AM-GM不平等

数学において、算術平均と幾何平均の不等式、またはより簡潔にAM-GM不等式とは、非負の実数のリストの算術平均は、同じリストの幾何平均以上であり、さらに、リスト内のすべての数が同じである場合に限り、2つの平均が等しい（この場合、両方ともその数である）という不等式である。

最も単純な非自明なケースは、2 つの非負の数 $x$ と $y$ の場合です。つまり、

\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}

$等号が成り立つのはx = y$ の場合のみです。これは、実数の二乗は常に非負（0 以上）であるという事実と、恒等式 $(a \pm b) 2 = a 2 \pm 2 ab + b 2$ から導かれます。

{\begin{aligned}0&\leq (xy)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}

したがって、 $(x + y) 2 \geq 4 xy$ となり、 $(x - y) 2 = 0$ 、つまり $x = y$ のときに等号が成り立ちます。AM–GM 不等式は、両辺の正の平方根を取り、両辺を2で割ることによって得られます。

幾何学的な解釈として、辺の長さが $x$ と $yの$ 長方形を考えてみましょう。その周長は $2$ $x$ $+ 2$ $y$ 、面積は $xy$ です。同様に、辺の長さがすべて $\sqrt$ $xy の$ 正方形の周長は4 $\sqrt$ $xy$ $で$ 、面積は長方形と同じです。AM–GM 不等式の最も単純な非自明なケースは、周長に関して $2$ $x$ $+ 2$ $y$ $\geq 4$ $\sqrt$ $xy$ であり、面積が等しいすべての長方形の中で、正方形だけが最小の周長を持つことを意味します。

最も単純な例は、ユークリッドの『原論』第5巻命題25に暗黙のうちに示されている。 ^{[ 2 ]}

AM–GM不等式の拡張では、加重平均と一般化平均を扱います。

背景

$n$ 個の数値 $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、 ... 、$ $x$ $n$ のリストの算術平均、またはより正確には平均は、数値の合計をn で割ったもの $です$ 。

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.

幾何平均はこれと似ていますが、非負の実数のリストに対してのみ定義され、加算と除算の代わりに乗算と平方根を使用します。

{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.

$x 1, x 2, . . . , x n > 0$ の場合、これは、各数値の自然対数の算術平均の指数に等しくなります。

\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).

不平等

数学的記法を用いて不等式を言い換えると、 $n 個$ の非負の実数 $x 1 、 x 2 、 ... 、 x n$ の任意のリストに対して、次の不等式が成り立つ。

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,

$そして、その等号はx 1 = x 2 = \cdot \cdot \cdot = x n$ の場合に限り成立する。

幾何学的解釈

2次元の場合、辺の長さが $x$ $1$ と $x$ $2$ の長方形の周長は $2 x 1 + 2 x 2$ です。同様に、 $4$ $\sqrt$ $x$ $1$ $x$ $2$ は、その長方形と同じ面積x $1$ $x$ $2$ の正方形の周長です。したがって、 $n$ $= 2の場合、AM-GM 不等式は、与えられた面積の長方形の周長が最小となるのは$ $、$ その長方形が正方形でもある場合であることを示しています。

完全な不等式は、この考え方を $n$ 次元に拡張したものです。辺の長さが $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、 ... 、$ $x$ $n$ $であるn$ 次元のボックスを考えます。ボックスの各頂点は、異なる方向の $n$ 個の辺に接続されているため、頂点に接続する辺の平均長さは $($ $x$ $1$ $+$ $x$ $2$ $+ ... +$ $x$ $n$ $)/$ $n$ です。一方、 ${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$ $は、体積が等しいn$ 次元立方体の辺の長さであり、したがって、立方体の頂点に接する辺の平均長さでもある。

したがって、AM–GM不等式は、同じ体積を持つすべての $n次元ボックスの中で、各頂点に接続された辺の平均長さが最小なのは$ $n$ 立方体だけであることを述べている。 ^[³^]

例

例１

もし $a,b,c>0$ するとAM-GM不等式は、

\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2\sqrt {1\cdot {c}}}=8\sqrt {abc}}}

例２

単純な上限値 $n!$ 見つけることができる。AM-GMは私たちにこう語る。

1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}

{\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}

など

\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!

平等な $n=1$ 。

同様に、

(n+1)^{n}\geq 2^{n}n!

例３

関数を考えてみましょう

f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}

すべての正の実数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ に対して。この関数の最小値を求めたいとします。これは次のように書き換えることができます。

{\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}

と

x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.

$n = 6$ に対して AM–GM 不等式を適用すると、次のようになります。

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}

さらに、両辺が等しいのは、平均のすべての項が等しい場合と全く同じであることがわかっています。

f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.

これらの条件を満たすすべての点 $(x, y, z)$ は原点から始まる半直線上にあり、次のように表されます。

(x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with}}\quad t>0.

アプリケーション

コーシー＝シュワルツの不等式

AM-GM等式は、コーシー・シュワルツの不等式を証明するために使用できる。

年率換算リターン

金融数学において、AM-GM不等式は、年率リターン（幾何平均）が年率平均リターン（算術平均）よりも小さいことを示している。

グラフ理論

グラフ理論では、AM-GM不等式を使用して、二部グラフの頂点の数が、 $n$ 頂点は上から境界付けられている ${\frac {n^{2}}{4}}$ [ ⁴^{]二部グラフ}^の頂点は $n$ 頂点は2つのクラスに分類できる $A$ そして $B$ 。あるクラスの頂点から別のクラスの頂点へのエッジしか描画できないため、頂点の最大数は次のようになります。 $|A||B|$ AM-GM不等式により、 $|A||B|$ 上から見るとこんな感じです。

$|A||B|\leq ({\frac {|A|+|B|}{2}})^{2}\leq {\frac {n^{2}}{4}}$

非負多項式

モツキン多項式 $x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1$ は、平方多項式の和ではない非負多項式です。は、AM-GM不等式を用いて非負であることが証明できます。 $x_{1}=x^{4}y^{2}$ 、 $x_{2}=x^{2}y^{4}$ 、そして $x_{3}=1$ [ ^{5 ]}すなわち^、 ${\sqrt[{3}]{(x^{4}y^{2})\cdot (x^{2}y^{4})\cdot (1)}}\leq {{(x^{4}y^{2})+(x^{2}y^{4})+(1)} \over {3}}.$ 両辺を簡略化して3を掛けると ${3x^{2}y^{2}}\leq {x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+1},$ そこで^{[ 6 ]} ${0\leq x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}.$

AM–GM不等式の証明

AM-GM不等式は、様々な方法で証明することができる。

イェンセンの不等式を用いた証明

イェンセンの不等式は、凹関数の算術平均の値は、その関数の値の算術平均以上であると述べています。対数関数は凹関数なので、次のようになります。

\log \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \log x_{i}={\frac {1}{n}}\log \left(\prod x_{i}\right)=\log \left(\left(\prod x_{i}\right)^{1/n}\right).

左端と右端の対数（指数関数）の逆対数を取ると、AM–GM不等式が得られます。

要素の逐次置換による証明

私たちはそれを示さなければならない

\alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta

等号は、すべての数値が等しい場合にのみ成立する。

すべての数が等しくない場合、 $x_{i},x_{j}$ そのため $x_{i}<\alpha <x_{j}$ $x i$ を置き換える $\alpha$ そして $x j$ によって $(x_{i}+x_{j}-\alpha )$ 数値の算術平均は変化しませんが、幾何平均は増加します。

\alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0

それでも数値が等しくない場合は、上記のように数値の置き換えを続けます。最大で $(n-1)$ このような置換手順により、すべての数字は置き換えられます。 $\alpha$ 幾何平均は各ステップで厳密に増加する。最後のステップの後、幾何平均は ${\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha$ 不等式を証明する。

置換戦略は右側からも同様に適用できることに留意すべきである。いずれかの数が0であれば幾何平均も0となるため、不等式は自明に証明される。したがって、すべての数が正であると仮定することができる。もしすべてが等しくない場合、不等式が存在する。 $x_{i},x_{j}$ そのため $0<x_{i}<\beta <x_{j}$ 交換 $x_{i}$ による $\beta$ そして $x_{j}$ による ${\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}$ 幾何平均は変化しないが算術平均は厳密に減少する。

x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0

証明は、先の置換の場合と同様の手順で進められます。

帰納法による証明

帰納法による証明その1

非負の実数 $x 1, . . . , x n$ について、AM–GM の記述は以下と同等である。

\alpha ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}

$α = x i が$ すべての $i \in {1, . . . , n}$ に対して成り立つ場合に限り、等号が成立する。

以下の証明では、数学的帰納法とよく知られた算術規則のみを用いる。

帰納法の基礎: $n = 1$ の場合、等号が成り立ち、この命題は真である。

帰納的仮説： $n個$ の非負の実数のすべての選択に対してAM-GM命題が成り立つと仮定する。

帰納ステップ： $n + 1 個の$ 非負の実数 $x 1, . . . , x n +1$ ,を考える。それらの算術平均 $α$ は以下を満たす。

(n+1)\alpha =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.

$すべてのx i が$ $α$ に等しい場合、AM-GM の条件が満たされ、証明は完了です。一部の x i が $α$ に等しくない場合、算術平均 $α$ より大きい数と $α$ より小さい数が必ず存在します。一般性を失うことなく、 $x iを並べ替えて$ $、$ これら 2 つの要素を最後に配置することができます。x $n > α$ および $x n +1 < α$ 。すると

x_{n}-\alpha >0\qquad \alpha -x_{n+1}>0

\implies (x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)

$yを$ 次のように定義します

y:=x_{n}+x_{n+1}-\alpha \geq x_{n}-\alpha >0\,,

そして、 $n$ 個の非負の数 $x 1, . . . , x n -1, yを考えます。$

(n+1)\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}

n\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y},

したがって、 $αは$ $n$ 個の数 $x 1, . . . , x n -1, y$ の算術平均でもあり、帰納法の仮説は、

\alpha ^{n+1}=\alpha ^{n}\cdot \alpha \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha .\qquad (**)

(*)により、

(\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y})\alpha -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0,

したがって

y\alpha >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})

特に $α > 0 である。したがって、数$ $x 1, . . . , x n -1$ の少なくとも 1 つがゼロであれば、(**) で厳密な不等式が成立する。そうでなければ、(**) の右辺は正であり、(***) の推定値を使用して (**) の右辺の下限を得ることで厳密な不等式が得られる。したがって、どちらの場合も (***) を (**) に代入して、次の式を得ることができる。

\alpha ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,

これで証明が完了する。

帰納法による証明その2

まず、実数 $x 1 < 1$ および $x 2 > 1$ に対して、次のことが成り立つことを証明します。

x_{1}+x_{2}>x_{1}x_{2}+1.

実際、不等式 $x 2 > 1$ の両辺に $1 - x 1$ を掛けると、

x_{2}-x_{1}x_{2}>1-x_{1},

そこから、求める不等式が直ちに得られる。

さて、正の実数 $x 1, . . . , x n が$ $x 1 . . . x n = 1$ を満たす場合、次のことが成り立つことを証明します。

x_{1}+\cdots +x_{n}\geq n.

等号は $x 1 = ... = x n = 1$ の場合にのみ成立する。

帰納法の根拠： $n = 2$ の場合、上記の性質によりこの記述は真である。

帰納法の仮説: $n$ $- 1$ までのすべての自然数に対して、この命題が真であると仮定します。

帰納ステップ:自然数 $n$ を考えます。つまり、正の実数 $x 1, . . . , x n$ $に対して、 x 1 . . . x n = 1$ が成り立ちます。少なくとも 1 つの $x k < 1$ が存在するので、少なくとも 1 つの $x j > 1が存在しなければなりません。一般性を失うことなく、$ $k = n - 1$ および $j = n$ とします。

さらに、等式 $x 1 . . . x n = 1 を$ $(x 1 . . . x n -2) (x n -1 x n) = 1$ の形で書きます。すると、帰納法の仮定は、

(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}x_{n})>n-1.

しかし、帰納法の基礎を考慮すると、

{\begin{aligned}x_{1}+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}&=(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\&>(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+x_{n-1}x_{n}+1\\&>n,\end{aligned}}

これで証明が完了する。

正の実数 $a 1, . . . , a n$ に対して、

x_{1}={\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}},...,x_{n}={\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}.

数 $x 1, . . . , x n は$ 条件 $x 1 . . . x n = 1$ を満たします。したがって、次のようになります。

{\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}\geq n,

そこから我々は得る

{\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},

等号は $a 1 = ... = a n$ の場合にのみ成立する。

コーシーによる前向き・後向き帰納法を用いた証明

以下の場合分けによる証明は、よく知られた算術の規則に直接依拠しているが、あまり使われない順方向・逆方向帰納法を用いている。これは基本的にオーギュスタン・ルイ・コーシーによるもので、彼の『解析学講義』に見られる。^{[ 7 ]}

すべての項が等しい場合

すべての条件が等しい場合：

x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n},

すると、それらの和は $nx 1$ なので、算術平均は $x$ $1$ です。また、それらの積は $x$ $1$ $n$ なので、幾何平均は $x$ $1$ です。したがって、算術平均と幾何平均は等しくなり、これは望ましい結果です。

すべての項が等しくない場合

すべての項が等しくない場合、算術平均が幾何平均よりも大きくなることを示す必要がある。明らかに、これは $n > 1 の$ 場合にのみ可能である。

このケースははるかに複雑なので、いくつかのサブケースに分けて検討します。

n = 2 の場合

$n = 2$ の場合、 $x 1$ と $x 2$ の2 つの項があり、（仮定により）すべての項が等しいわけではないので、次のようになります。

{\begin{aligned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0,\end{aligned}}

したがって

{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}

ご希望に応じて。

n = 2 ^kのサブケース

$n = 2k の$ 場合を考えます。ここで $k$ は正の整数です。数学的帰納法を用いて進めます。

基本ケースでは、 $k = 1$ なので、 $n = 2 と$ $なります。n = 2$ の場合に不等式が成り立つことは既に示しましたので、これで完了です。

さて、与えられた $k > 1に対して、$ $n = 2 k -1$ の場合に不等式が成り立つことを既に示しており、 $n = 2 k$ の場合にも成り立つことを示したいとします。そのためには、 $2 k -1$ 個の数に対して不等式を 2 回、 $2$ 個の数に対して 1 回適用して、次の式を得ます。

{\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}

最初の不等式では、両辺が等しいのは、

x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}

そして

x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}

（この場合、最初の算術平均と最初の幾何平均は両方とも $x$ $1$ に等しく、2 番目の算術平均と2 番目の幾何平均についても同様です。）また、2 番目の不等式では、2 つの幾何平均が等しい場合にのみ、両辺が等しくなります。すべての $2$ $k の$ 数が等しいわけではないので、両方の不等式が等式になることは不可能です。したがって、次のことがわかります。

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}

ご希望に応じて。

n < 2 ^kのサブケース

$nが$ $2$ の自然べき乗でない場合、数列 $2, 4, 8, . . . , 2$ $k$ $, . . .は上に有界ではないので、n は必ず何らかの 2 の自然べき乗$ より小さい。したがって、一般性を失うことなく、 $m を$ $n$ より大きい何らかの $2$ の自然べき乗とする。

$そこで、 n$ 個の項がある場合、それらの算術平均を $α$ と表し、項のリストを次のように拡張します。

x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .

次に、以下のものが得られます。

{\begin{aligned}\alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {(m-n)}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}})(\because x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}={\frac {{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}})\\[3pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&\geq {\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}

それで

\alpha ^{m}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}

そして

\alpha \geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}

ご希望に応じて。

基本的な微積分を用いた帰納法による証明

以下の証明では、数学的帰納法と基本的な微分積分学を用います。

帰納法の基礎: $n = 1$ の場合、等号が成り立ち、この命題は真である。

帰納的仮説： $n個$ の非負の実数のすべての選択に対してAM-GM命題が成り立つと仮定する。

帰納ステップ： $n + 1 個の$ 非負の実数 $x 1, . . . , x n, x n +1$ について命題を証明するには、次のことを証明する必要があります。

{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0

$等しいとみなされるのは、 n + 1$ 個の数がすべて等しい場合のみです。

すべての数がゼロの場合、不等式は等号と等号が成り立ちます。一部の数がゼロで、すべてがゼロでない場合は、厳密な不等式となります。したがって、以下では、 $n + 1 個$ の数すべてが正であると仮定します。

最後の数 $x n +1$ を変数とみなし、関数を定義します。

f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.

帰納法のステップを証明することは、すべての $t$ $> 0$ に対して $f (t) \geq 0 で$ あることを示すことと同等であり、 $f$ $($ $t$ $) = 0$ となるのは $x$ $1$ $, . . . ,$ $x$ $n$ と $tがすべて等しい場合に限られます。これは、基本的な微積分を用いて$ $f$ の臨界点を解析することで証明できます。

$f$ の1 階微分は次のように与えられる。

f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.

臨界点 $t 0 は$ $f' (t 0) = 0$ を満たさなければならない。つまり、

({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.

少し配置を変えると、

t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},

そして最後に

t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},

$これはx 1, . . . , x n$ の幾何平均です。これは $f$ の唯一の臨界点です。すべての $t$ $> 0に対して$ $f''$ $($ $t$ $) > 0 で$ あるため、関数 $fは$ 厳密に凸であり、 $t$ $0$ で厳密な大域的最小値を持ちます。次に、この大域的最小値における関数の値を計算します。

{\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned}}

ここで、帰納法の仮定により、最後の不等式が成り立ちます。また、この仮定は、 $x 1 、 ... 、 x n$ がすべて等しい場合にのみ等式が成り立つことを示しています。この場合、それらの幾何平均 $t$ $0$ は同じ値になります。したがって、 $x$ $1$ $、 ... 、$ $x$ $n$ $、$ $x$ $n$ $+1がすべて等しくない限り、$ $f$ $($ $x$ $n$ $+1$ $) > 0$ となります。これで証明は完了です。

この手法は、ユークリッド空間 $R$ $n$ における一般化された AM–GM 不等式およびコーシー–シュワルツの不等式を証明するためにも同様に使用できます。

指数関数を用いたポーヤによる証明

ジョージ・ポリアは、以下のような証明を与えた。すべての実数 $xに対して$ $f (x) = e x -1 - x$ とし、1 階微分 $f'$ $($ $x$ $) = e$ $x$ $-1$ $-$ 1、2 階微分 $f''$ $($ $x$ $) = e$ $x$ $-1$ とする。すべての実数 $xに対して$ $f$ $(1) = 0$ 、 $f'$ $(1) = 0$ 、 $f''$ $($ $x$ $) > 0$ であることに注意すると、 $fは$ $x$ $= 1$ で絶対最小値をとる厳密に凸関数である。したがって、すべての実数xに対して $x$ $\leq e$ $x$ $-1$ $であり、$ 等号が成り立つのは $x$ $= 1$ の場合のみである。

非負の実数 $x 1, x 2, . . . , x n$ $のリストを考えます。これらがすべてゼロの場合、AM-GM 不等式が等号で成り立ちます。したがって、以下の式では、それらの算術平均α > 0$ を仮定できます。上記の不等式を $n回適用すると、次の式が得られます。$

{\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}

$等号が成り立つのは、すべてのi$ $\in {1, . . . ,$ $n$ $}$ に対して $x i = α$ の場合に限る。指数関数の引数は次のように簡略化できる。

{\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{aligned}}

$(*)$ に戻ると、

{\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,

これにより $x 1 x 2 \cdot \cdot \cdot x n \leq α n$ が生成され、したがって結果^{[ 8 ]が得られます。}

{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .

ラグランジュ乗数法による証明

もし $x_{i}$ は $0$ そうすれば証明すべきことは何もない。したがって、我々はすべてを仮定することができる。 $x_{i}$ 完全に正の値です。

算術平均と幾何平均は次数1の同次であるため、一般性を失うことなく、 $\prod _{i=1}^{n}x_{i}=1$ 。セット $G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}$ 、そして $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ 不等式は、（等式の場合とともに）最小値が $F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ 制約条件に従って $G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,$ に等しい $1$ 最小値は、 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1$ まず、制約付き最小化問題には大域的最小値が存在することを示そう。

セット $K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}$ 交差点以来 $K\cap \{G=1\}$ がコンパクトである場合、極値定理は、の最小値が $F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ 制約条件に従う $G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1$ そして $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K$ ある時点で達成される $K$ 一方、 $x_{i}>n$ 、それから $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})>1$ 、その間 $F(1,1,\ldots ,1)=1$ 、そして $(1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}$ これは、内部の最小値を意味します。 $K\cap \{G=1\}$ 実際にはグローバル最小値であり、 $F$ 内部のどの時点でも $K\cap \{G=1\}$ 確かに最小値より小さくはなく、その値は $F$ どの時点でも $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ 内部ではない $K$ は、の値よりも厳密に大きい。 $(1,1,\ldots ,1)$ これは最小値よりも小さくはない。

ラグランジュ乗数法によれば、大域的最小値はある点で達成される。 $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 勾配 $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ は $\lambda$ 勾配の倍数 $G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 一部の人にとって $\lambda$ 。このことが起こる唯一のポイントは、 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1$ そして $F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.$

計算する ${\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}$ そして

{\frac {\partial G}{\partial x_{i}}}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{i}}}

制約に沿って。したがって、勾配を互いに比例するように設定すると、各 $i$ それ ${\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i}}},$ など $n\lambda =x_{i}.$ 左辺は $i$ したがって、 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 、そして $G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1$ したがって、 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1$ そして $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1$ ご希望に応じて。

一般化

加重AM-GM不平等

加重算術平均と加重幾何平均についても同様の不等式が成り立つ。具体的には、非負の数 $x 1, x 2, . . . , x n$ と非負の重み $w 1, w 2, . . . , w n$ が与えられているとする。w $= w 1 + w 2 + \cdot \cdot \cdot + w n$ $とおく。w > 0$ の場合、不等式が成り立つ $。$

{\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}

$等号が成立するのは、 w$ $k$ $> 0$ を満たすすべての $x k が$ 等しい場合に限る。ここでは、 $0$ $0$ $= 1 という$ 慣例が用いられる。

$すべてのw k = 1$ の場合、これは上記の算術平均と幾何平均の不等式に帰着します。

これのより強力なバージョンであり、重み付けなしバージョンの強化版でもあるのが、アルダスによるものです。具体的には、非負の数 $x 1 、 x 2 、 ... 、 x n$ と非負の重み $w 1 、 w 2 、 ... 、 w n$ が与えられているとします。さらに、重みの合計が 1 であると仮定します。すると、

\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\sum _{k=1}^{n}w_{k}x_{k}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}

[ ⁹^]

イェンセンの不等式を用いた証明

自然対数に対するイェンセンの不等式の有限形を用いることで、上述の加重算術平均と加重幾何平均の間の不等式を証明できる。

重み $w$ $k$ $= 0の$ $x k$ は不等式に影響を与えないため、以下ではすべての重みが正であると仮定します。すべての $x$ $k$ が等しい場合、等式が成り立ちます。したがって、すべてが等しくない場合の厳密な不等式を証明する必要がありますが、以下でもそのように仮定します。少なくとも 1 つの $x$ $k$ $がゼロである場合 (ただしすべてではない)、重み付き幾何平均はゼロですが、重み付き算術平均は正であるため、厳密な不等式が成り立ちます。したがって、すべてのx$ $k が$ 正であると仮定することもできます。

自然対数は厳密に凹関数であるため、イェンセンの不等式の有限形式と自然対数の関数方程式は、

{\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )}&>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{aligned}}

自然対数は厳密に増加するので、

{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}>{\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.

行列の算術平均と幾何平均の不等式

算術幾何平均不等式のほとんどの行列一般化は、ユニタリ不変ノルムのレベルで適用されます。なぜなら、行列が $A$ そして $B$ 正半定値行列 $AB$ 正半定値ではない可能性があり、したがって標準的な平方根を持たない可能性がある。^{[ 10 ]} BhatiaとKittanehは、任意のユニタリ不変ノルムに対して、 $|||\cdot |||$ および正半定値行列 $A$ そして $B$ それは事実である

|||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||

その後、^{[ 11 ]}では同じ著者らが、より強い不等式を証明した。

|||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||

最後に、次元については $n=2$ 算術平均と幾何平均の不等式の最も強力な行列一般化が成り立ち、すべてのに対して成り立つと推測される。 $n$

|||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||

この予想された不等式は、2012年にスティーブン・ドルーリーによって示されました。実際、彼は^{[ 12 ]を証明しました。}

{\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots ,n.

金融：幾何級数的資産収益率との関連性

金融分野では、将来の複数期間にわたる資産の収益率を正確に推定することに多くの研究が費やされています。対数正規分布に従う資産収益の場合、幾何分布に従う資産収益から算術分布に従う資産収益を計算するための正確な公式が存在します。

$簡略化のため、 N$ 年間の期間における年次幾何級数リターン $r 1 、r 2 、... 、r N$ を考察すると仮定します。

r_{n}={\frac {V_{n}-V_{n-1}}{V_{n-1}}},

どこ：

V_{n}

= 時点における資産の価値

n

、

V_{n-1}

= 時点における資産の価値

n-1

。

幾何リターンと算術リターンはそれぞれ次のように定義される。

g_{N}=\left(\prod _{n=1}^{N}(1+r_{n})\right)^{1/N}-1,

a_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}r_{n}.

年間幾何資産収益が対数正規分布に従う場合、幾何平均収益を算術平均収益に変換するには次の式を使用できます。^{[ 13 ]}

1+g_{N}={\frac {1+a_{N}}{\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{(1+a_{N})^{2}}}}}},

どこ $\sigma ^{2}$ $は観測された資産収益の$ 分散です $。N$ に関するこの暗黙の方程式は、次のように正確に解くことができます。まず、を設定することで、

z=(1+a_{N})^{2},

次数2の多項式方程式が得られます。

z^{2}-(1+g)^{2}-(1+g)^{2}\sigma ^{2}=0.

この方程式をzについて解き $、zの定義を用いると、N$ $に対して$ $4$ つ $の$ 可能な解が得られます。

a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1\pm {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.

ただし、次の点に注意してください。

{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}\geq 1.

これは、資産収益率が実数であるため、考えられる解は次の2つだけであることを意味します。

a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.

$最後に、幾何平均収益率の増加が算術平均収益率の減少を引き起こすことは決してないため、 g$ $N$ に関する $a N$ の導関数は非負であると予想されます。実際、どちらも資産価値の平均成長率を測定するため、同様の方向に動くはずです。これにより、 $a$ $N$ の暗黙の方程式の解は 1 つだけ残ります。

a_{N}={\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.

したがって、資産収益率が対数正規分布に従うという仮定の下では、算術的資産収益率は幾何的資産収益率によって完全に決定される。

その他の一般化

算術平均と幾何平均の不等式のその他の一般化には、以下のようなものがある。

注記

↑ NM = aかつ PM = bの場合。AM = aとbのAM、半径r = AQ = AG。ピタゴラスの定理を使用すると、QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM。ピタゴラスの定理を使用すると、AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM。相似三角形を使用すると、 ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM。

参考文献

↑ Hoffman, DG (1981), "Packing problems and inequalities", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner , Springer, pp. 212–225 , doi : 10.1007/978-1-4684-6686-7_19 , ISBN 978-1-4684-6688-1
↑ 「ユークリッド原論、第5巻、命題25」。
↑ Steele, J. Michael (2004). 『コーシー＝シュワルツのマスタークラス：数学的不等式の技法入門』 MAA問題集シリーズ。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-54677-5OCLC 54079548
↑ Willighagen, Egon (2009-11-11). "BlueObelisk StackExchange (.com)" . doi.org . 2026-05-02に取得.
↑ Motzkin, TS (1967). "算術幾何不等式". Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965) . New York: Academic Press. pp. 205–224 . MR 0223521 .
↑ アーロン・ポテチン、シカゴ大学「平方和セミナー」、第5講：平方和の証明とモツキン多項式、スライド25
↑コーシー、オーギュスタン＝ルイ(1821)。「注 II、定理 17」。エコール・ロイヤル・ポリテクニックの分析コース。アイリパーティー。 algébrique (フランス語) を分析します。パリ。457～ 459ページ。
↑アーノルド、デニス、アーノルド、グラハム (1993)。4ユニット数学。ホッダー・アーノルド H & S。p. 242。ISBN 978-0-340-54335-1. OCLC 38328013 .
↑ Aldaz, JM (2009). "算術平均と幾何平均の間の不等式の自己改善" . Journal of Mathematical Inequalities . 3 (2): 213– 216. doi : 10.7153/jmi-03-21 . 2023年1月11日取得.
↑ Bhatia, Rajendra; Kittaneh, Fuad (1990). "演算子の積の特異値について". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 11 (2): 272– 277. doi : 10.1137/0611018 .
↑ Bhatia, Rajendra; Kittaneh, Fuad (2000). "行列の算術平均と幾何平均の不等式に関する注記" .線形代数とその応用. 308 ( 1– 3): 203– 211. doi : 10.1016/S0024-3795(00)00048-3 .
↑ SW Drury、「BhatiaとKittanehの質問について」、Linear Algebra Appl. 437 (2012) 1955–1960。
↑ Mindlin, Dimitry (2011). "算術収益と幾何収益の関係について" . SSRN 電子ジャーナル. doi : 10.2139/ssrn.2083915 . ISSN 1556-5068 .
↑参照ヨルダネスク、R.ニチタ、FF; Pasarescu, O. 統一理論: 平均と一般化されたオイラー公式。公理 2020、9、144。

外部リンク

アーサー・ローウォーター（1982）。「不等式入門」。PDF形式のオンライン電子書籍。

[14] NM = aかつ PM = bの場合。AM = aとbのAM、半径r = AQ = AG。ピタゴラスの定理を使用すると、QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM。ピタゴラスの定理を使用すると、AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM。相似三角形を使用すると、 ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM。

[1] Hoffman, DG (1981), "Packing problems and inequalities", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner , Springer, pp. 212–225 , doi : 10.1007/978-1-4684-6686-7_19 , ISBN 978-1-4684-6688-1

[2] 「ユークリッド原論、第5巻、命題25」。

[3] Steele, J. Michael (2004). 『コーシー＝シュワルツのマスタークラス：数学的不等式の技法入門』 MAA問題集シリーズ。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-54677-5OCLC 54079548

[4] Willighagen, Egon (2009-11-11). "BlueObelisk StackExchange (.com)" . doi.org . 2026-05-02に取得.

[5] Motzkin, TS (1967). "算術幾何不等式". Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965) . New York: Academic Press. pp. 205–224 . MR 0223521 .

[6] アーロン・ポテチン、シカゴ大学「平方和セミナー」、第5講：平方和の証明とモツキン多項式、スライド25

[7] コーシー、オーギュスタン＝ルイ(1821)。「注 II、定理 17」。エコール・ロイヤル・ポリテクニックの分析コース。アイリパーティー。 algébrique (フランス語) を分析します。パリ。457～ 459ページ。

[8] アーノルド、デニス、アーノルド、グラハム (1993)。4ユニット数学。ホッダー・アーノルド H & S。p. 242。ISBN 978-0-340-54335-1. OCLC 38328013 .

[9] Aldaz, JM (2009). "算術平均と幾何平均の間の不等式の自己改善" . Journal of Mathematical Inequalities . 3 (2): 213– 216. doi : 10.7153/jmi-03-21 . 2023年1月11日取得.

[10] Bhatia, Rajendra; Kittaneh, Fuad (1990). "演算子の積の特異値について". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 11 (2): 272– 277. doi : 10.1137/0611018 .

[11] Bhatia, Rajendra; Kittaneh, Fuad (2000). "行列の算術平均と幾何平均の不等式に関する注記" .線形代数とその応用. 308 ( 1– 3): 203– 211. doi : 10.1016/S0024-3795(00)00048-3 .

[12] SW Drury、「BhatiaとKittanehの質問について」、Linear Algebra Appl. 437 (2012) 1955–1960。

[13] Mindlin, Dimitry (2011). "算術収益と幾何収益の関係について" . SSRN 電子ジャーナル. doi : 10.2139/ssrn.2083915 . ISSN 1556-5068 .

[15] 参照ヨルダネスク、R.ニチタ、FF; Pasarescu, O. 統一理論: 平均と一般化されたオイラー公式。公理 2020、9、144。

[ 1 ]

[ 2 ]

[

4

5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]が得られます。

9

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]を証明しました。

[ 13 ]

[

[ 14 ]

背景

不平等

幾何学的解釈

例

例１

例２

例３

アプリケーション

コーシー＝シュワルツの不等式

年率換算リターン

グラフ理論

非負多項式

AM–GM不等式の証明

イェンセンの不等式を用いた証明

要素の逐次置換による証明

帰納法による証明

帰納法による証明その1

帰納法による証明その2

コーシーによる前向き・後向き帰納法を用いた証明

すべての項が等しい場合

すべての項が等しくない場合

n = 2 の場合

n = 2 kのサブケース

n < 2 kのサブケース

基本的な微積分を用いた帰納法による証明

指数関数を用いたポーヤによる証明

ラグランジュ乗数法による証明

一般化

加重AM-GM不平等

イェンセンの不等式を用いた証明

行列の算術平均と幾何平均の不等式

金融：幾何級数的資産収益率との関連性

その他の一般化

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

Proof without words

AM–GM不等式

算術平均

タレスの定理

n = 2 ^kのサブケース

n < 2 ^kのサブケース