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ここでいう非標準位取り記数法とは、大まかに位取り記数法と表現できるものの、以下の標準位取り記数法の説明に完全には準拠しない記数法を指します。
この記事では、いくつかの非標準的な位取り記数法に関する事実をまとめています。ほとんどの場合、標準的な記数法の説明における多項式形式は依然として適用可能です。
歴史的な数字体系の中には、非標準的な位取り記数法と表現できるものがある。例えば、バビロニアの六 十進法や中国の棒数字は、それぞれ60進法と10進法の標準体系に分類でき、ゼロを表す空白も数字として数えるが、数字を構成する原始的な繰り返し記号を考慮すると、非標準的な体系、より具体的には単項要素を持つ混合基数体系に分類することもできる。
しかし、以下に挙げる非標準システムのほとんどは、一般利用を目的としたものではなく、数学者や技術者が特別な学術的または技術的な用途のために考案したものです。
基数bの全単射数体系では、すべての非負整数を表すためにb 個の異なる数字を使用します。ただし、数字の値は 1、2、3 などbまでであり、0 は空の数字列で表されます。たとえば、 0 を含まない 10 進数体系も可能です。
単項式は、基数b = 1の全単射数体系です。 単項式では、1 つの数字ですべての正の整数を表します。多項式形式で表された数字列pqrsの値は、すべてのnに対してb n = 1 であるため、p + q + r + sに簡略化できます。このシステムの非標準的な特徴は次のとおりです。
一部のシステムでは、基数が正の整数であっても、負の数字が許容されます。非隣接形式は、基数がb = 2である特定のシステムです。バランスのとれた三進法では、基数はb = 3 であり、数字の値は −1、0、+1 です (標準三進法 のように 0、1、2 ではなく、または全単射三進法のように 1、2、3 ではありません)。
反射バイナリコード（グレイコードとも呼ばれる）はバイナリ数と密接に関連しているが、上位ビットの偶奇性に応じて一部のビットが反転される。
シトー会数字は位取り記数法の一種ですが、一般的な十進法のように位置が揃っているわけではなく、それぞれ縦棒の右上、左上、右下、左下に付いているため、表現できる数字は4つに制限されます（つまり、0から9999までの整数しか表現できません）。このシステムは標準的な位取り記数法とよく似ていますが、例えばギリシャ数字と比較することもできます。ギリシャ数字では、一の位、十の位、百の位、千の位にそれぞれ異なる記号（実際にはギリシャ文字）が使われており、同様に表現できる数字の上限が決まっています。
同様に、コンピュータでは、例えば長整数形式は（符号ビットを除いて）標準的な二進数システムですが、桁数が限られており、桁を表す物理的な位置が揃っていない場合があります。アナログ式の走行距離計やそろばんでは、十進数の桁は揃っていますが、桁数には限りがあります。
基数bが正の整数ではないいくつかの位取り記数法が提案されている。
負の基数システムには、基数がそれぞれ −2、−3、−10 である負の二進数、負の三進数、負の十進数があります。基数−bでは、使用される異なる数字の数はbです。負の数をべき乗すると、その性質により、正負すべての整数を符号なしで表すことができます。
純虚数基数biシステムでは、bは 1 より大きい整数、i は虚数単位であり、標準的な数字のセットは0 からb 2 − 1までのb 2個の数で構成されます。これは他の複素基数にも一般化でき、複素基数システムを生み出します。
非整数基数では、使用される異なる数字の数は明らかにbにはなり得ません。代わりに、数字 0 からが使用されています。たとえば、黄金比基数（フィナリー）では、0と1の2つの異なる数字が使用されます。
位置に関連付けられた重みが、多項式形式で示されるように、最下位の位置から始まる等比数列1、b、b 2、b 3などを形成しない位置記数法を検討すると便利な場合があります。例としては、次のものがあります。
各重みが前の重みの整数倍ではないシーケンスも使用できますが、その場合、すべての整数が一意に表現されるとは限りません。たとえば、フィボナッチ符号化では、数字の 0 と 1 をフィボナッチ数列(1, 2, 3, 5, 8, ...)に従って重み付けします。連続する 1 を禁止することで、すべての非負整数の一意の表現が保証されます。バイナリ符号化十進数(BCD) は、ビット (バイナリ数字) を使用して十進数を表す混合ベースシステムです。たとえば、1001 0011 では、4 ビットの各グループが十進数を表すことができます (この例では 9 と 3 なので、8 ビットの組み合わせで十進数の 93 を表します)。これら8つの位置に関連付けられた重みは、80、40、20、10、8、4、2、1です。一意性は、4ビットの各グループにおいて、最初のビットが1の場合、次の2ビットは00でなければならないという条件によって保証されます。
非対称数体系は、コンピュータサイエンスで使用されるシステムで、各桁が異なる基数（通常は非整数）を持つことができます。これらのシステムでは、特定の桁の基数が異なるだけでなく、情報をより効率的に符号化するために、非均一で非対称な方法で変更されることもあります。これらは、選択された非均一なシンボルの確率分布に合わせて最適化されており、平均してシンボルあたり約シャノンエントロピービットを使用します。[ 1 ]
