ストークス力学

ストークス動力学^{[1] は、ブラウン}運動粒子に対するニュートンの第 2 法則の関連形式である ランジュバン方程式を解く手法です。この方法では、周囲の流体に対して連続体近似が有効なまま、浮遊粒子を離散的に扱います。つまり、浮遊粒子は一般に溶媒の分子よりも大幅に大きいと想定されます。粒子は連続体流体を介して伝達される流体力によって相互作用し、粒子のレイノルズ数が小さい場合、これらの力は線形ストークス方程式によって決定されます (これがこの方法の名前の由来です)。さらに、この方法では、流体の変動運動から生じるブラウン力や粒子間力または外力などの非流体力も解析できます。したがって、ストークス動力学は、沈降、拡散、レオロジーなどのさまざまな問題に適用でき、分子動力学が物質の統計的特性に対して行うのと同じレベルの理解を多相粒子系に対して提供することを目指しています。半径 の剛体粒子が粘度と密度の非圧縮ニュートン流体中に浮遊している場合、流体の運動はナビエ・ストークス方程式によって支配され、粒子の運動は結合した運動方程式によって記述されます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \mathbf {m} {\frac {d\mathbf {U} }{dt}}=\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }.}$

上記の式で、は次元 6 Nの粒子の並進/回転速度ベクトルです。は流体力、つまり、流体と粒子間の相対運動によって流体が粒子に及ぼす力です。は流体粒子の熱運動による確率的ブラウン力です。は決定論的な非流体力で、ほぼあらゆる形態の粒子間力または外力、たとえば同種の荷電粒子間の静電反発力です。ブラウン動力学はランジュバン方程式を解く一般的な手法の 1 つですが、ブラウン動力学における流体力学的相互作用は高度に単純化されており、通常は孤立した物体の抵抗のみが含まれます。 一方、ストークス動力学には多くの物体の流体力学的相互作用が含まれます。 流体力学的相互作用は、せん断された懸濁液などの非平衡懸濁液にとって非常に重要であり、その微細構造、ひいてはその特性において重要な役割を果たします。 ストークス動力学は主に非平衡懸濁液に使用され、実験と一致する結果が得られることが示されている。^[2]${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {P} }}$

粒子スケールの運動において粒子レイノルズ数が小さい場合、バルク線形せん断流を受ける懸濁液中の粒子に及ぼされる流体力は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }=-\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }(\mathbf {U} -\mathbf {U} ^{\infty })+ \mathbf {R} ^{\mathrm {FE} }:\mathbf {E} ^{\infty }.}$

ここで、は粒子中心で評価されたバルクせん断流の速度、は速度勾配テンソルの対称部分、 およびは、流体に対する粒子の運動による流体力/トルク( )と課せられたせん断流による流体力/トルク( )を与える構成依存の抵抗行列です。行列の下付き文字は、運動量( )と動力学量( ) の間の結合を示すことに注意してください。${\displaystyle \mathbf {U} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

ストークス力学の重要な特徴の1つは、流体力学的相互作用の取り扱いであり、多数の粒子に対して計算上の制約（境界積分法など）がなく、かなり正確である。古典的なストークス力学では、 Nがシステム（通常は周期的なボックス）内の粒子の数である操作が必要である。最近の進歩により、計算コストは​​約^{[3] [4]に削減された。}${\displaystyle O(N^{3})}$${\displaystyle O(N^{1.25}\,\log N).}$

確率力またはブラウン運動力は流体の熱変動から発生し、次のような特徴があります。 ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(0)\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(t)\right\rangle =2kT\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }\デルタ (t)}$

山括弧はアンサンブル平均、はボルツマン定数、は絶対温度、はデルタ関数を表します。時間と時間におけるブラウン運動力の相関の振幅は、N 体系の揺らぎ散逸定理から生じます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \delta (t)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$

• 浸漬境界法
• 確率的オイラーラグランジアン法