非可換位相

数学において、非可換位相とは位相概念とC*-代数概念の関係を表す用語である。この用語は、局所コンパクト ハウスドルフ空間のカテゴリと可換C*-代数のカテゴリの双対性を意味するゲルファント-ナイマルクの定理に由来する。非可換位相は解析非可換幾何学と関連している。

非可換位相幾何学の前提は、非可換 C*-代数は、古典的には存在しない「非可換空間」上の複素数値連続関数の代数のように扱うことができるというものである。いくつかの位相的性質は、可換性や基礎となる空間を参照することなく C*-代数の性質として定式化できるため、すぐに一般化できる。その中には次のようなものがある。

• コンパクト性（単位）
• σ-コンパクト性( σ-ユニタル)
• 次元（実数または安定ランク）
• 連結性（投影なし）
• 極端に不連続な空間( AW*-代数)

可換 C*-代数の個々の要素は連続関数に対応します。したがって、特定のタイプの関数は C*-代数の特定のプロパティに対応できます。たとえば、可換 C*-代数の自己随伴要素は、実数値の連続関数に対応します。また、射影(つまり、自己随伴べき等性) は、閉集合の指示関数に対応します。

カテゴリカルな構成から、いくつかの例が生まれます。たとえば、空間の余積は互いに素な和であるため、代数 の直和に対応し、これはC*-代数の積です。同様に、積位相はC*-代数の余積、つまり代数のテンソル積に対応します。より特殊な設定では、位相のコンパクト化は代数の単位化に対応します。したがって、1 点コンパクト化はC*-代数の最小単位化に対応し、ストーン–チェフのコンパクト化は乗数代数に対応し、コロナ集合はコロナ代数に対応します。

複数の一般化が可能で、どれが望ましいかが明確でない特性の例がいくつかあります。たとえば、確率測度は状態またはトレース状態のいずれかに対応できます。可換ケースではすべての状態が空虚なトレース状態であるため、トレース条件が有用な一般化に必要かどうかは明らかではありません。

この考え方の主な例の 1 つは、位相的 K 理論を演算子 K 理論の形で非可換 C* 代数に一般化することです。

これをさらに発展させたものが、K理論の二変量版であるKK理論であり、これは合成積を持つ。

${\displaystyle KK(A,B)\times KK(B,C)\rightarrow KK(A,C)}$

通常のK理論における環構造は特別な場合である。積はKKにカテゴリの構造を与える。これは代数多様体の対応と関連している。^[1]