ブラウン運動面

ブラウン面はフラクタル標高関数によって生成されるフラクタル面である。^[1]^[2]^[3]

ブラウン面はブラウン運動にちなんで名付けられています。

例

たとえば、3次元の場合、2つの変数XとYが座標として与えられ、任意の2点( x ₁、 y ₁ )と( x ₂、 y ₂ )間の仰角関数は、( x ₁、 y 1 )と( x ₂、 y ₂ )間のベクトル距離が大きくなるにつれて増加する平均値または期待値を持つように設定できます。 ^[1]ただし、仰角関数を定義する方法は多数あります。たとえば、分数ブラウン運動変数_を使用したり、さまざまな回転関数を使用してより自然に見える表面を実現したりできます。^[2]

分数ブラウン運動面の生成

分数ブラウン面を効率的に生成することは、大きな課題です。^[4]ブラウン面は非定常共分散関数を持つガウス過程を表すため、コレスキー分解法を使用できます。より効率的な方法はスタイン法です。^[5] これは、巡回埋め込みアプローチを使用して補助的な定常ガウス過程を生成し、この補助過程を調整して目的の非定常ガウス過程を取得します。下の図は、粗さまたはハーストパラメータの異なる値に対する分数ブラウン面の3つの典型的な実現を示しています。ハーストパラメータは常に0と1の間であり、1に近い値はより滑らかな表面に対応します。これらの表面は、スタイン法のMatlab実装を使用して生成されました。

参照

参考文献

^ ab Russ, John C. (1994). フラクタル表面、第1巻。Springer。p. 167。ISBN 0-306-44702-9。
^ ab Xie, Heping (1993). 岩石力学におけるフラクタル。CRC Press。p. 73。ISBN 90-5410-133-4。
^ ヴィチェク、タマス (1992)。フラクタル成長現象。世界科学。 p. 40.ISBN 981-02-0668-2。
^ Kroese, Dirk P. ; Botev, Zdravko I. (2015). 「空間プロセスシミュレーション」。 Schmidt, V. (編)確率幾何学、空間統計、ランダムフィールド。数学の講義ノート。第 2120 巻。ベルリン: Springer-Verlag。pp. 369– 404。arXiv : 1308.0399。doi : 10.1007 /978-3-319-10064-7_12。ISBN 978-3-319-10063-0。
^ Stein, ML (2002). 「分数ブラウン運動の高速かつ正確なシミュレーション」.計算およびグラフィカル統計ジャーナル. 11 (3): 587– 599. doi :10.1198/106186002466. S2CID 121718378.

[Russ-1] Russ, John C. (1994). フラクタル表面、第1巻。Springer。p. 167。ISBN 0-306-44702-9。

[xie-2] Xie, Heping (1993). 岩石力学におけるフラクタル。CRC Press。p. 73。ISBN 90-5410-133-4。

[3] ヴィチェク、タマス (1992)。フラクタル成長現象。世界科学。 p. 40.ISBN 981-02-0668-2。

[4] Kroese, Dirk P. ; Botev, Zdravko I. (2015). 「空間プロセスシミュレーション」。 Schmidt, V. (編)確率幾何学、空間統計、ランダムフィールド。数学の講義ノート。第 2120 巻。ベルリン: Springer-Verlag。pp. 369– 404。arXiv : 1308.0399。doi : 10.1007 /978-3-319-10064-7_12。ISBN 978-3-319-10063-0。

[Stein-5] Stein, ML (2002). 「分数ブラウン運動の高速かつ正確なシミュレーション」.計算およびグラフィカル統計ジャーナル. 11 (3): 587– 599. doi :10.1198/106186002466. S2CID 121718378.