ハイパー整数

非標準解析において、超整数nは、自身の整数部分と等しい超実数である。超整数は有限または無限のいずれかである。有限超整数は通常の整数である。無限超整数の例としては、超実数の超冪構成における数列(1, 2, 3, ...)が挙げられる。

標準整数部分関数：

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

はすべての実数xに対して定義され、 xを超えない最大の整数に等しい。非標準解析の転送原理により、自然な拡張が存在する。

${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$

すべての超実数xに対して定義され、次の場合にxは超整数であると言います。${\displaystyle x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor .}$したがって、超整数は、超実数上の整数部分関数の像である。

セット${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} }$すべての超整数は、超実数線の内部部分集合である。${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$すべての有限ハイパー整数の集合（つまり${\displaystyle \mathbb {Z} }$補集合の要素は、それ自体が内部部分集合ではない。${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} }$著者によって、非標準ハイパー整数、無制限ハイパー整数、または無限ハイパー整数と呼ばれる。無限ハイパー整数の逆数は常に無限小である。

非負の超整数は、超自然数と呼ばれることもある。同様のことが集合にも当てはまる。${\displaystyle \mathbb {N} }$そして${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$なお、後者はスコレムの意味での非標準的な算術モデルを示している。

• ハワード・ジェローム・ケイスラー著『初等微積分：無限小アプローチ』 。初版1976年、第2版1986年。本書は現在絶版となっています。出版社は著作権を著者に返還し、著者は第2版をPDF形式で公開しており、 http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.htmlからダウンロードできます。