可換図式

数学、特に圏論において、可換図とは、図中の始点と終点が同じすべての有向パスが同じ結果に至るような図のことである。^{[ 1 ]}可換図は、圏論において、代数学における方程式が果たす役割を担っていると言われている。^{[ 2 ]}

可換図式は、多くの場合、次の3つの部分から構成されます。

• オブジェクト（頂点とも呼ばれる）
• 射（矢印またはエッジとも呼ばれる）
• パスまたはコンポジット

図追跡（図式探索とも呼ばれる）は、特にホモロジー代数で使用される数学的証明法であり、可換図の要素をたどることによって、ある射の性質を確立する。図追跡による証明では、通常、単射写像や全射写像、完全列などの図の性質を形式的に使用する。^{[ 5 ]}図のグラフィカル表示は単なる視覚的な補助として、三段論法が構築される。その結果、目的の要素または結果が構築または検証されるまで、図の周りの要素を「追跡」することになる。

図解による証明の例としては、五つの補題、蛇の補題、ジグザグの補題、九つの補題などでよく見られるものがある。

高次圏論では、対象と矢印だけでなく、矢印間の矢印、矢印間の矢印、といった具合に無限に続く矢印も考慮されます。例えば、小圏の圏Cat は自然に 2 圏であり、その矢印は関手、関手間の矢印は自然変換です。この設定では、可換図式にはこれらの高次の矢印も含まれる場合があり、それらはしばしば次のような形式で表されます。${\displaystyle \Rightarrow }$例えば、次の（やや自明な）図は、2 つのカテゴリCとD、2 つのファンクターF、G  : C → D、および自然変換α  : F ⇒ G :を示しています。

2カテゴリーには2種類の構成（垂直構成と水平構成と呼ばれる）があり、これらは図を貼り付けることで表現することもできます（例については2カテゴリー#定義を参照）。

圏Cにおける可換図式は、インデックス圏JからCへの関手として解釈できます。この関手を図式と呼びます。

より厳密に言えば、可換図式とは、半順序集合圏によってインデックス付けされた図式の視覚化である。このような図式は通常、以下を含む。

• インデックスカテゴリ内の各オブジェクトに対応するノード、
• 射の生成集合を表す矢印（恒等写像および合成として表現できる射は除く）、
• 図の可換性（2つの対象間の写像の異なる合成が等しいこと）は、半順序集合圏における2つの対象間の写像の一意性に対応する。

逆に、可換図式が与えられた場合、それは半順序集合圏を定義する。ここで、

• オブジェクトはノードであり、
• 任意の 2 つのオブジェクトの間に射が存在するのは、ノード間に (有向) パスが存在する場合に限る。
• この射が一意であるという関係性がある（写像の任意の合成は、その定義域と目標域によって定義される。これが可換性の公理である）。

しかし、すべての図式が可換であるわけではない（図式の概念は可換図式を厳密に一般化したものである）。簡単な例として、自己準同型を持つ単一のオブジェクトの図式（${\displaystyle f\colon X\to X}$)、または2つの平行な矢印で (${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$つまり、${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$（自由箙と呼ばれることもある）は、等化器の定義で使用される場合、必ずしも可換である必要はありません。さらに、対象や射の数が多い場合（あるいは無限の場合）、図は複雑になったり、描くことが不可能になったりすることがあります。

• 数学的図

• MathWorldでの図解探し
• WildCatsはMathematica用の圏論パッケージです。オブジェクト、射、圏、関手、自然変換の操作と可視化が可能です。