0.999...

数学では、 0.999... （0.9、0とも表記されます。）。9、または0.(9) ）は、数列（0.9、0.99、0.999、...）のどの数よりも大きい最小の数を表します。この数が1であることが証明できます。つまり、  

${\displaystyle 0.999...=1.}$

よくある誤解にもかかわらず、0.999... は「ほぼ 1」でも「非常に 1 に近いが、完全に 1 ではない」でもありません。むしろ、「0.999...」と「1」はまったく同じ数値を表します。

以下に、初等算術と、 n が自然数であるとき、 1/10 ⁿより小さい正の実数は存在しないという事実のみを含む初等的な証明を示します。この性質は、実数のアルキメデスの性質から直接生じます。

この等式を示す方法は、直感的な議論から数学的に厳密な 証明まで、他にもたくさんあります。直感的な議論は一般に、証明なしに無限小数に拡張される有限小数の特性に基づいています。証明は一般に、実数の基本的な特性と、級数や極限などの微積分法に基づいています。数学教育で研究されている問題は、なぜ一部の人々がこの等式を否定するのかということです。

他の数値システムでは、0.999... は同じ意味、異なる定義、または未定義になることがあります。ゼロ以外のすべての末尾の小数には、2 つの等しい表現があります (たとえば、8.32000... と 8.31999...)。複数の表現を持つ値を持つことは、実数を表す すべての位置数値システムの特徴です。

級数や極限などのより高度なトピックを参照することなく、 （有限）小数の比較と加算という数学的ツールだけを使用して、方程式0.999... = 1を証明することができます。以下に示す証明は、数直線上に 0.9、0.99、0.999 などを描くと、それらと 1 の間には数字を置く余地がないという直感的な事実を直接形式化したものです。表記 0.999... の意味は、数直線上で 0.9、0.99、0.999 などのすべての数字の右側にある最小の点です。最終的には 1 とこれらの数字の間には余地がないため、点 1 がこの最小の点である必要があり、したがって0.999 ... = 1となります。

数直線上に 0.9、0.99、0.999 などを置くと、これらの点はすべて 1 の左側にあり、1 にどんどん近づいていることがすぐにわかります。1未満の任意の数について、0.9、0.99、0.999 などの数列は最終的に⁠ ⁠よりも大きな数に達します。したがって、0.999... を 1 未満の任意の数と同一視することは意味がありません。一方、1 より大きいすべての数は、9 の有限個の数に対して 0.999...9 という形式の任意の小数よりも大きくなります。したがって、0.999... は 1 より大きい任意の数と同一視することもできません。0.999... は 1 より大きくも小さくもならないため、実数であるためには 1 に等しくなければなりません。^{[1] [2]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

_{0.(9) n}で、小数点以下の桁数が 9 である数 0.999...9を表します。したがって、 0.( 9) ₁ = 0.9、0.(9) ₂ = 0.99、0.(9) ₃ = 0.999などとなります。1 − 0.(9) ₁ = 0.1 = ⁠ ⁠、1 − 0.(9) ₂ = 0.01 = ⁠ ⁠などとなります。つまり、すべての自然数⁠ ⁠に対して1 − 0.(9) _n = となります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{2}}}}$${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$

を1以下かつ0.9、0.99、0.999などより大きい数とします。つまり、すべての ⁠ ⁠ に対して、0 . ( 9 ) _n < ≤ 1となります。これらの不等式を1から引くと、 0 ≤ 1 − < ⁠ ⁠となります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$

証明の最後では、すべての⁠ ⁠に対してより小さい正の数は存在しないことが求められます。これは、実数に当てはまるアルキメデスの性質の 1 つのバージョンです。 ^{[3] [4]}この性質は、すべての⁠ ⁠に対して1 − < ⁠ ⁠ である場合、1 − は0 にのみ等しくなることを意味します。したがって、= 1であり、1 は 0.9、0.99、0.999 などのすべてより大きい最小の数です。つまり、1 = 0.999...です。 ${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

この証明は、有理数と実数のアルキメデスの性質を利用している。実数は、無限に小さい数（無限小）と無限に大きな数（無限数）を含む超実数などの数体系に拡張することができる。^{[5] [6]このようなシステムを使用する場合、すべての0.999...という表記は一般的に使用されない。なぜなら、0.(9)} _nより大きい数の中で最小の数は存在しないからである。^[a]

この議論が示していることの一部は、数列 0.9、0.99、0.999 などの最小の上限、つまり数列のすべての項よりも大きい最小の数が存在するということです。実数系の公理の1 つに完全性公理があり、これはすべての有界数列には最小の上限があると述べています。^{[7] [8]} この最小の上限は、無限小数展開を定義する 1 つの方法です。無限小数で表される実数は、その有限切り捨ての最小の上限です。^[9] ここでの議論は、完全性が有効であると仮定する必要はありません。なぜなら、この特定の有理数数列には最小の上限があり、この最小の上限は 1 に等しいことを示しているからです。^[10]

等式の単純な代数的説明は、教育上の議論や批評の対象です。Byers (2007) は、小学校では= 0.333...と教えられるため、重要な微妙な点をすべて無視して、この等式に 3 を「掛ける」と、1 = 0.999...になるという議論について論じています。さらに、等号の意味に関する曖昧さが解決されていないため、この議論は説得力がないと述べています。生徒は、「数字 1 が、表記法 0.999... で意味される数字と同一であることを意味しているわけではないはずだ」と考えるかもしれません。^[11]リッチマン (1999) は、「この議論は、ほとんどの人が最初の方程式を何も考えずに受け入れるように教え込まれているという事実からその力を得ている」と論じているが、この議論によって懐疑論者がこの仮定に疑問を抱くようになる可能性もあると示唆している。^[12]${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

バイアーズ氏は次のような議論も展開している。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots &&{\text{10 倍にすることにより}\\10x&=9+0.999\ldots &&{\text{整数部分を分離することにより}\\10x&=9+x&&{\text{x の定義により}\\9x&=9&&{\text{x を減算することにより}\\x&=1&&{\text{9 で割ることにより}\end{aligned}}}$

最初の議論を受け入れなかった学生が2番目の議論を受け入れることもあるが、Byersの意見では、まだ曖昧さは解決されておらず、したがって無限小数の表現を理解していない。同じ議論を提示したPeressini & Peressini (2007)も、それが等式を説明するものではないと述べ、そのような説明には無限と完全性の概念が含まれる可能性が高いことを示唆している。^[13] Baldwin & Norton (2012)は、Katz & Katz (2010a)を引用して、極限という正式な概念なしに、このような議論に基づく恒等式の扱いは時期尚早であると結論付けている。^[14] Cheng (2023)もこれに同意し、小数点をずらすことで0.999...に10を掛けることができると知っていることは、0.999...という式にそもそもどのように意味を与えるかというより深い疑問に対する答えを前提としていると主張している。^[15]同じ議論はリッチマン（1999）によってもなされており、懐疑論者はがキャンセル可能かどうか、つまり両辺から 減算することに意味があるかどうか疑問に思うかもしれないと指摘している。 ^[12]アイゼンマン（2008）も同様に、無限小数を除去する乗算と減算の両方にさらなる正当化が必要であると主張している。^[16]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

実解析は、実数列や実数級数の挙動を含む微積分の論理的基礎を研究する学問です。 ^[17]このセクションの証明では、実解析でよく知られている手法を使用して、0.999... = 1 を証明します。

小数展開の一般的な展開は、それを無限級数の和として定義することです。一般的には、 $${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$$

0.999...については、幾何級数に関する収束定理を適用して、⁠ ⁠ < 1ならば次のようになると述べることができる: ^[18]${\displaystyle \vert r\vert }$ $${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$$

0.999...は⁠ ⁠と公比となるため、この定理は次のような疑問を簡単に解決します。 この証明は、1770年にレオンハルト・オイラーの『代数学原論』 にすでに登場しています。^[19]${\displaystyle a=9}$${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{10}}}$$${\displaystyle 0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}$$

等比級数の和自体はオイラーよりも古い結果である。18世紀の典型的な導出では、上記の代数的証明に似た項ごとの操作が使用され、1811年になっても、ボニーキャッスルの教科書「代数入門」では、0.999... ‍ に対する同じ操作を正当化するために、等比級数に対するそのような議論が使用されていた。 ^[20] 19世紀には、このような自由な加算方法に対する反発から、今日でも支配的な定義が生まれた。級数の和は、その部分和のシーケンスの極限として定義される。この定理の対応する証明では、そのシーケンスを明示的に計算する。これは、証明に基づく微積分学や解析学の入門書にいくつか見られる。^[21]

数列( 、、、...)は 、距離が増加するにつれて任意に小さくなる場合、その値を極限とします。0.999... = 1というステートメント自体は、極限として解釈および証明できます。^[b] 最初の 2 つの等式は、記号の省略定義として解釈できます。残りの等式は証明できます。 が無限大 ( ⁠ ⁠ )に近づくにつれて 10 ^{-n が}0 に近づくという最後のステップは、実数のアルキメデスの性質によって正当化されることがよくあります。 0.999... に対するこの極限に基づく態度は、より刺激的ではあるが正確ではない言葉で表現されることがよくあります。たとえば、1846 年の教科書The University Arithmeticでは、「.999 + を無限大まで続けると = 1 になります。9 が追加されるたびに値が 1 に近づくためです」と説明されています。 1895年の『学校算数』には、「9を大量に取ると、1と.99999...の差は考えられないほど小さくなる」と書かれている。^[22]このような経験則は、学生によって、0.999...自体が1より小さいと誤って解釈されることが多い。^[23]${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left\vert x-x_{n}\right\vert }$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1-0=1.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \infty }$

上記の級数定義は、小数展開によって名前が付けられた実数を定義します。相補的なアプローチは、反対のプロセスに合わせて調整されます。つまり、与えられた実数に対して、その名前の小数展開を定義します。

実数が閉区間[0, 10]内にあることが分かっている場合(つまり、0 以上 10 以下)、その区間を、端点のみで重なり合う 10 個の部分に分割することが考えられます。[0, 1]、[1, 2]、[2, 3]など[9, 10]までです。その数はこれらのいずれかに属している必要があります。 [2, 3]に属している場合は、数字「2」を記録し、その区間を[2, 2.1]、[2.1, 2.2]、...、[2.8, 2.9]、[2.9, 3]に細分化します。このプロセスを続けると、無限の数字のシーケンス⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠ 、... でラベル付けされた、ネストされた区間の無限シーケンスが生成され、次のように書きます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{3}}$$${\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\ldots \,.}$$

この形式主義では、恒等式1 = 0.999...および1 = 1.000...は、それぞれ 1 が[0, 1]と[1, 2]の両方に存在するという事実を反映しているため、その桁を見つけるときにどちらかの部分区間を選択できます。この表記法で "=" 記号が乱用されないようにするには、各小数に対して一意の実数を再構築する方法が必要です。これは極限で行うことができますが、他の構成は順序付けのテーマを継続します。^[24]

1 つの簡単な選択は、入れ子になった区間定理です。これは、長さが任意に小さくなる入れ子になった閉区間のシーケンスが与えられた場合、区間の交差にちょうど 1 つの実数が含まれることを保証します。したがって、、、${\displaystyle b_{1}}$、${\displaystyle b_{2}}$ ...は、すべての区間[ 、+ 1]、[ 、+ 0.1]などに含まれる一意の数として定義されます。したがって、 0.999... は、すべての有限の 9 の文字列に対して、すべての区間[0、1] 、 [0.9、1]、[0.99、1]、[0.99...9、1]に含まれる一意の実数です。1 はこれらの各区間の要素であるため、0.999... = 1です。^[25]${\displaystyle b_{3}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$

ネストされた区間定理は、通常、実数のより基本的な特性、すなわち最小上限または上限の存在に基づいています。これらのオブジェクトを直接利用するには、 ⁠ ⁠ ... を近似値の集合${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$⁠ ⁠${\displaystyle b_{0}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}}$ , ... ‍ の最小上限として定義します。 ^[26]次に、この定義 (またはネストされた区間の定義) が細分化手順と一致していることを示すことができ、0.999... = 1 が再び示されます。トム・アポストルは、「実数が 2 つの異なる 10 進表現を持つ可能性があるという事実は、2 つの異なる実数集合が同じ上限を持つ可能性があるという事実を反映しているにすぎない」と結論付けています。^[27]

いくつかのアプローチでは、公理的集合論を用いて、実数を有理数の上に構築された特定の構造として明示的に定義しています。自然数{0, 1, 2, 3, ...}は 0 から始まり、すべての数に後続の数が存在するように上向きに続きます。自然数を負の数で拡張してすべての整数を得ることができ、さらに比に拡張して有理数を得ることができます。これらの数体系には、加算、減算、乗算、除算の算術が伴います。^{[28] [29]}より微妙なことに、これらには順序付けが含まれており、ある数を別の数と比較し、別の数より小さい、大きい、または等しいことを検出できます。^[30]

有理数から実数へのステップは大きな拡張である。このステップを達成するには、少なくとも 2 つの一般的な方法があり、どちらも 1872 年に発表された。デデキント切断とコーシー数列である。これらの構成を直接使用する0.999... = 1の証明は、実解析の教科書には記載されていない。実解析では、ここ数十年の傾向として、公理的解析を使用するようになっている。構成が提示された場合でも、通常は実数の公理を証明するために適用され、それが上記の証明を裏付ける。しかし、複数の著者は、構成から始める方が論理的に適切であり、結果として得られる証明はより自己完結的であるという考えを示している。^[c]

デデキントカットのアプローチでは、各実数は⁠ ⁠未満のすべての有理数の無限集合として定義されます。^[d]特に、実数 1 は 1 未満のすべての有理数の集合です。^[e]すべての正の小数展開は、デデキントカット、つまり展開のある段階よりも小さい有理数の集合を簡単に決定します。したがって、実数 0.999... は、< 0、または< 0.9、または< 0.99、または次の形式の他の数よりも小さい有理数の集合です^[31]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}=0.(9)_{n}=0.\underbrace {99\ldots 9} _{n{\text{ nines}}}.}$$

0.999...のすべての要素は1未満なので、実数1の要素です。逆に、1のすべての要素は有理数であり、 および ⁠ ⁠で表すことができます。これは 、およびを 意味します。$${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}$$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle b>a}$$${\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}$$$${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}$$

上記の定義により 、1 のすべての要素は 0.999... の要素でもあり、0.999... のすべての要素は 1 の要素でもあるという上記の証明と組み合わせると、集合 0.999... と 1 は同じ有理数を含み、したがって同じ集合、つまり0.999... = 1になります。 $${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}=0.(9)_{b}<0.999\ldots ,}$$

実数をデデキント切断として定義することは、1872年にリチャード・デデキントによって初めて発表されました^。[32] 上記の各小数展開に実数を割り当てるアプローチは、数学雑誌に掲載されたフレッド・リッチマンの「 0.999 ... = 1か?」という解説論文によるものです。^{[12]リッチマンは、有理数の任意の}稠密な部分集合でデデキント切断を行っても同じ結果が得られると指摘しています。特に、彼は証明がより直接的な小数を使用しています。彼はまた、定義によっては通常、 { | < 1} は切断できますが、{ | ≤ 1}は切断できません(またはその逆) と指摘しています。^[33]この手順をさらに変更すると、2つが等しくない異なる構造になります。これは一貫していますが、小数算術の一般的な規則の多くは適用されなくなります。たとえば、分数には表現がありません。以下の§ 代替数体系を参照してください。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

もう一つのアプローチは、実数を有理数のコーシー列の極限として定義することです。この実数の構成では、有理数の順序付けをあまり直接的には使用しません。まず、との距離は絶対値⁠ ⁠として定義されます。ここで、絶対値はと⁠ ⁠の最大値として定義されるため、負になることはありません。次に、実数は、この距離を使用してコーシー列の性質を持つ有理数の列として定義されます。つまり、自然数から有理数へのマッピングである列⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... において、任意の正の有理数に対して、すべての⁠ ⁠に対してとなるようなが存在し、項間の距離は任意の正の有理数よりも小さくなります。^[34]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left\vert x-y\right\vert }$${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$${\displaystyle z}$${\displaystyle -z}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \delta }$${\displaystyle m,n>N}$

と が2 つのコーシー数列である場合、数列の極限が 0 であれば、それらは実数として等しいと定義されます。小数⁠ ⁠ ... を切り捨てると、コーシーである有理数列が生成されます。これは、数の実数値を定義するために使われます。^[35]したがって、この形式では、有理数列に 極限 0 があることを示すことが課題となります。数列の⁠ ⁠番目の項、 ⁠ ⁠を考慮すると、次のことが示されなければなりません 。これは、極限の定義 によって証明できます。したがって、0.999... = 1です。^[36]${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}-y_{n})}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$$${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\ldots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\ldots \right)}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$$

実数をコーシー列として定義することは、 1872年にエドゥアルト・ハイネとゲオルク・カントールによって別々に初めて出版されました。 ^[32] 0.999... = 1の証明を含む上記の小数展開のアプローチは、グリフィスとヒルトンの1970年の著書「古典数学の包括的な教科書：現代的な解釈」に密接に従っています。^[37]

中等学校の数学教育では、実数は整数と小数点、そして任意の実数の小数部を表す文字列として書き出された無限列を使用して数を定義することによって構築されるのが一般的です。この構築では、整数と小数点（または 10 進法以外のシステムでは小数点）の後の数字の任意の組み合わせの集合が実数集合です。この構築は、1 = _eq 0.999...を定義する集合に対して同値関係を定義した後、すべての実数公理を満たすことが厳密に示されます。また、末尾に 9 が付いたバージョンの小数文字列に有限個の非ゼロ項のみを持つ他の非ゼロ小数に対しても同値関係を定義します。言い換えると、0.999... = 1が成り立つことは、数字の文字列が実数として振る舞うために必要な条件です。^{[38] [39]}

この問題を解決できる概念の 1 つは、実数が密に順序付けられている必要があるという要件です。密に順序付けられているとは、集合の 2 つの要素の間に新しい要素が厳密に存在しない場合、2 つの要素は等しいと見なされることを意味します。したがって、0.99999... が 1 と異なる場合、その間に別の実数が存在する必要がありますが、そのような実数は存在しません。つまり、2 つのうちの 1 桁を変更しても、そのような数を得ることはできません。^[40]

0.999... = 1という結果は、2つの方法で簡単に一般化できます。まず、有限の10進数表記（つまり、末尾に無限に続く0）を持つすべての非ゼロ数には、末尾に9が続く対応する数があります。たとえば、0.24999...は、検討した特別なケースとまったく同じように、0.25に等しくなります。これらの数はまさに10進小数であり、密です。^{[41] [9]}

第二に、各基数または基数において同等の定理が適用される。例えば、基数 2 ( 2進数記数法) では 0.111... は 1 に等しく、基数 3 ( 3進数記数法) では 0.222... は 1 に等しい。一般に、任意の終端基数式には、末尾の数字が繰り返され、それが− 1に等しい対応する式が存在する。実解析の教科書では、0.999... の例を省略し、これらの一般化の1つまたは両方を最初から提示することが多い。^[42]${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

1 の代替表現は、非整数基数でも発生します。たとえば、黄金比基数では、2 つの標準的な表現は 1.000... と 0.101010... であり、隣接する 1 を含む表現は無限に多く存在します。一般に、 1 と 2 の間のほぼすべてについて、1 の 基数展開は無数に存在します。対照的に、1 より大きいすべての自然数を含む⁠ ⁠は依然として無数に存在し、それらに対しては、自明な 1.000... を除いて、1 の基数展開は 1 つしかありません。この結果は、1990 年頃にPaul Erdős、Miklos Horváth、István Joóによって初めて得られました。1998年に Vilmos Komornik とPaola Loreti は、そのような最小の基数であるKomornik–Loreti 定数= 1.787231650... ‍ を決定しました。この基数では、1 = 0.11010011001011010010110011010011...であり、数字はThue-Morse数列で表され、繰り返されない。^[43]${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

より広範囲な一般化は、最も一般的な位取り記数法を扱うものである。それらにも複数の表現法があり、ある意味では困難さはさらに深刻である。例えば：^[44]

• バランスのとれた3元システムでは、= 0.111... = 1. 111 ... ‍ です。${\textstyle {\frac {1}{2}}}$
• 逆階乗法（小数点以下の桁に 2!、3!、4!、... を使用する）では、 1 = 1.000... = 0.1234... ‍ となります。

ペトコフシェク（1990）は、すべての実数に名前を付ける任意の位置システムについて、複数の表現を持つ実数の集合は常に稠密であることを証明した。彼はその証明を「基本的な点集合位相の有益な演習」と呼んでいる。それは、位置値の集合をストーン空間として見て、それらの実数表現が連続関数によって与えられることに気づくことを含む。^[45]

0.999...を1の表現として応用した例の一つは、初等整数論である。1802年、H.グッドウィンは、分母が特定の素数である分数の循環小数表現に9が現れるという観察を発表した。 [ ^46]例としては、次のものがある。

• ${\textstyle {\frac {1}{7}}}$= 0. 142857であり、142 + 857 = 999です。
• ${\textstyle {\frac {1}{73}}}$= 0. 01369863であり、0136 + 9863 = 9999 です。

E. ミディは、現在ミディの定理と呼ばれている、そのような分数に関する一般的な結果を1836年に証明しました。この出版物は不明瞭で、彼の証明が直接 0.999... に関係していたかどうかは不明ですが、ウィリアム G. リーヴィットによる少なくとも1つの現代の証明では関係しています。⁠ ⁠${\displaystyle 0.b_{1}b_{2}b_{3}}$ ... という形式の小数が正の整数であることが証明できれば、それは 0.999... でなければならないことが証明され、それが定理の 9 の源となります。^[47]この方向の研究は、最大公約数、モジュラー算術、フェルマー素数、群の要素の順序、および二次の相互性などの概念の動機付けになります。^[48]

実解析に戻ると、3 を底とする類似物0.222... = 1 は、最も単純なフラクタルの 1 つである中間 3 分の1 カントール集合の特徴付けにおいて重要な役割を果たします。単位区間内の点は、数字 0 と 2 のみを使用して 3 進法で表すことができる場合にのみ、カントール集合内にあります。

表現の⁠ ⁠${\displaystyle n}$番目の数字は、構築の⁠ ⁠${\displaystyle n}$番目の段階における点の位置を反映しています。たとえば、その点は最初の削除の右側にあり、その後のすべての削除の左側にあるため、通常の表現では 0.2 または 0.2000... となります。点は、最初の削除の左側にあり、その後のすべての削除の右側にあるため、0.1 ではなく 0.0222... と表現されます。^[49]${\textstyle {\frac {2}{3}}}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

9 の繰り返しは、ゲオルク・カントールの別の著作にも登場する。1891年の対角線論法を10 進展開に適用して単位区間の非可算性の有効な証明を構築するには、これらを考慮する必要がある。このような証明では、10 進展開に基づいて特定の実数のペアが異なることを宣言できる必要があるため、0.2 と 0.1999 のようなペアは避ける必要がある... 簡単な方法では、すべての数を非終端展開で表す。反対の方法で、9 の繰り返しは排除される。^[f]カントールの元の議論に近いかもしれない変種では、基数 2 を使用し、基数 3 の展開を基数 2 の展開に変換することで、カントール集合の非可算性も証明できる。^[50]

数学の学生は、0.999... と 1 が等しいことをしばしば否定します。その理由は、それらの見た目の相違から、極限の概念に対する深い疑念、無限小の性質に関する意見の不一致まで多岐にわたります。混乱を引き起こす共通の要因は多数あります。

• 学生はしばしば「数字は小数でただ 1 つの方法でしか表せないという考えを心に留めている」。明らかに異なる 2 つの小数が同じ数字を表すのを見ると、矛盾が生じ、一見よく理解されている数字 1 の出現によってそれが増幅される。^[g]
• 学生の中には、「0.999...」（または同様の表記）を、おそらく可変で不特定の長さを持つ、大きいが有限の9の列と解釈する人もいます。彼らが9の無限の列を受け入れたとしても、最後の9が「無限大」にあると期待するかもしれません。^[51]
• 直感とあいまいな教え方によって、生徒は数列の限界を固定値ではなく、一種の無限過程と考えるようになる。数列は必ずしも限界に達する必要はないからである。生徒が数列とその限界の違いを受け入れると、「0.999...」を数列の限界ではなく、数列そのものを意味するものとして読むかもしれない。^[52]

これらの考え方は、標準的な実数の文脈では誤りですが、一般的な数学的有用性のために考案されたか、0.999...をよりよく理解するための教育的な反例として、他の数値システムでは有効なものもあります。以下の§ 代替数値システム を参照してください。

これらの説明の多くは、大学の学生たちと遭遇した誤解につながる教育と認知の特性を研究してきたデイビッド・トールによって発見された。大多数の学生が最初にこの等式を拒否した理由を突き止めるために学生たちにインタビューしたところ、「学生たちは0.999を、固定値ではなく、1にどんどん近づいていく数字の列として考え続けた。なぜなら、『何桁あるか指定していない』、または『1より小さい最も近い小数である』からだ」ということが判明した。^[23]

0.333... =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$に 3を掛けるという基本的な議論は、気が進まない生徒に 0.999... = 1 であると信じ込ませることができます。それでも、最初の等式に対する信念と 2 番目の等式に対する不信感の矛盾に直面すると、一部の生徒は最初の等式を信じなくなるか、単にイライラし始めます。^[53]また、より洗練された方法が絶対確実というわけではありません。厳密な定義を完全に適用できる生徒であっても、0.999... ‍ などの高度な数学の結果に驚いたときに、直感的なイメージに頼る場合があります。たとえば、ある実解析の生徒は、上限定義を使用して0.333... =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$であることを証明できましたが、その後、長除法の以前の理解に基づいて、0.999... < 1であると主張しました。^{[54]他の生徒は、} = 0.333...であることを証明できますが、分数の証明に直面すると、「論理」が数学的計算に優先すると主張します。 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

マズール（2005）は、彼の優秀な微積分の生徒が「授業で私が言ったことのほとんどすべてに異議を唱えたが、計算機に疑問を呈したことは一度もなかった」という話をしている。その生徒は、23の平方根の計算を含め、数学を行うには9桁の数字だけが必要だと信じるようになった。その生徒は、9.99... = 10という限定的な議論に不快感を覚え、それを「大胆に想像された無限増加プロセス」と呼んだ。^[55]

数学学習のAPOS 理論の一部として、Dubinsky ら (2005) は、0.999... を 1 から無限に小さい距離を持つ有限で不確定な文字列として捉える生徒は、「まだ無限小数の完全なプロセス概念を構築していない」と提案しています。0.999... の完全なプロセス概念を持つ他の生徒は、1 のオブジェクト概念のように、そのプロセスを「オブジェクト概念」に「カプセル化」できない可能性があり、そのため、プロセス 0.999... とオブジェクト 1 は互換性がないと見なします。彼らはまた、カプセル化のこの精神的能力を、それ自体の権利として数として見ることと、自然数の集合全体を取り扱うことに結び付けています。^[56]${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

インターネットの普及により、0.999... に関する議論はニュースグループや掲示板で一般的に行われるようになったが、その多くは数学とはほとんど関係のないものである。1990年代のニュースグループsci.mathでは、0.999... に関する議論は「人気のあるスポーツ」となり、 FAQで回答されている質問の1つとなった。^{[57] [58]} FAQ では、⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$、10 の乗算、極限について簡単に説明されており、コーシー数列についても言及されている。

2003年版の一般紙コラム「The Straight Dope」では、0.999...の誤解について述べ、その限界について論じている。 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

私たちの中にある下等霊長類は、それでも抵抗してこう言います。「.999~ は実際には数字ではなく、プロセスを表しています。数字を見つけるにはプロセスを停止する必要がありますが、その時点で .999~ = 1 は崩壊します。ナンセンスです。」^[59]

Slateの記事によると、0.999...という概念は「World of Warcraftの掲示板からアイン・ランドのフォーラムに至るまでのウェブサイトで激しく議論されている」とのことです。^{[60] 0.999...は次のような}数学的なジョーク にも登場します。^[61]

Q:電球をねじ込むには何人の数学者が必要ですか?
A: 0.999999....

0.999...が1に等しいという事実は、ゼノンのランナーのパラドックスと比較されてきた。^[62]ランナーのパラドックスは数学的にモデル化することができ、0.999...と同様に等比級数を使用して解決できます。しかし、この数学的処理がゼノンが探求していた根本的な形而上学的問題に対処しているかどうかは明らかではありません。^[63]

実数は非常に便利な数値体系を形成しますが、「0.999...」という表記を実数の名前として解釈するという決定は、結局のところ慣習であり、Timothy Gowers は『数学: 非常に短い入門』の中で、結果として得られる恒等式0.999... = 1 も慣習であると主張しています。

しかし、それは決して恣意的な慣習ではありません。なぜなら、それを採用しないと、奇妙な新しいオブジェクトを発明するか、よく知られた算数のルールのいくつかを放棄するかのいずれかを強いられるからです。^[64]

0.999... = 1の証明には、実数のアルキメデスの性質、つまり 0 以外の無限小は存在しないという性質を利用するものがあります。具体的には、差1 − 0.999...は任意の正の有理数よりも小さい必要があるため、無限小でなければなりません。しかし、実数には 0 以外の無限小が含まれていないため、差は 0 となり、したがって 2 つの値は同じになります。

しかし、数学的に首尾一貫した順序付き代数構造があり、実数のさまざまな代替物を含み、それらは非アルキメデス的である。非標準解析は、無限小数（およびその逆数）の完全な配列を持つ数体系を提供する。^[h] AH ライトストーンは、(0, 1) ^∗の超実数の10進展開を開発した。ライトストーンは、各数を超自然数 でインデックスされた数字のシーケンスに関連付ける方法を示している 。彼は0.999...を直接議論していないが、実数は0.333...;...333...で表されることを示している。これは、転送原理の結果である。結果として、数0.999...;...999... = 1である。このタイプの10進表現では、すべての展開が数を表すわけではない。特に、「0.333...;...000...」と「0.999...;...000...」はどの数にも対応しない。^[65]$${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots ;\ldots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\ldots ,}$$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

The standard definition of the number 0.999... is the limit of the sequence 0.9, 0.99, 0.999, ...‍. A different definition involves an ultralimit, i.e., the equivalence class [(0.9, 0.99, 0.999, ...)] of this sequence in the ultrapower construction, which is a number that falls short of 1 by an infinitesimal amount.^[66] More generally, the hyperreal number ${\displaystyle u_{H}}$ = 0.999...;...999000..., with last digit 9 at infinite hypernatural rank ⁠${\displaystyle H}$⁠, satisfies a strict inequality ⁠${\displaystyle u_{H}<1}$⁠. Accordingly, an alternative interpretation for "zero followed by infinitely many 9s" could be^[67] $${\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}$$ All such interpretations of "0.999..." are infinitely close to 1. Ian Stewart characterizes this interpretation as an "entirely reasonable" way to rigorously justify the intuition that "there's a little bit missing" from 1 in 0.999....^[i] Along with Katz & Katz (2010b), Ely (2010) also questions the assumption that students' ideas about 0.999... < 1 are erroneous intuitions about the real numbers, interpreting them rather as nonstandard intuitions that could be valuable in the learning of calculus.^[68]

Combinatorial game theory provides a generalized concept of number that encompasses the real numbers and much more besides.^[69] For example, in 1974, Elwyn Berlekamp described a correspondence between strings of red and blue segments in Hackenbush and binary expansions of real numbers, motivated by the idea of data compression. For example, the value of the Hackenbush string LRRLRLRL... is 0.010101...₂ = ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$. However, the value of LRLLL... (corresponding to 0.111...₂) is infinitesimally less than 1. The difference between the two is the surreal number ${\textstyle {\frac {1}{\omega }}}$, where ${\displaystyle \omega }$ is the first infinite ordinal; the relevant game is LRRRR... or 0.000...₂.^[j]

This is true of the binary expansions of many rational numbers, where the values of the numbers are equal but the corresponding binary tree paths are different. For example, 0.10111...₂ = 0.11000...₂, which are both equal to ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}}$⁠, but the first representation corresponds to the binary tree path LRLRLLL..., while the second corresponds to the different path LRLLRRR...‍.

証明が覆される可能性があるもう一つの方法は、減算が常に可能であるとは限らないため、 1 − 0.999...が単純に存在しない場合である。加算演算はあっても減算演算はない数学的構造には、可換半 群、可換モノイド、半環などがある。リッチマン（1999）は、 0.999... < 1となるように設計された2つのそのようなシステムを検討している。^[12]

まず、リッチマン (1999) は非負の10 進数を文字通りの 10 進数展開として定義しています。彼は辞書式順序と加算演算を定義し、0.999... < 1 は単に1 の位で0 < 1であるためですが、任意の非終端⁠ ⁠については${\displaystyle x}$0.999... + = 1 + ⁠ ⁠${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$となることを指摘しています。したがって、10 進数の 1 つの特殊性は、加算が常にキャンセルされないことです。もう 1 つの特殊性は、 ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$に対応する 10 進数が存在しないことです。乗算を定義すると、10 進数は正で完全に順序付けられた可換な半環を形成します。^[70]

乗算を定義する過程で、リッチマンは「カット⁠ ⁠ 」と呼ばれる別のシステムも定義しています。これは、${\displaystyle D}$小数のデデキントカットの集合です。通常、この定義は実数につながりますが、小数については、カット( ⁠ ⁠、⁠ ⁠ )と「主カット」( ⁠ ⁠、⁠ ⁠ ]の両方を許可しています。その結果、実数は小数と「不安定に共存」しています。ここでも0.999... < 1です。カット⁠ ⁠には正の無限小はありませんが、「負の無限小の一種」である 0 ⁻があり、これは小数展開がありません。彼は、0.999... = 1 + 0 ⁻である一方、方程式「0.999... + = 1」には解がないと結論付けています。^[k]${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

0.999...について尋ねられたとき、初心者はしばしば「最後の9」があるはずだと信じ、1 − 0.999...が正の数であると信じて「0.000...1」と書きます。それが理にかなっているかどうかは別として、直感的な目的は明らかです。0.999...の最後の9に1を加えると、すべての9が0に繰り上がり、1の位に1が残ります。他の理由の中でも、このアイデアは0.999...に「最後の9」がないために失敗します。 ^{‍ [71]}しかし、最後の9を含む無限の9の文字列を含むシステムがあります。

-進数は、数論において興味深い別の数体系です。実数と同様に、-進数はコーシー列を介して有理数から構築できます。構築には、0 が1 よりも⁠ ⁠に近く、⁠ ⁠に非常に近いという異なる測定基準を使用します。^[72] -進数は、素数に対して体を形成し、 10 を含む他の⁠ ⁠に対して環を形成します。そのため、算術は-進数で実行でき、無限小は存在しません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

10進数では、10進数展開の類似物は左に走る。10進数展開...999には最後の9があるが、最初の9はない。1の位に1を加えると、繰り上がり後に0だけが残る：1 + ...999 = ...000 = 0、したがって...999 = −1。^[73]別の導出では、幾何級数を使用する。「...999」によって暗示される無限級数は実数では収束しないが、10進数では収束するため、よく知られた式を再利用できる：^[74] $${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1.}$$

上のセクションの級数と比較してください。3番目の導出は、0.999... = 1という教師の限定的な議論に疑問を抱いた7年生によって考案されましたが、上記の10倍の証明を逆方向に進めることを思いつきました。= ...999の場合、10 = ...990なので、10 = − 9、したがって再び= −1です。^[73]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

最終的な拡張として、0.999... = 1 (実数) および...999 = −1 (10 進数) であるため、「盲目的な信仰と恥ずかし気のない記号の操作」^{[75]によって、2 つの方程式を加算して}...999.999... = 0に到達できます。この方程式は、10 進展開としても通常の 10 進展開としても意味をなさないが、 10 進ソレノイドの二重無限10 進展開では意味があり、真であることが判明し、最終的には左端が繰り返されて実数を表し、最終的には右端が繰り返されて 10 進数を表す。^[76]

• 有限主義
• 非公式数学