができる。 P = ρ M R * T {\displaystyle P={\frac {\rho }{M}}{R^{*}}T}
すべての圧力が静水圧で あると仮定すると： d P = − ρ g d z {\displaystyle dP=-\rho g\,dz} P {\displaystyle P} d P P = − M g d z R * T {\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}}
zまで 積分すると 、次の式が得られます。 P = P 0 e − ∫ 0 z M g d z / R * T {\displaystyle P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}}
温度変化が線形であると仮定するT = T 0 − L z {\displaystyle T=T_{0}-Lz} P = P 0 ⋅ [ T T 0 ] M g R * L {\displaystyle P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}}
代わりに、温度が一定であると仮定して積分すると、2番目の気圧式が得られます。 P = P 0 e − M g z / R * T {\displaystyle P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}}
この定式化では、R * は気体定数 であり、R * T / Mgという項は スケールハイト（ 対流圏 では約 8.4 kmに等しい）を表します。
上記の導出は古典力学に基づく方法を用いている。他にもいくつかの導出方法があり、中でも最も有名なのは熱力学的力と統計力学に基づくものである。[ 3 ]
（正確な結果を得るには、水を含む大気は理想気体 のように振る舞わないことを覚えておく必要があります。詳細については、「実在気体」「 理想気体」 「気体」 の項を参照してください。）
参考文献 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 米国標準大気、1976 年(PDF) (報告書)。ワシントン DC: 米国政府印刷局。1976 年 10 月。NTRS 19770009539。2025年 6 月 29 日 に取得 。 ↑ Mechtly, EA, 1973:国際単位系、物理定数および換算係数 。NASA SP-7012、第2版、米国航空宇宙局、ワシントンDC ↑ Lente, G.; Ősz, K. (2020). "気圧式: さまざまな導出と環境に関連する観測との比較" . ChemTexts . 6 (2): 13. doi : 10.1007/s40828-020-0111-6 . ↑ Bauer, Siegfried; Lammer, Helmut (2013). Planetary Aeronomy: Atmosphere Environments in Planetary Systems . Physics of Earth and Space Environments. Springer Science & Business Media. pp. 4–5 . ISBN 978-3-662-09362-7 。↑ ハーグリーブス、ジョン・キース (1992). 『太陽地球環境：地球宇宙入門 ― 地球上層大気、電離層、磁気圏の科学』 ケンブリッジ 大気宇宙科学シリーズ。ケンブリッジ大学出版局。p. 100。ISBN 9780521427371 。
![{\displaystyle P=P_{b}\cdot \left[{\frac {T_{M,b}}{T_{M,b}+L_{M,b}\cdot (H-H_{b})}}\right]^{\frac {g_{0}'\cdot M_{0}}{R^{*}\cdot L_{M,b}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a822cfcd6b73c9118b3ad07a0454063c233c8277)
![{\displaystyle P=P_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}'\cdot M_{0}(H-H_{b})}{R^{*}\cdot T_{M,b}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781738c8471e3dee5ee63174ad51dc53125a1104)
![{\displaystyle P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18247095fe5ee08cbd5d33dee816eb6a288eb9c7)
