十進数表現

非負の実数rの十進数表現とは、従来単一の区切り文字で表記される 十進数の数字からなる記号列による表現のことである。$${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$ ここで、.は小数点区切り文字、kは非負整数、${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$は数字であり、0、...、9 の範囲の整数を表す記号です。

一般的に、${\displaystyle b_{k}\neq 0}$もし${\displaystyle k\geq 1.}$シーケンス${\displaystyle a_{i}}$ドットの後の数字は一般的に無限です。有限の場合は、不足している数字は 0 とみなされます。${\displaystyle a_{i}}$0の場合、区切り文字も省略され、自然数を表す有限の数字列が得られます。

小数表現は無限和を表します。 $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

すべての非負の実数は、少なくとも 1 つのそのような表現を持ちます。そのような表現は 2 つあります (${\displaystyle b_{k}\neq 0}$もし${\displaystyle k>0}$)一方の末尾に0の無限列があり、もう一方の末尾に9の無限列がある場合に限り、 となります。非負の実数と十進数表現の間に 1 対 1 の対応を持たせるために、末尾に9の無限列がある十進数表現は除外されることがあります。^{[ 1 ]}

自然数${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$はrの整数部分と呼ばれ、この記事の残りの部分では0_{で表されます。}${\displaystyle a_{i}}$数を表す $${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$これは区間 に属する${\displaystyle [0,1),}$rの小数部分と呼ばれ、(すべての r が r の小数部分でない場合)${\displaystyle a_{i}}$9に等しい）。

任意の実数は、有限の小数表現を持つ有理数によって、任意の精度で近似することができる。

仮定する${\displaystyle x\geq 0}$すると、すべての整数に対して${\displaystyle n\geq 1}$有限小数が存在する${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$すなわち、

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

証明:${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$、 どこ${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$。 それから${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$そして、結果はすべての辺をで割ることによって得られる。${\displaystyle 10^{n}}$（${\displaystyle r_{n}}$有限の十進数表現を持つことは容易に証明できる。）

実際の数字${\displaystyle x}$2 つの無限小数表現があります。たとえば、数 1 は 1.000... と0.999...で等しく表現できます(それぞれ末尾の 0 または 9 の無限列は "..." で表されます)。慣例として、末尾の 9 がない小数表現が好まれます。さらに、標準的な小数表現では、${\displaystyle x}$小数点の後に続く無限の 0 列は、小数点自体とともに省略されます。${\displaystyle x}$整数です。

の十進展開を構築するための特定の手順${\displaystyle x}$末尾の9の問題を回避します。たとえば、次のアルゴリズム手順は標準的な10進数表現を与えます。${\displaystyle x\geq 0}$まず、${\displaystyle a_{0}}$（​​${\displaystyle x}$) が最大の整数となるようにする${\displaystyle a_{0}\leq x}$（つまり、${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$）。 もし${\displaystyle x=a_{0}}$手続きは終了します。そうでない場合は、${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$既に発見されているので、定義します${\displaystyle a_{k}}$帰納的に、次の条件を満たす最大の整数である。

手順は、次の場合に終了します。${\displaystyle a_{k}}$等号が（*）で成立するように見つかる。そうでなければ、無限に続き、無限の十進数列を与える。${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$^{[ 2 ]} (慣習的に次のように表記される)${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$）、 どこ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$非負整数${\displaystyle a_{0}}$は十進表記で表されます。この構成は、${\displaystyle x<0}$上記の手順を適用して${\displaystyle -x>0}$そして、結果として得られる小数展開を次のように表す。${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$。

有理数の小数表現はすべて、整数部分、非循環部分、循環部分の和に変換し、その和を共通分母を持つ単一の分数に変換することによって、分数に変換することができる。

例えば、変換するには${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$分数に関しては、次の補題が成り立つことに注意する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

したがって、以下のように変換する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

繰り返し数字がない場合、0が永遠に繰り返されると想定されます。例：${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$ただし、これにより循環項がゼロになるため、和は2つの項に簡略化され、より簡単な変換が可能になります。

例えば： $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

• 小数
• 数列（数学）
• IEEE 754
• サイモン・ステヴィン

• アポストル、トム（1974）。数学解析（第2 版）。アディソン・ウェスリー。
• Savard, John JG (2018) [2006]. "Decimal Representations" . quadibloc . 2018-07-16 のオリジナルからアーカイブ済み. 2018-07-16に取得.