ヒルベルトのヌルステレンザッツ

数学において、ヒルベルトの零点定理（ドイツ語で「零点の定理」、より直訳すると「零点軌跡定理」）は、幾何学と代数学の間の基本的な関係を確立する定理である。これは、 1890年にヒルベルトの基底定理を証明した画期的な論文に続き、1893年にダフィット・ヒルベルトが不変式論に関する2番目の主要論文で証明し、代数幾何学の基礎的な結果となった。

Nullstellensatzにはいくつかの定式化があり、その中で最も基本的なものは、代数的に閉じた体（複素数など）上の多変数多項式方程式系の解の存在条件を扱っている。${\displaystyle \mathbb {C} }$弱ヌルシュテルンザッツはヌルシュテルンザッツの系（または補題、どちらが先に証明されるかによる）であり、次のように述べることができる。^{[ 1 ]}多項式方程式のシステムを考える。

$${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\end{cases}}}$$

変数において${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$、 どこ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$代数的に閉じた体上の多変数多項式である${\displaystyle K}$システムに解決策がない場合$\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}}$すると、この状況には「代数的な理由」がある。つまり、これは多項式が存在する場合に正確に起こる。${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$そのため

$${\displaystyle g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}=1.}$$

左辺の式はどの時点でも0に評価されなければならないため${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$連立方程式を解く解が存在する場合、この条件が満たされるならば、矛盾から解が存在しないことが生じるのは明らかである。非公式には、（弱い）ヌルシュテルンザッツは、このような矛盾が存在しない限り、連立方程式の解が存在すると主張する。

完全なヌルステレンザッツは、次の改良版です。${\displaystyle f\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$は、連立方程式のすべての解が の解でもあるような多項式である。

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=0,}$$

そして、この現象には同様の「代数的理由」がある。これはまさに自然数が存在する場合に起こる。${\displaystyle r}$および多項式${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}$そのため

$${\displaystyle f^{r}=g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}.}$$

kを体(例えば有理数)とし、 K をkの代数的に閉じた体拡大(例えば複素数) とする。多項式環を考える。${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$そして、J をこの環のイデアルとする。代数集合${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$このイデアルによって定義されるすべてのnタプルは${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$で${\displaystyle K^{n}}$そのため${\displaystyle f(a)=0}$すべての人々のために${\displaystyle f\in J}$ヒルベルトの零点定理によれば、pが多項式である場合、${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$代数集合上で消滅する${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$つまり、${\displaystyle p(a)=0}$すべての人々のために${\displaystyle a\in \mathrm {V} (J)}$すると自然数が存在する${\displaystyle r}$そのため${\displaystyle p^{r}\in J}$[ ^{2 ]​}

代数幾何学で一般的な記法を用いると、ヌルシュテルンザッツは次のように定式化できる。

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

すべての理想Jに対して${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$Kは代数的に閉じている。ここで、${\displaystyle {\sqrt {J}}}$Jの根号を表します(${\displaystyle p\in {\sqrt {J}}}$かつその場合に限り${\displaystyle \exists r\in \mathbb {N} ,\ p^{r}\in J}$)${\displaystyle \mathrm {I} (U)}$はUの消滅イデアル( Uの点で消滅する多項式の集合) であり、${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$はJの零点集合( Jの多項式がゼロになる点の集合)である。${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))\subseteq {\sqrt {J}}}$これは、 k = K が代数的に閉じている場合の上記の最初の定式化と同等であり、反対の包含関係は定義から容易に導かれる。

直接的な帰結として、弱いヌルシュテルンザッツが成り立つ。Jが真のイデアルである場合、${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$、 それから${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$は空でない、すなわち、すべての代数的に閉じた拡大に対して${\displaystyle K\supseteq k}$共通零点が存在する${\displaystyle K^{n}}$イデアルJのすべての多項式について。^{[ 3 ]} これが定理の名前の由来であり、その完全なバージョンは、ラビノヴィッチのトリックを使用して「弱い」形式から容易に証明できます。代数的に閉じた体で共通の零点を考えるという仮定がここでは重要です。たとえば、真のイデアルの要素は${\displaystyle (X^{2}+1)}$で${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$共通のゼロ点を持たない${\displaystyle \mathbb {R} .}$

単一の多項式の場合に特化すると、${\displaystyle K=\mathbb {C} }$そして${\displaystyle n=1}$すると、すぐに代数学の基本定理の言い換えが得られる。${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$根源は${\displaystyle \mathbb {C} }$かつその場合に限り${\displaystyle \deg P\neq 0}$このため、（弱い）ヌルステレンザッツが適用され、${\displaystyle K=\mathbb {C} }$これは、代数学の基本定理を多変数多項式方程式のシステムに一般化したものと考えることができる。^{[ 4 ]}

K を代数的に閉じたものとすると、ヌルステレンザッツは、代数集合間の順序反転全単射対応を確立する。${\displaystyle K^{n}}$そして、​${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$実際、より一般的には、空間の部分集合と代数の部分集合の間にはガロア関係があり、ここで「ザリスキー閉包」と「生成されたイデアルの根基」が閉包演算子である。

具体的な例として、1つの点からなる代数集合を考えてみましょう。${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$。 それから${\displaystyle \mathrm {I} (\{a\})=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$は極大イデアルである。逆に、多項式環のすべての極大イデアルは${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$（ご了承ください${\displaystyle K}$代数的に閉じている) は、次の形式である。${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$一部の人にとって${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$代数的に閉じた体上の多項式環の極大イデアルのこの特徴付けは、弱いヌルシュテルンザッツのもう一つの一般的な定式化である。この対応関係の別の例であり、ヌルシュテルンザッツの帰結として、代数的部分集合Wが${\displaystyle K^{n}}$ザリスキー位相において既約であるのは、${\displaystyle \mathrm {I} (W)}$は素因である。

より一般的には、${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$、

${\displaystyle {\sqrt {J}}=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\supseteq J}{\mathfrak {m}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathrm {V} (J)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}),}$

ここで、最初の交点は極大イデアルについて取られる。${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subsetneq K[X_{1},...,X_{n}]}$この関係は、ヌルシュテレンザッツのもう一つの一般的な定式化である。（最初の等式は、体上の任意の有限生成代数を含む、任意のヤコブソン環のイデアルに対して実際に成り立ち、2番目の等式は代数的に閉じたKに対して成り立つ。）

この定理には多くの既知の証明が存在する。最初の証明のように非構成的なものもあれば、 1やpr^をイデアルの生成元の線形結合として表現するアルゴリズムに基づいた構成的なものもある。

Nullstellensatz は、ヤコブソン環の理論の体系的な展開によって包含される。ヤコブソン環とは、すべての根基イデアルが極大イデアルの交差である環のことである。ザリスキの補題を考慮すると、Nullstellensatz を証明することは、k が体である場合、すべての有限生成k代数R (必然的に次の形式) が成り立つことを示すことに相当する。${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$）はジェイコブソンである。より一般的には、次の定理が成り立つ。

させて${\displaystyle R}$ジェイコブソン環である。${\displaystyle S}$は有限生成R代数である。${\displaystyle S}$はヤコブソン環である。さらに、もし${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$が極大イデアルならば、${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$は、${\textstyle R}$、 そして${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$は有限拡張である${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$[ ^{8 ]​}

他の一般化は、ヌルシュテルンザッツをスキーム理論の観点から、任意の体kと非零の有限生成k代数Rに対して射が${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$セクションをエタール局所的に受け入れる（同等に、基底変換後）${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$ある有限体拡張に対して${\textstyle L/k}$) この観点から、次の定理が得られる。

スキームの任意の忠実平坦射${\textstyle f:Y\to X}$有限表示の局所は準切断を許容する。すなわち、忠実に平坦で局所的に準有限な射が存在する。${\textstyle g:X'\to X}$有限表示の局所的な基底が変化する${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$の${\textstyle f}$平行${\textstyle g}$セクションを認める。^{[ 9 ]}さらに、${\textstyle X}$が準コンパクト（または準コンパクトかつ準分離）である場合、次のようにすることができます。${\textstyle X'}$アフィンである（または${\textstyle X'}$アフィンと${\textstyle g}$準有限）であり、${\textstyle f}$が滑らかな全射である場合、${\textstyle g}$エタールである。^{[ 10 ]}

セルジュ・ラングは、ヌルシュテルンザッツを無限個の生成子の場合に拡張した。

させて${\textstyle \kappa }$無限基数とし、${\textstyle K}$代数的に閉じた体であり、その素部分体上の超越次数は厳密に以下よりも大きい。${\displaystyle \kappa }$すると任意の集合に対して${\textstyle S}$基数${\textstyle \kappa }$多項式環${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$Nullstellensatzを満たす、すなわち任意のイデアルに対して${\textstyle J\subset A}$私たちはそれを持っています${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$[ ^{11 ]​}

ヒルベルトのヌルシュテルンザッツは、そのすべての変形において、ある多項式gが、例えばf ₁ , ..., f _kによって生成されるイデアルに属するか否かを主張します。強いバージョンではg = f ^r 、弱いバージョンではg = 1となります。これは、 g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _kとなるような多項式g ₁ , ..., g _kの存在または非存在を意味します。ヌルシュテルンザッツの通常の証明は、 g _iを計算する方法を与えないという意味で、構成的ではなく、非効果的です。

したがって、 g _i (および強形式の指数r )を効果的に計算する方法があるかどうか、あるいはそれらが存在しないことを証明する方法があるかどうかを問うのは、ごく自然な疑問である。この問題を解決するには、 g _iの全次数に対する上限を与えるだけで十分である。このような上限によって、問題は通常の線形代数の手法で解ける有限個の線形方程式系に帰着する。このような上限は、有効な Nullstellensatzと呼ばれる。

関連する問題として、多項式がイデアルに属するかどうかを判定するイデアル帰属問題がある。この問題についても、 g _iの次数に対する上限によって解が得られる。イデアル帰属問題の一般的な解は、少なくとも弱形式においては、有効なヌルシュテルンザッツを提供する。

1925年、グレーテ・ヘルマンは、理想メンバーシップ問題に対する上限が変数の数に関して二重指数関数的であることを示した。1982年、メイアとマイヤーは、g _{i の}次数が少なくとも二重指数関数的である例を示し、理想メンバーシップ問題に対する一般的な上限はすべて変数の数に関して二重指数関数的であることを示した。

当時、ほとんどの数学者は有効ヌルシュテレンザッツが少なくともイデアルメンバーシップと同じくらい難しいと想定していたため、二重指数関数よりも優れた境界を求めた数学者はほとんどいなかった。しかし、1987年にW.デール・ブラウナウェルは、変数の数に対して単純に指数関数的な有効ヌルシュテレンザッツの上限を与えた。^{[ 12 ]} ブラウナウェルの証明は特性0でのみ有効な解析的手法に依存していたが、1年後、ヤーノシュ・コラーは、任意の特性で有効な、わずかに優れた境界の純粋に代数的な証明を与えた。

弱いヌルステレンザッツの場合、コラーの境界は次のようになります。^{[ 13 ]}

f ₁ , ..., f _sをn ≥ 2変数の多項式とし、その全次数はd ₁ ≥ ... ≥ d _sとする。f 1 _{g 1} + ... + f _s g _s = 1となるような多項式g _{i が}存在する場合、それらは次のように選択できる 。

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

すべての次数が2より大きい場合、この上限は最適です。

dがf _iの次数の最大値である場合、この境界は次のように単純化できます。

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

M. Sombraによる改良は^{[ 14 ]である。}

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

関係する度数のうち少なくとも2つが 3未満であれば、彼の限界値はKollárの限界値よりも優れている。

多項式の同次イデアルと射影空間の代数的部分集合との間に、アフィンヌルシュテルンザッツに類似した射影ヌルシュテルンザッツと呼ばれるある種の対応関係を定式化することができる。そのためには、いくつかの記号を導入する。${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$均質な理想、

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

は最大同次イデアルと呼ばれます（無関係イデアルも参照）。アフィンの場合と同様に、部分集合に対して次のように定義します。${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$そしてRの同次イデアルI、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

による${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$つまり、すべての同次座標について${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$Sの点について、${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$これは、 fの同次成分もS上でゼロであることを意味し、したがって${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$は同質イデアルである。言い換えれば、${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$は、 S上で消滅する同次多項式fによって生成される同次イデアルです。さて、任意の同次イデアルに対して、${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$通常のヌルステレンザッツにより、次のようになります。

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

したがって、アフィンの場合と同様に、次のようになります。^{[ 15 ]}

Rの真の同次根基イデアルと部分集合の間には、順序を反転した一対一の対応が存在する。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$形式${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$対応関係は${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$そして${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

ヌルシュテルンザッツは、複素n空間の点における正則関数の芽に対しても成り立つ。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$正確には、各開集合について${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$させて${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$U上の正則関数の環を表すとすると、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$束は​${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$茎​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$例えば、原点では、一意の因数分解領域であるネーター局所環であることが示される。

もし${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$は正則関数で表される芽である${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$すると${\displaystyle V_{0}(f)}$集合の同値類とする

${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

ここで2つの部分集合${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$同等とみなされるのは、${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$ある近隣地域ではUは0です。注${\displaystyle V_{0}(f)}$代表者の選択とは無関係である${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$各理想について${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$させて${\displaystyle V_{0}(I)}$示す${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$一部の発電機の場合${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$Iの。これは明確に定義されており、つまり、生成子の選択に依存しません。

各サブセットについて${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$、 させて

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

容易にわかるように${\displaystyle I_{0}(X)}$理想は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$そしてそれは${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$もし${\displaystyle X\sim Y}$上記で述べた意味において。

解析的ヌルシュテルンザッツは次のように述べている。^{[ 16 ]}各イデアルについて${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$、

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

ここで、左辺はIの根号です。

古典的な代数幾何学では、零点軌跡（「多様性」）演算（V）は代数的に閉じた体上の多項式環の部分集合に適用され、消滅イデアル演算（I）は、弱ヌルシュテレンザッツ（上記参照）により、その点が多項式環の最大イデアルと1対1に対応するアフィンn空間の部分集合に適用されます。スキーム理論では、VとIは一般化され、それぞれ任意の可換（単位的）環の部分集合とその素スペクトルに適用できるように再定義されます。特に、任意の可換環Aに対して、その素イデアルの集合（素スペクトル）は、${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$、および部分集合${\displaystyle S\subset A}$そして${\displaystyle X\subset \mathrm {Spec} \ A}$私たちは設定しました

${\displaystyle \mathbb {V} (S)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A\mid {\mathfrak {p}}\supset S\}}$そして${\displaystyle \mathbb {I} (X)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in X}{\mathfrak {p}}.}$

すると、任意の理想${\displaystyle J\triangleleft A}$、ヒルベルトのヌルステレンザッツの正式な類似物は次のようになります。

${\displaystyle \mathbb {I} (\mathbb {V} (J))=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {V} (J)}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A,\ {\mathfrak {p}}\supset J}{\mathfrak {p}}={\sqrt {J}},}$

ここで最後の等式は、可換代数の素イデアルの標準的な性質から導かれる。^{[ 17 ]} 古典理論におけるゼロ軌跡に類似して、${\displaystyle \mathbb {V} (S)}$ザリスキー位相における閉集合を定義するために用いられる。${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$[ ^{6 ]​}

• アルティン・テイトの補題
• 組み合わせ的ヌルシュテルンザッツ
• 微分ヌルシュテレンザッツ
• 真の過激派
• 制限付き冪級数#テイト代数、ヒルベルトのヌルシュテルンザッツの類似物がテイト代数に対して成り立つ。
• クリヴィネ・ステングル・ポジティブステレンザッツ
• ワイエルシュトラスヌルステレンザッツ

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