特異摂動

数学において、特異摂動問題とは、パラメータ値をゼロに設定しても近似できない小さなパラメータを含む問題である。より正確には、解は漸近展開によって一様に近似できない。

${\displaystyle \varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,}$

として表されます。ここで は問題の小さなパラメータであり、 はなどの昇順の 関数の列です。これは、この形式の一様近似が得られる通常の摂動問題とは対照的です。特異摂動問題は、通常、複数のスケールで動作するダイナミクスによって特徴付けられます。特異摂動のいくつかのクラスを以下に概説します。 ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}}$

「特異摂動」という用語は、1940年代にクルト・オットー・フリードリヒスとヴォルフガング・R・ヴァソウによって造られた。^[1]

摂動問題であって、その解が空間であれ時間であれ、問題領域全体にわたって単一の漸近展開によって近似できるものは、正則摂動を持つ。応用において最もよくあるのは、正則摂動問題に対する許容可能な近似は、問題ステートメント内のあらゆる場所で単に小さなパラメータをゼロに置き換えることによって見つけられる。これは、展開の最初の項だけを取ることに相当し、 が減少するにつれて、おそらくゆっくりと真の解に収束する近似値を生み出す。特異摂動問題の解は、次のように近似することはできない。以下の例でわかるように、特異摂動は一般に、問題の小さなパラメータがその最高の演算子を乗算するときに発生する。したがって、単純にパラメータをゼロにすると、問題の性質そのものが変わってしまう。微分方程式の場合、境界条件を満たすことができず、代数方程式では、解の可能な数が減少します。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

特異摂動論は、数学者、物理学者、その他の研究者にとって豊かで継続的な研究分野です。この分野の問題に取り組むために使用される方法は多数あります。これらのより基本的なものには、空間問題に対する整合漸近展開法とWKB近似法があり、やがてポアンカレ・リンシュテット法、多重スケール法、周期平均法が含まれます。特異摂動問題を解く数値的方法も非常に人気があります。^[2]

ODEとPDEにおける特異摂動に関する書籍としては、例えばHolmes著『Introduction to Perturbation Methods』^[3]、 Hinch著『Perturbation methods』^{[4] 、} BenderおよびOrszag著『Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers』^[5]などがある。

以下に説明する各例は、問題が特異ではなく正規であると仮定する単純な摂動解析がどのように失敗するかを示しています。いくつかの例は、より洗練された特異法によって問題がどのように解決されるかを示しています。

最高次の項を前置する小さなパラメータを含む微分方程式は、通常、境界層を示し、解は2つの異なるスケールで展開します。たとえば、境界値問題を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{matrix}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrix}}}$

のときの解は、以下に示す実線です。解は原点付近で急激に変化することに注意してください。単純に と設定すると、以下で「外側」とラベル付けされた解が得られますが、これはx がゼロに近い境界層をモデル化しません。一様に有効な近似値を取得する方法の詳細については、一致した漸近展開法を参照してください。 ${\displaystyle \epsilon =0.1}$${\displaystyle \epsilon =0}$

電気駆動のロボットマニピュレータは、機械的なダイナミクスは遅く、電気的なダイナミクスは速いため、2 つの時間スケールが存在します。このような場合、システムを 2 つのサブシステムに分割し、1 つは速いダイナミクスに対応し、もう 1 つは遅いダイナミクスに対応し、それぞれに個別にコントローラを設計することができます。特異摂動技術により、これら 2 つのサブシステムを互いに独立させ、制御問題を簡素化することができます。

次の方程式のセットによって記述されるシステムのクラスを考えてみましょう。

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle \varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},\,}$

である。2番目の式は、 のダイナミクスが のダイナミクスよりもはるかに速いことを示している。Tikhonov [ ^6]による定理によれば、システムに関する正しい条件により、方程式の解は最初に非常に速く近似される。 ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,}$

${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},\,}$

ある時間間隔で、がゼロに近づくにつれて、システムは同じ時間間隔で解に近づく。^[7]${\displaystyle \varepsilon }$

流体力学では、わずかに粘性のある流体の特性は、狭い境界層の外側と内側では劇的に異なります。そのため、流体は複数の空間スケールを示します。

ある試薬が他の試薬よりもずっとゆっくりと拡散する反応拡散系では、試薬が存在する領域と存在しない領域がはっきりと区別され、その間が遷移する空間パターンが形成される。生態学では、次のような捕食者と被食者のモデルが 用いられる。

${\displaystyle u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,}$

${\displaystyle v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,}$

が獲物でが捕食者であるという状況では、このようなパターンを示すことが示されています。 ^[8]${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

多項式 のすべての根を求める問題を考えてみましょう。 の極限では、この3次方程式は に根を持つ2次方程式に退化します。 正規の摂動級数を代入すると、 ${\displaystyle p(x)=\varepsilon x^{3}-x^{2}+1}$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle x=\pm 1}$

${\displaystyle x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\cdots }$

方程式の を の等しいべき乗と等しくすると、次の 2 つの根の修正のみが得られます。 ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .}$

もう一方の根を求めるには、特異摂動解析を使用する必要があります。次に、をゼロに近づけると方程式が二次方程式に退化し、その極限で根の 1 つが無限大に逃げるという事実に対処する必要があります。この根が摂動解析で見えなくなるのを防ぐには、この逃げる根を追跡して、再スケールされた変数の観点からは逃げないようにする必要があります。再スケールされた変数を定義します。この指数は、から 0の極限で根が の有限値になるように十分に速く再スケールされますが、他の 2 つの根が最終的にゼロに陥らないようにする必要があります。 の観点からは、次のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=x\varepsilon ^{\nu }}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu -1}=0.}$

では、低次の項が支配的であるのに対し、では、項と同程度に支配的になり、両者は残りの項を支配することがわかります。最高次の項がゼロの極限で他の項と同等に支配的になることで消えなくなるこの点は、有意な退化と呼ばれます。これにより、残りの根を可視化するための正しい再スケーリングが実現します。この選択により、 ${\displaystyle \nu <1}$${\displaystyle y^{3}}$${\displaystyle \nu =1}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.}$

摂動級数の代入

${\displaystyle y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_{2}+\cdots }$

収穫

${\displaystyle y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.}$

次に、 における根に注目します。 における二重根は、上で見つけた2つの根で、無限再スケーリングの極限でゼロに収束します。級数の最初の数項を計算すると、次のようになります。 ${\displaystyle y_{0}=1}$${\displaystyle y_{0}=0}$

${\displaystyle x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .}$