平方根

数学において、数xの平方根とは、次の条件を満たす数yのことである。${\displaystyle y^{2}=x}$言い換えれば、2乗（その数をそれ自身で掛けた結果、または）が 1 になるような数y です。${\displaystyle y\cdot y}$) はxです。^{[ 1 ]}例えば、4 と −4 は 16 の平方根です。${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$。

すべての非負の実数xには、主平方根または単に平方根(定冠詞付き、下記参照)と呼ばれる一意の非負の平方根が存在し、それは次のように表されます。${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ここで、記号 √ は、他の名称の中でも特に、根号と呼ばれ^{[ 2 ]}、数字の上の線は、括弧^{[ 3 ]}と呼ばれます(根号自体の一部とみなされることもあります^{[ 4 ]} )。たとえば、9 の主平方根が 3 であることを表すには、次のように書きます。$\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$平方根が考慮されている項（または数）は、被開平数と呼ばれます。被開平数は、根号の下にある数または式であり、この場合は 9 です。非負のxの場合、主平方根は指数表記でも次のように書くことができます。${\displaystyle x^{1/2}}$。

すべての正の数xには 2 つの平方根があります。$\displaystyle {\sqrt {x}}}$（これはプラスです）そして${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$（負の値です）。2つの根は、± 記号を使用してより簡潔に次のように書くことができます。${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$正の数の主平方根は、その数の2つの平方根のうちの1つにすぎませんが、「平方根」という表現は、主平方根を指す場合によく使われます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

負の数の平方根は、複素数の枠組みの中で議論することができる。より一般的には、平方根は、数学的対象の「二乗」という概念が定義されているあらゆる文脈において考察することができる。これには、関数空間や正方行列など、他の数学的構造も含まれる。

イェール大学バビロニアコレクションの粘土板YBC 7289 は紀元前1800年から紀元前1600年の間に作成され 、$\displaystyle {\sqrt {2}}}$そして$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$それぞれ、 2本の対角線で交差する正方形上の1;24,51,10 と 0;42,25,35の 60 進数として表されます。 ^{[ 7 ]} (1;24,51,10) の 60 進数は 1.41421296 に対応し、これは小数点以下 5 桁 (1.41421356...) まで正確です。

リンド数学パピルスは、紀元前1650年に作成された、それ以前のベルリンパピルスやその他の文書（おそらくカフンパピルス） の写本で、エジプト人が逆比例法で平方根を求めた方法を示している。^{[ 8 ]}  

古代インドでは、平方と平方根の理論的および応用的な側面に関する知識は、少なくとも紀元前800～500年頃（おそらくもっと以前）に成立したシュルバ・スートラ と同じくらい古いものでした。^{[ 9 ]}バウダヤーナ・シュルバ・スートラには、2と3の平方根の非常に良い近似値を求める方法が記載されています。^{[ 10 ]}紀元前600年頃に生きたアパスタンバは、驚くほど正確な値を与えています。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$これは小数点以下5桁まで正しいです。${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$[ ^{11 ] [ 12 ] [ 13 ]}アーリヤバタは、アーリヤバティーヤ（第 2.4 節）で、桁数の多い数の平方根を求める方法を示しています^。

古代ギリシャ人は、完全平方数でない正の整数の平方根は常に無理数であることを知っていた。無理数とは、2 つの整数の比として表せない数（つまり、正確には次のように書くことができない数）のことである。${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$（ここでmとnは整数です）。これは、紀元前380年頃に遡る、ほぼ間違いなくテアイテトスによる定理である、ユークリッド X、9です。^{[ 14 ]} 無理数の発見、特に2 の平方根の発見は、広くピタゴラス学派と関連付けられています。^{[ 15 ] [ 16 ]}発見をヒッパソスに帰する記述もありますが、一次資料の不足と兄弟団の秘密主義的な性質のため、具体的な貢献者は不明のままです。^{[ 17 ] [ 18 ]}これは、辺の長さが 1 の正方形の対角線の長さとまったく同じです。 

紀元前202年から紀元前186年の初期漢王朝時代に書かれた中国の数学書『計算論』では、平方根は「余剰と不足」の方法を用いて近似的に求められており、「...余剰と不足を除数として組み合わせ、不足の分子に余剰の分母を掛け、余剰の分子に不足の分母を掛けて、それらを被除数として組み合わせる」と記されている。^{[ 19 ]}  

平方根を表す記号は、凝ったRの形で書かれ、レギオモンタヌス（1436年～1476年）によって考案された。ジェロラモ・カルダーノの『アルス・マグナ』では、平方根を示すためにRが基数として使われた。^{[ 20 ]}

数学史家のD・E・スミスによれば、平方根を求めるアーリヤバタの方法は、 1546年にカタネオによって初めてヨーロッパに紹介された。

ジェフリー・A・オークスによれば、アラブ人は「جذر」（jaḏr、jiḏr 、 ǧaḏr、ǧiḏr、「根」などと様々に音訳される）という単語の最初の文字である文字 jīm/ĝīm（ج）を、その最初の形（ﺟ）で数字の上に置いて平方根を表していた。文字jīm は現在の平方根の形に似ている。その使用は、モロッコの数学者イブン・アル＝ヤサミンの著作において12世紀末まで遡る。^{[ 21 ]}

平方根を表す記号「√」は、1525年にクリストフ・ルドルフの『コス』で初めて印刷物に使用された。^{[ 22 ]}

主平方根関数${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$（通常は単に「平方根関数」と呼ばれる）は、非負の実数の集合をそれ自身に写像する関数です。幾何学的に言えば、平方根関数は正方形の面積をその辺の長さに写像します。

xの平方根が有理数であるのは、xが2つの平方数の比として表せる有理数である場合に限る。（これが無理数であることの証明については「2の平方根」を、平方数でない自然数すべてについて証明するには「二次無理数」を参照のこと。）平方根関数は有理数を代数的数に写像する。代数的数は有理数の上位集合である。

すべての実数xに対して、$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$（絶対値を参照）。

すべての非負の実数xおよびyに対して、$${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ そして $$\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

平方根関数は、すべての非負のxに対して連続であり、すべての正のxに対して微分可能である。fを平方根関数とすると、その導関数は次のように与えられる。$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

テイラーシリーズ​$\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$x = 0 の周りでは| x | ≤ 1で収束し、次式で与えられる。

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

非負数の平方根は、ユークリッドノルム（および距離）の定義、ならびにヒルベルト空間などの一般化において用いられます。また、確率論や統計学で用いられる重要な概念である標準偏差の定義にも用いられます。さらに、二次方程式の解を求める公式においても重要な役割を果たします。平方根に基づく二次体や二次整数環は、代数学において重要であり、幾何学にも応用されています。平方根は、他の数学公式や多くの物理法則にも頻繁に登場します。

正の数には、正と負の2つの平方根があり、これらは互いに符号が逆です。正の整数の平方根について話す場合、通常は正の平方根を指します。

整数の平方根は代数的整数、より具体的には二次整数です。

正の整数の平方根は、その素因数の平方根の積です。なぜなら、積の平方根は因数の平方根の積だからです。 ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$素因数分解において奇数乗を持つ素数の根のみが必要である。より正確には、素因数分解の平方根は$${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

正の数の平方根は一般に有理数ではないため、有限小数または循環小数で表すことはできません。したがって、一般に、小数で表された平方根を計算しようとすると、近似値しか得られませんが、精度が徐々に高まる一連の近似値を得ることは可能です。

ほとんどのポケット電卓には平方根キーがあります。コンピュータのスプレッドシートやその他のソフトウェアも平方根の計算によく使用されます。ポケット電卓は通常、正の実数の平方根を計算するために、ニュートン法（多くの場合、初期推定値は 1）などの効率的なルーチンを実装しています。 ^{[ 23 ] [ 24 ]}対数表や計算尺を使用して平方根を計算する場合、次の恒等式を利用できます。$${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$ ここで、lnとlog ₁₀は自然対数と底10の対数です。

試行錯誤により、^{[ 25 ]}推定値を二乗することができる。${\displaystyle {\sqrt {a}}}$そして、十分な精度に達するまで推定値を増減させる。この手法では、次の恒等式を用いるのが賢明である。$${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$ これにより、推定値xをある量cだけ調整し、調整の二乗を元の推定値とその二乗で測定することができる。

手計算による平方根計算の最も一般的な反復法は、1 世紀のギリシャの哲学者で最初にそれを記述したアレクサンドリアのヘロンにちなんで「バビロニア法」または「ヘロン法」として知られています。 ^{[ 26 ]}この方法は、任意の点での傾きがdy / dx = f ′ ( x ) = 2 xであるという事実を利用して、関数y = f ( x ) = x ² − aに適用したときに得られるニュートン・ラフソン法と同じ反復スキームを使用しますが、何世紀も前に存在していました。^{[ 27 ]}このアルゴリズムは、単純な計算を繰り返し、その結果を新しい入力として、繰り返すたびに実際の平方根に近づく数値を得るというものです。動機は、xが非負の実数aの平方根の過大評価である場合、 a / x は過小評価となり、したがってこれら 2 つの数値の平均はどちらよりも良い近似値になるということです。しかし、算術平均と幾何平均の不等式から、この平均は常に平方根の過大評価であることが分かります（下記参照）。そのため、この平均は、プロセスを繰り返すための新たな過大評価として使用できます。このプロセスは、反復ごとに連続する過大評価と過小評価が互いに近づくことで収束します。 x を求めるには：

1. 任意の正の初期値xから始めます。x がaの平方根に近いほど、目的の精度を達成するために必要な反復回数は少なくなります。
2. x を、 xとa / xの平均値( x + a / x ) / 2で置き換えます。
3. ステップ2から繰り返し、この平均値をxの新しい値として使用します。

つまり、もし${\displaystyle {\sqrt {a}}}$x ₀であり、x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2である場合、各x _nは、${\displaystyle {\sqrt {a}}}$これは、 nが大きい場合の方が、nが小さい場合よりも優れています。a が正の場合、収束は二次関数的であり、これは、極限に近づくにつれて、正しい桁の数が次の反復ごとにほぼ 2 倍になることを意味します。a = 0の場合、収束は線形のみですが、$\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$したがって、この場合は反復処理は不要です。

IDを使用して$${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$ 正の数の平方根の計算は、[ 1, 4)の範囲内の数の平方根の計算に帰着させることができます。これにより、反復法の開始値を平方根に近い値で見つけることが容易になり、多項式または区分的線形近似を使用できます。

精度n桁の平方根を計算するのに必要な時間計算量は、 n桁の数同士を掛け合わせるのに必要な時間計算量と同等である。

平方根を計算するもう 1 つの便利な方法は、n = 2の場合に適用されるシフト n 乗根アルゴリズムです。

平方根関数の名前はプログラミング言語によって異なり、sqrt^{[ 28 ]}（しばしば「スクワート」^{[ 29 ]}と発音される）が一般的で、C言語やC++、JavaScript、PHP、Pythonなどの派生言語で使用されています。

複雑な平方根の最初の葉

複雑な平方根の2番目の葉

平方根のリーマン面を用いて、2枚の葉がどのように組み合わさるかを示します。

正または負の数の2乗は正であり、0の2乗は0です。したがって、負の数は実数の平方根を持つことはできません。しかし、負の数の平方根の解を含む、より包括的な数の集合である複素数を扱うことは可能です。これは、 i（特に電気の分野では、 iは伝統的に電流を表すため、 jで表されることもあります）で表される新しい数を導入することによって行われます。^虚数単位と呼ばれる虚数単位は、i² = −1と定義されます。この表記法を用いると、 iは−1の平方根と考えることができますが、 (− ⁱ ) ² ⁼ i² = −1であるため、−iも−1の平方根となります。慣例として、 −1の主平方根はiであり、より一般的には、xが任意の非負の数である場合、−xの主平方根は $$\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

右辺（およびその負の項）は確かに− xの平方根である。なぜなら$${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

ゼロでない複素数zに対して、 w ² = zとなるような数がちょうど 2 つ存在する。それはzの主平方根(以下で定義) と、その負の数である。

複素数の主平方根

平方根の定義を見つけて、主値と呼ばれる単一の値を一貫して選択できるようにするには、まず、任意の複素数が${\displaystyle x+iy}$平面上の点と見なすことができ、${\displaystyle (x,y),}$デカルト座標を用いて表現される。同じ点は、極座標を用いてペアとして再解釈することができる。${\displaystyle (r,\varphi ),}$どこ${\displaystyle r\geq 0}$は原点からの距離であり、${\displaystyle \varphi }$は、原点から点への線が正の実数 (${\displaystyle x}$) 軸。複素解析では、この点の位置は慣習的に次のように表記されます。${\displaystyle re^{i\varphi }.}$もし$${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ただし}}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$ それから主平方根${\displaystyle z}$は以下のように定義される。$${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$ したがって、主平方根関数は、非正の実軸を分岐点として定義される。${\displaystyle z}$は非負の実数である（これは、 の場合に限り起こる）${\displaystyle \varphi =0}$) すると主平方根は${\displaystyle z}$は${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$言い換えれば、非負の実数の主平方根は、通常の非負の平方根と同じです。重要なのは、${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$例えば、${\displaystyle z=-2i}$（それで${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$) すると主平方根は$${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$ しかし使用すると${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$代わりに別の平方根を生成する${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

主平方根関数は、非正の実数の集合を除いて、あらゆる場所で正則である（厳密に負の実数では連続ですらない）。上記のテイラー級数は、${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$複素数に対しても有効である${\displaystyle x}$と${\displaystyle |x|<1.}$

上記は三角関数を用いて表現することもできます。$${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

代数式

数値を実部と虚部で表すと、主平方根には次の公式を使用できます。^{[ 30 ] [ 31 ]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

ここで、y ≥ 0 の場合はsgn( y ) = 1、それ以外の場合はsgn( y ) = −1です。^{[ 32 ]}特に、元の数とその平方根の主値の虚部は同じ符号を持ちます。平方根の主値の実部は常に非負です。

例えば、± iの主平方根は次のように表されます。

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

The definition of a square root of ${\displaystyle x}$ as a number ${\displaystyle y}$ such that ${\displaystyle y^{2}=x}$ has been generalized in the following way.

A cube root of ${\displaystyle x}$ is a number ${\displaystyle y}$ such that ${\displaystyle y^{3}=x}$; it is denoted ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

If n is an integer greater than two, a n-th root of ${\displaystyle x}$ is a number ${\displaystyle y}$ such that ${\displaystyle y^{n}=x}$; it is denoted ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

Given any polynomialp, a root of p is a number y such that p(y) = 0. For example, the nth roots of x are the roots of the polynomial (in y) ${\displaystyle y^{n}-x.}$

Abel–Ruffini theorem states that, in general, the roots of a polynomial of degree five or higher cannot be expressed in terms of nth roots.

If A is a positive-definite matrix or operator, then there exists precisely one positive definite matrix or operator B with B² = A; we then define A^1/2 = B. In general matrices may have multiple square roots or even an infinitude of them. For example, the 2 × 2identity matrix has an infinity of square roots,^[34] though only one of them is positive definite.

整域の各要素は、最大で 2 つの平方根を持ちます。2 つの平方数の差の恒等式u 2 ⁻ v 2 ⁼ ( u − v )( u + v )は、乗法の可換性を用いて証明されます。uとvが同じ要素の平方根である場合、u ² − v ² = 0となります。零因子が存在しないため、これはu = vまたはu + v = 0を意味し、後者は 2 つの根が互いに加法逆元であることを意味します。 言い換えれば、要素aの平方根uが存在する場合、 aの平方根はuと− uのみです。 整域における 0 の平方根は 0 のみです。

標数2の体では 、各要素は自身の加法逆元であるため、−u = uとなり、要素は1つの平方根を持つか、全く平方根を持たないかのどちらかです。標数2の有限 体であれば、すべての要素は一意の平方根を持ちます。標数2以外の体では、上記のように、ゼロでない要素は2つの平方根を持つか、全く平方根を持たないかのどちらかです。

奇素数pが与えられたとき、q = p ^eをある正の整数eに対して定義する。 q個の要素を持つ体F _qの零でない要素は、 F _qに平方根を持つ場合、二次剰余である。そうでない場合は、二次非剰余である。二次剰余は( q − 1)/2 個、二次非剰余は( q − 1)/2 個存在する。どちらのクラスにもゼロは含まれない。二次剰余は乗法に関して群を形成する。二次剰余の性質は数論で広く利用されている。

整域とは異なり、任意の（単位元を持つ）環における平方根は、符号を除いて一意である必要はない。例えば、環では${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$整数の法 8 (可換ですが、零約数を持ちます)において、要素 1 は ±1 と ±3 の 4 つの異なる平方根を持ちます。

別の例として、四元数の環が挙げられる。${\displaystyle \mathbb {H} ,}$これは零因子を持たないが、可換ではない。ここで、要素 −1 は± i、± j、± kを含む無限個の平方根を持つ。実際、−1の平方根の集合は正確には$${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

0の平方根は、0か零因子のいずれかです。したがって、零因子が存在しない環では、0は一意に0になります。しかし、零因子が存在する環では、0の平方根が複数存在する場合があります。たとえば、${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$nの任意の倍数は0の平方根である。

正の数の平方根は通常、与えられた数に等しい面積を持つ正方形の一辺の長さとして定義されます。しかし、正方形の形状は必ずしも必要ではありません。2 つの相似な平面ユークリッドオブジェクトの 1 つの面積がもう 1 つの面積のa倍である場合、それらの線形サイズの比は${\displaystyle {\sqrt {a}}}$。

平方根はコンパスと定規で作図できます。ユークリッド（紀元前300年頃活躍）は『原論』の中で、2つの異なる箇所、命題II.14と命題VI.13で2つの量の幾何平均の作図を示しています。aとbの幾何平均は ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$構築することができる${\displaystyle {\sqrt {a}}}$b = 1とするだけでよい。

この作図法はデカルトも著書『幾何学』の中で示しており、2ページ目の図2を参照されたい。しかし、デカルトは独創性を主張しておらず、当時の読者はユークリッド幾何学に精通していたであろう。

ユークリッドの第 6 巻の 2 番目の証明は、相似三角形の理論に基づいています。AHB を長さa + bの線分とし、AH = a、HB = bとします。AB を直径とする円を作図し、H における垂線と円との 2 つの交点のうちの 1 つを C とし、CH の長さをhとします。次に、タレスの定理を用い、相似三角形によるピタゴラスの定理の証明と同様に、三角形 AHC は三角形 CHB と相似です (実際、両方とも三角形 ACB と相似ですが、これは必要ありませんが、ピタゴラスの定理の証明の本質です)。したがって、AH:CH は HC:HB と相似であり、つまりa / h = h / bです。これからたすき掛けによりh ² = abと結論付けられ、最後に、${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$線分 AB の中点 O をマークし、長さ( a + b )/2の半径 OC を描くと、明らかに OC > CH である。つまり、${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$（等号が成り立つのはa = bの場合のみ）これは2 つの変数に対する算術平均と幾何平均の不等式であり、前述のように、古代ギリシャにおける「ヘロンの方法」の理解の基礎となっている。

幾何学的作図の別の方法として、直角三角形と帰納法を用いる方法がある。${\displaystyle {\sqrt {1}}}$構築することができ、一度${\displaystyle {\sqrt {x}}}$脚1と脚2を持つ直角三角形が構築されました。${\displaystyle {\sqrt {x}}}$斜辺は​${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$このようにして連続して平方根を構築していくと、上に示したテオドロスの螺旋が得られる。

• ドーベン、ジョセフ・W. (2007). 「中国数学 I」。カッツ、ヴィクター・J. (編) 『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学』所収。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-11485-9。
• Gel'fand, イスラエル M. ;シェン、アレクサンダー (1993)。代数(第 3 版)。ビルクホイザー。 p.  120.ISBN​ 0-8176-3677-3。
• ジョセフ、ジョージ（2000）。孔雀の紋章。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00659-8。
• スミス、デイビッド（1958）。数学史第2巻。 ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-20430-7。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• セリン、ヘレイン（2008）『非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典』、シュプリンガー、Bibcode：2008ehst.book.....S、ISBN 978-1-4020-4559-2。

ウィキメディア・コモンズには平方根に関連するメディアがあります。

• アルゴリズム、実装、その他–ポール・シェイの平方根ウェブページ 
• 平方根を手動で求める方法
• AMS特集コラム、トニー・フィリップス著「ガリレオの算術」―ガリレオが平方根をどのように求めたかについての章を含む。