無限小生成器（確率過程）

数学、特に確率解析において、フェラー過程（つまり、一定の規則性条件を満たす連続時間マルコフ過程）の無限小生成器は、過程に関する大量の情報を符号化する フーリエ乗算演算子^[1]です。

生成器は、プロセスの統計の進化を記述するコルモゴロフ後方方程式などの進化方程式で使用されます。そのL ² エルミート随伴関数は、プロセスの 確率密度関数の進化を記述するフォッカー–プランク方程式(コルモゴロフ前方方程式とも呼ばれます)などの進化方程式で使用されます。

表記法によるコルモゴロフの順方向方程式は、単に であり、 は確率密度関数、 は基礎となる確率過程の無限小生成子の随伴関数です。クライン・クラマース方程式はその特殊なケースです。 ${\displaystyle \partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

フェラー半群 と状態空間を持つフェラー過程 に対して、生成器^{[1] を}次のように定義します。 ここで は、 上限ノルム、およびを備えた、無限大で消失する連続関数のバナッハ空間を表します。一般に、フェラー生成器の定義域を記述することは容易ではありません。しかし、フェラー生成器は常に閉じており、稠密に定義されます。 が値で、テスト関数(コンパクトにサポートされた滑らかな関数)を含む場合、 ^[1]となります。ただし、 、および は、 を固定した場合のレヴィ三重項です。 ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle T=(T_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (A,D(A))}$$${\displaystyle D(A)=\left\{f\in C_{0}(E):\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}ff}{t}}{\text{一様極限として存在する}}\right\},}$$ $${\displaystyle Af=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}ff}{t}},~~{\text{ 任意の }}f\in D(A).}$$${\displaystyle C_{0}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle T_{t}f(x)=\mathbb {E} ^{x}f(X_{t})=\mathbb {E} (f(X_{t})|X_{0}=x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle D(A)}$ $${\displaystyle Af(x)=-c(x)f(x)+l(x)\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q(x)\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)N(x,dy),}$$${\displaystyle c(x)\geq 0}$${\displaystyle (l(x),Q(x),N(x,\cdot ))}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

レヴィ半群の生成子は の形式をとり 、 は半正定値で、 が有界であるものに対してを満たし、 が有界であるレヴィ測度です 。 に対して を定義すると 、生成子は と書くことができます 。 ここで はフーリエ変換を表します。したがって、レヴィ過程 (または半群) の生成子は、記号 を持つフーリエ乗数演算子です。 $${\displaystyle Af(x)=l\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)\nu (dy)}$$${\displaystyle l\in \mathbb {R} ^{d},Q\in \mathbb {R} ^{d\times d}}$${\displaystyle \nu}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}\min(|y|^{2},1)\nu (dy)<\infty }$$${\displaystyle 0\leq 1-\chi (s)\leq \kappa \min(s,1)}$${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle s\chi (s)}$$${\displaystyle \psi (\xi )=\psi (0)-il\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi \cdot Q\xi +\int _{\mathbb {R} ^ {d}\setminus \{0\}}(1-e^{iy\cdot \xi }+i\xi \cdot y\chi (|y|))\nu (dy)}$$${\displaystyle \psi (0)\geq 0}$$${\displaystyle Af(x)=-\int e^{ix\cdot \xi }\psi (\xi ){\hat {f}}(\xi )d\xi }$$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle -\psi}$

を記号 のレヴィ過程とする（上記参照）。を局所的にリプシッツで有界とすると、SDE の解は各決定論的初期条件に対して存在し、記号 のフェラー過程となる。${\textstyle L}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle dX_{t}=\Phi (X_{t-})dL_{t}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle q(x,\xi )=\psi (\Phi ^{\top }(x)\xi ).}$

一般に、レヴィ過程ではないフェラー過程によって駆動される SDE の解は、フェラー過程やマルコフ過程でさえも実現できない場合があることに注意してください。

簡単な例として、ブラウン運動によるノイズを考えてみましょう。リプシッツと線形成長を仮定すると、各決定論的初期条件に対して、記号Fellerの一意の解が存在し、 ${\textstyle dX_{t}=l(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}}$${\displaystyle l,\sigma }$$${\displaystyle q(x,\xi )=-il(x)\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi Q(x)\xi .}$$

平均初回通過時間はを満たします。これは、例えば、箱の中のブラウン運動粒子が箱の境界にぶつかるまでの時間や、ポテンシャル井戸の中のブラウン運動粒子が井戸から脱出するまでの時間を計算するのに使用できます。特定の仮定の下では、脱出時間はアレニウスの式を満たします。^[2]${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}T_{1}=-1}$

有限状態連続時間マルコフ連鎖の場合、ジェネレータは遷移率行列として表現できます。

一般的なn次元拡散過程は、生成子を持ちます。ここで、は拡散行列、は関数のヘッセ行列、は行列トレースです。その随伴演算子は^[2]です。以下は、一般的なn次元拡散過程のよく使われる特殊なケースです。 ${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}f=(\nabla f)^{T}\mu +tr((\nabla ^{2}f)D)}$$${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sigma \sigma ^{T}}$${\displaystyle \nabla^{2}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle tr}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}f=-\sum _{i}\partial _{i}(f\mu _{i})+\sum _{ij}\partial _{ij}(fD_{ij})}$$

• 確率微分方程式を満たす 上の標準ブラウン運動には、生成元 があり、ここで はラプラス演算子を表します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX_{t}=dB_{t}}$${\textstyle {1 \over {2}}\Delta }$${\displaystyle \Delta }$
• 次を満たす2 次元プロセス:ここで は1 次元ブラウン運動であり、そのブラウン運動のグラフとして考えることができ、生成元は次のようになります:${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}={\mathrm {d} t \choose \mathrm {d} B_{t}}}$$${\displaystyle B}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}$$
• 確率微分方程式 を満たす 上のオルンシュタイン・ウーレンベック過程には、次の生成子があります。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\textstyle dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dB_{t}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\theta (\mu -x)f'(x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}f''(x)}$$
• 同様に、オルンシュタイン・ウーレンベック過程のグラフには次の生成子があります。$${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+\theta (\mu -x){\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}$$
• 確率微分方程式 を満たす 上の幾何ブラウン運動には、生成元が存在します。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\textstyle dX_{t}=rX_{t}dt+\alpha X_{t}dB_{t}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=rxf'(x)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}x^{2}f''(x)}$$

• ディンキンの公式

• Calin, Ovidiu (2015)。確率微積分学の非公式入門とその応用。シンガポール：World Scientific Publishing。p. 315。ISBN 978-981-4678-93-3。（第9章参照）
• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式: 応用入門. Universitext (第 6 版). ベルリン: Springer. doi :10.1007/978-3-642-14394-6. ISBN 3-540-04758-1。（セクション7.3を参照）