ブラウン運動

物理学において、ブラウン運動学は拡散領域における分子システムの運動を記述する数学的アプローチである。これはランジュバン運動学の簡略版であり、平均加速が発生しない極限に対応する。この近似は、過減衰ランジュバン運動学または慣性のないランジュバン運動学としても知られている。

ブラウン運動学では、次の運動方程式が座標を持つ確率システムのダイナミクスを記述するために使用される：^{[1] [2] [3]}${\displaystyle X=X(t)}$

${\displaystyle {\dot {X}}=-{\frac {D}{k_{\text{B}}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}$

どこ：

• ${\displaystyle {\dot {X}}}$は速度、点は時間微分である
• ${\displaystyle U(X)}$粒子相互作用ポテンシャル
• ${\displaystyle \nabla}$は勾配演算子であり、粒子相互作用ポテンシャルから計算される力である。${\displaystyle -\nabla U(X)}$
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ボルツマン定数である
• ${\displaystyle T}$気温は
• ${\displaystyle D}$拡散係数である
• ${\displaystyle R(t)}$ホワイトノイズの用語であり、満足感があり、${\displaystyle \left\langle R(t)\right\rangle =0}$${\displaystyle \left\langle R(t)R(t')\right\rangle =\delta (tt')}$

ランジュバン力学では、上記と同じ表記法を用いた運動方程式は次のようになる：^{[1] [2] [3]} ここで： $${\displaystyle M{\ddot {X}}=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R( t)}$$

• ${\displaystyle M}$粒子の質量です。
• ${\displaystyle {\ddot {X}}}$加速度は
• ${\displaystyle \zeta}$は摩擦定数またはテンソルで、単位は です。 ${\displaystyle {\text{質量}}/{\text{時間}}}$
  • これは多くの場合 という形式をとります。ここで は溶媒との衝突周波数、 は 単位の減衰定数です。${\displaystyle \zeta =\gamma M}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\text{時間}}^{-1}}$
  • 低レイノルズ数の極限における半径rの球状粒子の場合、ストークスの法則により次の式が成り立ちます。${\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r}$

上記の式は次のように書き直すことができる。ブラウン運動学では、慣性力項は他の3つに比べて非常に小さいため、無視できると考えられる。この場合、式は近似的に^[1] となる。$${\displaystyle \underbrace {M{\ddot {X}}} _{\text{慣性力}}+\underbrace {\nabla U(X)} _{\text{位置力}}+\underbrace {\zeta {\dot {X}}} _{\text{粘性力}}-\underbrace {{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)} _{\text{ランダム力}}=0}$$${\displaystyle M{\ddot {X}}(t)}$

${\displaystyle 0=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)}$

低レイノルズ数の極限における半径 の球状粒子については、ストークス・アインシュタインの関係を使用できます。この場合、となり、式は次のようになります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle D=k_{\text{B}}T/\zeta }$

${\displaystyle {\dot {X}}(t)=-{\frac {D}{k_{\text{B}}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}$

たとえば、摩擦テンソルの大きさが増加すると、慣性力に比べて粘性力の減衰効果が優勢になります。その結果、システムは慣性領域から拡散 (ブラウン運動) 領域に移行します。このため、ブラウン運動は、過減衰ランジュバン運動または慣性のないランジュバン運動とも呼ばれます。 ${\displaystyle \zeta}$

1978年、エルマックとマッカモンは、流体力学的相互作用を伴うブラウン運動を効率的に計算するアルゴリズムを提案した。^[2]流体力学的相互作用は、粒子が溶媒中の局所速度を生成し、それに反応することで間接的に相互作用するときに発生する。力ベクトルF(X)の影響を受ける3次元粒子拡散システムの場合、導出されるブラウン運動のスキームは次のようになる。 ^[1]${\displaystyle N}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t)=X_{i}(t)+\sum _{j}^{N}{\frac {\Delta tD_{ij}}{k_{\text{B}}T}}F[X_{j}(t)]+R_{i}(t)}$

ここで、は流体力学的相互作用を指定する拡散行列で、たとえば、ターゲット粒子と周囲の粒子との間で相互作用する非対角要素では、は粒子に及ぼされる力^、は各ベクトル要素で平均がゼロで標準偏差が であるガウスノイズベクトルです。添え字のと は粒子のIDを示し、 は粒子の総数を示します。この式は、近接場効果が無視される希薄システムに対して有効です。 ${\displaystyle D_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle F}$${\displaystyle j}$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle {\sqrt {2D\Delta t}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle N}$

• ブラウン運動
• 浸漬境界法