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動的長方形とは、動的対称性を持つ直角の四辺形（長方形）のことです。この場合、動的対称性とは、アスペクト比（幅÷高さ）が動的対称性における重要な値であることを意味します。動的対称性とは、ジェイ・ハンビッジの著書で説明されている比例システムと自然なデザイン手法です。これらの動的長方形は正方形から始まり、一連の弧と交点を使用して拡張され、黄金長方形（1 : 1.618...）、2:3 長方形、二重正方形（1:2）、またはルート長方形（1: √ φ、1: √ 2、1: √ 3、1: √ 5など）などの目的の図形を形成します。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
ルート長方形とは、長い辺と短い辺の比が√2、√3などの整数の平方根である長方形のことです。[ 2 ]
ルート2長方形（図10のACDK）は、正方形の向かい合う2辺を正方形の対角線の長さまで延長することによって作られます。ルート3長方形は、ルート2長方形の長い方の2辺をルート2長方形の対角線の長さまで延長することによって作られます。次のルート長方形は、ルート長方形の長い方の辺をその長方形の対角線の長さに等しく延長することによって生成されます。[ 4 ]
平方根φ長方形は動的な長方形ですが、平方根長方形ではありません。その対角線は、短い方の辺の長さのφ倍に等しくなります。平方根φ長方形を対角線で分割すると、2つの合同なケプラー三角形が得られます。
ジェイ・ハンビッジは、動的対称性の理論の一部として、ルート長方形を、彼が動的長方形と呼ぶものの中に含めている。動的長方形は、黄金比や平方根などの無理数や幾何級数を比率として持つ。ハンビッジは、これらを、彼が静的長方形と呼ぶ、有理比率の長方形と区別している。[ 3 ] 彼によれば、ルート2、3、4、5の長方形は、ゴシック様式や古典ギリシャ・ローマの美術、工芸品、建築によく見られるが、ルート5より大きいアスペクト比の長方形は、人間のデザインにはほとんど見られない。[ 4 ]
マティラ・ギカによれば、ハンビッジのダイナミックな長方形は
最も多様で満足のいく調和的（協和的で、対称性によって関連付けられている）な細分化と組み合わせを生成できます。これは、選択した長方形の内側に、残りの 2 つの頂点のいずれかから対角線とそれに垂直な線を描き（これにより、表面を相互の長方形とそのグノモンに分割します）、辺と対角線に平行線と垂直線の任意のネットワークを描くという非常に単純なプロセスによって実現されます。これにより、最初の長方形の特性比率によって相関する表面が自動的に生成され、√ 2と√ 3または√ 5のような対立するテーマの混合も（自動的に）回避されます。 逆に、√ 5とΦは対立的ではなく協和的であり、 √ Φ、Φ 2などとも協和的です。[ 3 ]
ヴォルフガング・フォン・ヴェルジンの『長方形の本、空間法則と直交図形のジェスチャーの記述』（1956年）によると、12種類の特別な直交図形（ギリシャ語のορθος、orthos、「まっすぐな」[ 9 ]とγονια、gonia、「角度」、「直角図形」、結果として長方形と正四角形[ 10 ]に由来）が、歴史的に芸術家、建築家、書道家によって、デザインにおける要素の配置と相互作用を導くために使用されてきた。[ 3 ] [ 11 ] これらの直交図形は次のとおりである。[ 12 ]
ヴォルフガング・フォン・ヴェルジンの著書には、1558年（ルネサンス期）のテキストの珍しい写本が含まれており、12の直交座標のうち7つの図解と、古代の建築家が「純粋な抽象概念」として「これらの比率に勝るものはない」と信じていたため、注意深く読むようにという一節がある。[ 13 ]
12個の直交角形をすべて組み合わせると、1つの単位、つまり二重正方形に展開された正方形が作られます。[ 14 ]
直交図形の中で最も人気のあるものの一つは、オーロン長方形、あるいは黄金長方形でしょう。これは、正方形の一辺の中央点から対角線を引いて、その対角線を中央点に沿うように伸ばすことで作成されます。
これらの直交図形のうち4つは調和長方形です。対角線または√2長方形は、正方形の対角線を投影することによって生成されます。六角形、六角形、または√3長方形は、対角線の対角線を投影することによって生成されます。二重正方形または√4長方形は、六角形の対角線を投影することによって生成されます。√5長方形は、二重正方形の対角線を投影することによって生成されます（または、正方形の一辺の中点から反対側の頂点に向かう2つの対角線を180°投影することによって生成されます）。
これらの図形の中で最も複雑な2つは、 1: √φの比率を持つペントンで、黄金のピラミッドの断面に関係しており、バイペントンの長い辺は短い辺に2√5-2√5を掛けたものに等しく、;ビアウロンの長い方の辺は、短い方の辺の√ 5 - 1、つまり 2 / φ 倍です。
四角形は、正方形の4分の1の対角線を投影することで長辺が得られるという意味で、対角線と関連しています。三角形は、正三角形の高さと辺の幅を持ちます。半二角形の長辺は、√5長方形の長辺の半分であり、正方形の半分の対角線を原点に垂直になるまで投影することで得られます。
正方形と二重正方形の他に、このリストに含まれる静的な長方形は、正方形の一辺の半分を90度または180度投影することによって生成される半長方形のみです。
直交図形の寸法は互いに関連しており、直交図形全体とも関連しています。このため、直交図形をテンプレートや基礎構造として使用することは、芸術家、建築家、デザイナーにとって興味深いものです。[ 15 ]
直交図形は常に正方形、つまりどんな正方形でも構いませんが、それから始まります。個々の直交図形が構築されると、それに関連する追加の寸法（小、中、大）が決定されます。これらの寸法は、デザイン（絵画、建築、陶芸、家具、書道、自動車など）の指針として使用できます。
ウェルシンの著書には、個々の直交図形を作成するための非常に詳細な説明があります。[ 16 ]そこから導き出された寸法は、デザインに適用されます。ジョルジオ・モランディ の作品は、さまざまなサイズの寸法（直交図形から導き出されたもの）がどのように視覚的な調和を生み出すかを示す好例です。
直交座標系に関連する寸法を基礎構造システム（または設計のテンプレート）として使用することで、各部分が設計全体と関連付けられることが保証されます。マルクス・ウィトルウィウス・ポッリオは、『建築十書』として知られる『建築十書』第3巻で次のように説明しています。
「したがって、自然は人間の身体を、その各部位が全体の骨格に対して適切な比率になるように設計しているのだから、古代の人々が、完璧な建築物においては各部位が全体の構造に対して正確に対称的な関係にあるべきだという規則を設けたのは、もっともな理由があったと言えるだろう。そのため、彼らはあらゆる種類の建築物の適切な配置を私たちに伝える際、特に神殿、すなわち美点も欠点も永遠に残るような建築物については、細心の注意を払ったのである。」
レオナルドのウィトルウィウス的人体図は、作品全体に関連する部分の概念を示す例である。[ 17 ]
動的対称性のルート矩形。
{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）ルート矩形。