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数学においては、ある種の誤った証明が、数学的誤謬と呼ばれる概念の例としてしばしば示され、時には収集される。証明における単純な間違いと数学的誤謬には違いがあり、単純な間違いは証明を無効にするのに対し、数学的誤謬の最もよく知られた例では、証明の提示において何らかの隠蔽や欺瞞の要素が存在する。
例えば、妥当性が損なわれる理由は、代数表記によって隠されたゼロ除算に起因する可能性があります。数学的誤謬にはある種の性質があります。典型的な形で提示される場合、それは不条理な結果をもたらすだけでなく、巧妙または賢い方法でそれをもたらします。 [ 1 ]したがって、これらの誤謬は、教育的な理由から、通常は明白な矛盾の偽の証明の形をとります。証明には欠陥がありますが、誤りは通常、意図的に、比較的微妙であるか、特定の手順が条件付きであり、規則の例外となる場合には適用できないことを示すように設計されています。
数学的誤謬を提示する伝統的な方法は、有効なステップに無効な推論ステップを混ぜて示すことであり、この誤謬の意味は論理的誤謬とは少し異なります。後者は通常、論理の有効な推論規則に従わない議論の形式に適用されますが、問題のある数学的ステップは通常、暗黙の誤った仮定で適用される正しい規則です。教育を超えて、誤謬の解決は主題へのより深い洞察につながる可能性があります（たとえば、ユークリッド幾何学のパッシュの公理の導入[ 2 ]、グラフ理論の5色定理）。偽証明の古代の失われた書物であるプセウダリアは、ユークリッドに帰せられています。[ 3 ]
数学の多くの分野に数学的誤謬が存在する。初等代数では、典型的な例として、ゼロ除算が行われるステップ、根号が誤って抽出されるステップ、あるいはより一般的には、多価関数の異なる値が等しいとみなされるステップなどが挙げられる。初等ユークリッド幾何学や微積分にも、よく知られた誤謬が存在する。[ 4 ] [ 5 ]
誤った推論によって数学的に正しい結果が導き出された例が存在する。このような議論は、結論がどれほど真実に見えても、数学的には無効であり、一般に「ハウラー（誤謬） 」として知られている。以下は、異常な相殺を伴うハウラーの例である。
ここでは、結論16 / 64 = 1 / 4は正しいものの、中間ステップで誤った無効な消去が行われています。[注1 ]もう一つの典型的な誤りの例は、特性多項式のスカラー変数を行列で単純に置き換えることによってケイリー・ハミルトンの定理を証明することです。
エドウィン・マックスウェルは、誤った論理や操作にもかかわらず正しい結果を生み出すように構築された偽の証明、計算、または導出を「ハウラー」と呼んだ。[ 2 ]数学の分野以外では、ハウラーという用語はさまざまな意味を持ち、一般的にはあまり具体的ではない。
ゼロ除算の誤謬には多くのバリエーションがある。以下の例では、偽装されたゼロ除算を用いて2 = 1であることを「証明」しているが、これを応用すれば、任意の数が他の任意の数と等しいことを証明することもできる。
誤りは5行目にあります。4行目から5行目への計算では、 a − bによる除算が行われますが、 a = bなので除算値はゼロになります。ゼロ除算は定義されていないため、この議論は無効です。
変化と極限の数学的研究としての数学的解析は、積分と微分の性質を無視すると、数学的誤謬につながる可能性があります。たとえば、素朴に部分積分 を使用すると、0 = 1という誤った証明を与えることができます。 [ 7 ]
その後、原始関数は相殺され、0 = 1 となる。問題は、原始関数は定数を除いてのみ定義され、1または任意の数だけシフトすることが許されている点である。この誤りは、任意の積分範囲aとbを導入したときに明らかになる。
定数関数の2つの値の差はゼロになるため、等式の両辺に同じ定積分が現れる。
多くの関数には一意の逆関数がありません。たとえば、数を2乗すると一意の値が得られますが、正の数の平方根には2つの可能性があります。平方根は多価です。1つの値を慣例として主値として選択できます。平方根の場合、非負の値が主値ですが、数の2乗の主値として与えられた平方根が元の数と等しくなるという保証はありません（たとえば、-2の2乗の主平方根は2です）。これはn乗根についても同様です。
等式の両辺の平方根を取る際には注意が必要です。そうしないと、 [ 8 ] 5 = 4の「証明」になってしまいます。
証拠：
誤りは最後から2行目の両辺の平方根を取る部分にあります。a² = b²は、aとbの符号が同じ場合にのみa = bを意味しますが、ここではそうではありません。この場合、a = – bを意味するため、式は次のようになります。
両辺に 9 / 2 を加えると、正しく5 = 5になります。
方程式の両辺の平方根を取ることの危険性を示すもう1つの例として、次の基本的な恒等式が挙げられます[ 9 ]
これはピタゴラスの定理の結果として成り立つ。次に、平方根を取ると、
x = πのときにこれを評価すると、次のようになります。
または
これは間違いです。
これらの例の誤りは、根本的には、次の形式の方程式は
どこには2つの解決策があります。
そして、これらの解決策のうちどれが目の前の問題に関係しているかを確認することが不可欠です。[ 10 ] 上記の誤謬では、最初の式から2番目の式を導き出すことを可能にした平方根は、cos xが正の場合にのみ有効です。特に、xをπに設定すると、2番目の式は無効になります。
べき乗や平方根を用いた無効な証明は、多くの場合、次のようなものである。
誤謬は、ルールが一般的には、少なくとも 1 つの場合にのみ有効です。そして（実数を扱う場合）は非負であるが、ここではそうではない。[ 11 ]
あるいは、架空のルートは以下のように曖昧化される。
ここでの誤りは、多値関数の誤った使用方法にある。2つの値を持つそして事前に支店を選択することなく、元本のみを示す[ 12 ]同様に、4つの異なる値を持つ、、、 そしてそのうちこれは、最初の等式の左辺と等しい。
数を複素数で累乗すると、結果は一意に定まりません（累乗 § 累乗と対数の恒等式の不成立を参照）。この性質を認識しないと、次のようなエラーが発生する可能性があります。
ここでの誤りは、3行目に進むときのような指数を乗算する規則が、複素指数ではそのまま適用されないことです。両辺をi乗するときに主値のみを選択した場合でも同様です。多価関数として扱うと、両辺は同じ値のセットを生成します。
幾何学における多くの数学的誤謬は、方向付けられた量（例えば、与えられた直線に沿ったベクトルの加算や平面上の方向付けられた角度の加算など）を含む加法等式を、有効な恒等式に適用することによって生じます。しかし、この等式は（いずれか一方の）絶対値のみを固定します。そして、この量が誤った方向で方程式に組み込まれるため、不合理な結論が導き出されます。この誤った方向は、通常、状況の不正確な図によって暗黙のうちに示唆されます。その図では、点や線の相対的な位置が、議論の仮定の下では実際にはあり得ない方法で選択されているにもかかわらず、それが明白ではないのです。
一般的に、このような誤謬は、状況を正確に図示することで容易に暴くことができます。その図では、提示された図とは異なる相対的な位置関係がいくつか存在するはずです。このような誤謬を避けるためには、距離や角度の加算または減算を用いた正しい幾何学的議論によって、常に量が正しい向きで取り込まれていることを証明する必要があります。
二等辺三角形の誤謬（Maxwell 1959 、第 II 章、§ 1）は、すべての三角形が二等辺三角形、つまり三角形の 2 辺が合同であることを示そうとするものです。この誤謬はルイス・キャロルに知られており、彼によって発見された可能性があります。これは 1899 年に発表されました。[ 13 ] [ 14 ]
三角形△ABCにおいて、AB = ACであることを証明せよ。
証明終了
その結果として、AB = BC および AC = BC を同様に示すことで、すべての三角形が正三角形であることを示すことができる。
証明の誤りは、図において点Oが三角形の内側にあると仮定している点です。実際には、点Oは常に△ABCの外接円上にあります（AOとODが一致する二等辺三角形と正三角形を除く）。さらに、ABがACより長い場合、RはABの内側にあり、QはACの外側にあることが示せます（実際、十分な精度を持つ測定器で描かれた図であれば、上記の2つの事実が確認できます）。このため、ABは依然としてAR + RBですが、ACは実際にはAQ − QCであり、したがって長さは必ずしも同じではありません。
帰納法による証明には、その構成要素である基底ケースまたは帰納ステップのいずれかが誤っている誤謬がいくつか存在する。直感的に言えば、帰納法による証明は、ある命題が1つのケースで真であれば、次のケースでも真であると主張し、これを繰り返し適用することで、すべてのケースで真であることが示されるというものである。次の「証明」は、すべての馬が同じ色であることを示している。[ 15 ] [注3 ]
この証明の誤りは3行目にあります。N = 1の場合、 2 つの馬のグループにはN − 1 = 0頭の馬が共通しており、したがって必ずしも同じ色ではありません。そのため、N + 1 = 2頭の馬のグループも必ずしもすべて同じ色ではありません。「 N頭の馬が同じ色であれば、N + 1頭の馬も同じ色である」 という含意は、 N > 1の場合は成り立ちますが、 N = 1の場合は成り立ちません。基本ケースは正しいのですが、帰納法の段階に根本的な欠陥があります。
実世界の単位に対して数学演算を実行すると、多くの場合、単位も変化します。次元解析は、これがどのように役立つかを示しています。しかし、これを考慮しないと、次のような問題が発生する可能性があります。[ 16 ]
両辺の数値の平方根を取る
しかし、辺は数字ではなく、金額の単位です。そして、正しく機能させるには、1行目に平方ドルと平方セント、または2行目にドルとセントの平方根を置かなければなりませんが、これらは意味をなしません。
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