自然濾過

数学と統計学における確率過程の理論では、 確率過程に関連付けられた生成濾過または自然濾過は、各時点における「過去の動作」を記録するプロセスに関連付けられた濾過です。これは、ある意味では、特定のプロセスを研究するために利用できる最も単純な濾過です。プロセスに関するすべての情報、そしてその情報だけが自然濾過で利用できます。

より正式には、(Ω, F , P )を確率空間とし、( I , ≤)を全順序付き インデックス集合とし、( S , Σ)を測定可能な空間とし、X  : I × Ω → Sを確率過程とする。すると、Xに関するFの自然な濾過は、濾過 F _• ^X = ( F _i ^X ) _{i ∈ I}として定義され、次式で与えられる。

${\displaystyle F_{i}^{X}=\sigma \left\{\left.X_{j}^{-1}(A)\right|j\in I,j\leq i,A\in \Sigma \right\},}$

つまり、 jからiまでの「回」にわたってSの Σ 測定可能な部分集合のすべての逆像を含む、 Ω 上の最小のσ代数です。

多くの例では、インデックス セットIは自然数 N (0 を含む可能性あり) または区間[0, T ] または [0, +∞) であり、状態空間Sは実数直線 Rまたはユークリッド空間 R ⁿであることが多いです。

任意の確率過程X は、その自然な濾過に関して 適応された過程です。

• デリア・コクレスク、アシュカン・ニケグバリ（2010）、「フィルタリング」、定量金融百科事典

• 濾過（数学）