ポアソン分布

ポアソン分布

確率質量関数 横軸はインデックスk、つまり発生回数です。λ は発生の期待率です。縦軸はλが与えられた場合にk 回発生する確率です。この関数はkの整数値でのみ定義されます。接続線は単なる目印です。
累積分布関数 横軸はインデックスk、つまり発生回数です。ポアソン分布に従う変数は整数値のみをとるため、 CDF はkの整数部分で不連続となり、それ以外の部分では平坦になります。
表記	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )}$
パラメータ	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ （レート）
サポート	${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$（0から始まる自然数）
PMF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},}$またはまたは${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},}$${\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}$ （ただし、は上側不完全ガンマ関数、は床関数、 は正規化ガンマ関数です）${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle \Gamma (x,y)}$${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$${\displaystyle Q}$
平均	${\displaystyle \lambda}$
中央値	${\displaystyle \approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor }$
モード	${\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor }$
分散	${\displaystyle \lambda}$
歪度	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$
エントロピ	${\displaystyle \lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}$   または大規模な${\displaystyle \lambda}$   ${\displaystyle {\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}}$
MGF の	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]}$
CF	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]}$
PGF	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]}$
フィッシャー情報	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$

確率論と統計学において、ポアソン分布は離散確率分布であり、一定の時間間隔で特定の数のイベントが発生する確率を、これらのイベントが既知の一定の平均率で発生し、最後のイベントからの時間に依存しないという条件で表します。 ^[1]また、時間以外の間隔や1より大きい次元（たとえば、特定の領域または体積内のイベント数）でのイベント数にも使用できます。

ポアソン分布は、フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソン（/ ˈ p w ɑː s ɒ n / ;フランス語発音: [pwasɔ̃] ）にちなんで名付けられました。離散安定分布にとって重要な役割を果たします。

与えられた区間にλ個のイベントが発生すると予想されるポアソン分布の下では、同じ区間にk個のイベントが発生する確率は^{[2] ：60 である。}

${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}$

たとえば、1 日中いつでも 1 分あたり平均λ = 3 件の通話をランダムに受信するコール センターを考えてみましょう。通話が独立している場合、1 件の通話を受信して​​も、次の通話がいつ着信するかの確率は変わりません。これらの仮定の下では、1 分間に受信される通話数k はポアソン確率分布に従います。k = 1 から 4 件の通話を受信する確率は約 0.77 ですが、0 件または少なくとも 5 件の通話を受信する確率は約 0.23 です。

ポアソン分布を推論するために使用される典型的な例は、一定の観測期間中の放射性崩壊イベントの数である。 ^[3]

この分布は、シメオン・ドニ・ポワソン（1781–1840）によって初めて導入され、確率論とともに著書『刑事事件と民事事件における判決の確率に関する研究』（1837年）で発表されました。^{[4] : 205-207}この著作は、特定の国における冤罪の数について、特定のランダム変数 Nに焦点を当てて理論化したものです。このランダム変数Nは、とりわけ、特定の時間間隔中に発生する離散的な発生（「イベント」または「到着」と呼ばれることもあります）の数を数えます。この結果は、1711年にアブラハム・ド・モアブルによって『運命の推定と運命の疑いのある事件における確率的事象』ですでに示されていました。^{[5] : 219  [6] : 14-15  [7] : 193  [8] : 157}これはスティグラーの法則の一例であり、ポアソン分布はド・モアブルの法則の名を冠すべきだと主張する著者もいる。^{[9] [10]}

1860年、サイモン・ニューカムは、単位空間内にある星の数にポアソン分布を当てはめました。^[11] さらに実用的な応用は、 1898年にラディスラウス・ボルトキエヴィッチによって行われました。ボルトキエヴィッチは、プロイセン軍の兵士が馬に蹴られて誤って死亡する頻度が、ポアソン分布によってうまくモデル化できることを示しました。^{[12] : 23-25}。

離散確率変数 Xは、パラメータが次式で与えられる確率質量関数を持つ場合、ポアソン分布に従うと言われます: ^{[2] : 60}${\displaystyle \lambda >0,}$

${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$

どこ

• kは発生回数（）${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$
• eはオイラー数（）${\displaystyle e=2.71828\ldots }$
• k ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1) は階乗です。

正の実数 λはXの期待値とその分散に等しい。^[13]

${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$

ポアソン分布は、それぞれがまれなイベントが多数発生するシステムに適用できます。一定の時間間隔内に発生するそのようなイベントの数は、適切な状況下では、ポアソン分布に従う乱数になります。

この式は、イベントの平均数の代わりにイベントが発生する平均率を与えれば適応できる。すると次のようになる。^[14]${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \lambda =rt,}$

${\displaystyle P(k{\text{ 間隔 }}t 内のイベント数)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$

ポアソン分布は、次のようなイベントをモデル化するのに役立ちます。

• 1年間に地球に衝突する直径1メートル以上の隕石の数。
• 特定の時間間隔内に検出器に当たるレーザー光子の数。
• 試験で低い点数と高い点数を取った生徒の数。
• 材料内の欠陥や転位の位置。

宇宙におけるランダムな点の発生例としては、地球への小惑星衝突の位置（2次元）、物質の欠陥の位置（3次元）、森林内の木の位置（2次元）などがあげられる。^[15]

次の仮定が成り立つ場合、ポアソン分布は適切なモデルです。

• k は間隔内にイベントが発生する回数であり、k は0、1、2、... の値をとることができます。
• 1 つのイベントの発生は、2 番目のイベントが発生する確率には影響しません。つまり、イベントは独立して発生します。
• イベントが発生する平均率は、発生状況とは無関係です。簡単にするために、通常は一定であると想定されますが、実際には時間とともに変化する場合があります。
• 2 つのイベントがまったく同じ瞬間に発生することはあり得ません。代わりに、非常に短いサブ間隔ごとに、正確に 1 つのイベントが発生するか、またはイベントがまったく発生しません。

これらの条件が真である場合、k はポアソン確率変数であり、kの分布はポアソン分布です。

ポアソン分布は二項分布の極限でもあり、試行回数が無限大に近づくにつれて、各試行の成功確率はλ を試行回数で割った値に等しくなります (「関連分布」を参照)。

天文学者の推定によると、大きな隕石（一定の大きさ以上）は平均して 100 年に 1 回（λ = 100 年に 1 回）地球に衝突し、隕石衝突の数はポアソン分布に従うとします。今後 100 年間に k = 0 の隕石衝突が発生する確率はどれくらいでしょうか。

${\displaystyle P(k={\text{0 meteorites hit in next 100 years}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {1}{e}}\approx 0.37.}$

これらの仮定に基づくと、今後 100 年間に大きな隕石が地球に衝突しない確率はおよそ 0.37 です。残りの1 − 0.37 = 0.63は、今後 100 年間に 1、2、3、またはそれ以上の大きな隕石が衝突する確率です。上記の例では、洪水は 100 年に 1 回発生しました( λ = 1)。同じ計算により、100 年間に洪水が発生しない確率はおよそ 0.37 でした。

一般に、イベントが平均して間隔ごとに 1 回発生し ( λ  = 1)、イベントがポアソン分布に従う場合、P (次の間隔で 0 件のイベント) = 0.37 になります。さらに、オーバーフロー洪水の表に示されているように 、 P (次の間隔で正確に 1 件のイベント) = 0.37 になります。

1 分あたりに学生会館に到着する学生の数は、到着率が一定ではなく (授業中は到着率が低く、授業時間外は到着率が高い)、個々の学生の到着が独立していない (学生はグループで来る傾向がある) ため、ポアソン分布に従わない可能性があります。一定でない到着率は混合ポアソン分布としてモデル化でき、個々の学生ではなくグループの到着は複合ポアソン過程としてモデル化できます。

1 つの大きな地震によって同様の規模の余震が発生する確率が増加する場合、国内で年間に発生するマグニチュード 5 以上の地震の数はポアソン分布に従わない可能性があります。

少なくとも 1 つのイベントが保証される例はポアソン分布ではありませんが、ゼロ切断ポアソン分布を使用してモデル化できます。

ゼロイベントの間隔の数がポアソンモデルによって予測される数よりも大きいカウント分布は、ゼロ膨張モデルを使用してモデル化できます。

• ポアソン分布に従うランダム変数の期待値と分散は、どちらもλに等しくなります。
• 変動係数は、分散指数は1である。^{[8] : 163}${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$
• 平均値からの平均絶対偏差は[ 8 ^{] ：163} $${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.}$$
• 非整数λを持つポアソン分布のランダム変数のモードは、 λ以下の最大の整数 に等しくなります。これはfloor ( λ )とも表記されます。 λが正の整数の場合、モードはλとλ  − 1 です。${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$
• ポアソン分布のすべてのキュムラントは期待値λに等しい 。ポアソン分布のn 番目の階乗モーメントはλ ⁿである 。
• ポアソン過程の期待値は、強度と露出の積（またはより一般的には「強度関数」の時間または空間での積分として表現され、「露出」と呼ばれることもある）に分解されることがある。^[17]

分布の中央値（）の境界は知られており、鋭い：^[18]${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

ポアソン分布の高次非中心モーメントm _{k は}、λのタッチャール多項式です。ここで、中括弧{ }は、第2種スターリング数を表します。^{[19] [1] : 6}言い換えると、期待値がλ = 1に設定されている場合、ドビンスキーの公式は、 n番目のモーメントがサイズnの集合の分割数に等しいことを意味します。 $${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$$${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$

単純な上限は次の通りである: ^[20] $${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

が独立である場合、^{[21] ：65}逆はライコフの定理であり、2つの独立したランダム変数の和がポアソン分布する場合、それら2つの独立したランダム変数のそれぞれもポアソン分布するというものである。^{[22] [23]}${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$

これは、平均およびの一般化二項分布の集合の中で最大エントロピー分布です。 ^[24]ここで、一般化二項分布は、N個の独立だが同一に分布しないベルヌーイ変数の和の分布として定義されます。 ${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

• ポアソン分布は無限に分割可能な確率分布である。^{[25] : 233  [8] : 164}
• からの有向カルバック・ライブラー距離は次のように与えられる。${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• が整数の場合、を満たし、^{[26] [検証失敗–議論を参照]}${\displaystyle \lambda \geq 1}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$
• ポアソン確率変数の裾の確率の境界は、チェルノフ境界の議論を用いて導くことができる。^{[27] : 97-98}${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ $${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$ $${\displaystyle P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x<\lambda .}$$
• 上側裾の確率は以下のように（少なくとも2倍に）引き下げることができる：^[28]

$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$からの Kullback–Leibler 距離はどこにあるか。 ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$

• ポアソン確率変数の分布関数と標準正規分布関数を関連付ける不等式は次のとおりです。^[29]ここで、はからのKullback–Leiblerダイバージェンスであり、はからのKullback–Leiblerダイバージェンスです。${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \Phi (x)}$ $${\displaystyle \Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)<P(X\leq k)<\Phi \left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right),{\text{ for }}k>0,}$$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$${\displaystyle P}$

とを独立した確率変数とすると 、${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$${\displaystyle \lambda <\mu ,}$$${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

上限は標準的なチェルノフ境界を使用して証明されます。

下限は、が となる確率であることに注目することで証明できます。ここで は によって下方に制限され、 は相対エントロピーです(詳細については、二項分布の裾の境界に関する項目を参照してください)。さらに に注目し、無条件確率の下限を計算すると、結果が与えられます。詳細については、Kamath らの付録を参照してください。^[30]${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$

ポアソン分布は、試行回数が無限大になり、成功の期待回数が一定のままである場合の二項分布の極限ケースとして導くことができます (下記の稀事象の法則を参照)。したがって、 nが十分に大きく、pが十分に小さい場合、二項分布の近似として使用できます。ポアソン分布は、 nが少なくとも 20 でpが 0.05 以下の場合は二項分布の良い近似であり、 n  ≥ 100 かつnp  ≤ 10の場合は優れた近似です。 ^[31]およびを二項分布とポアソン分布のそれぞれの累積密度関数とすると、次が得られます。この導出の 1 つの方法は、確率生成関数を使用します。^[32] 1 回の成功 (または成功の期待回数) の確率が特定の間隔内にあるベルヌーイ試行(コイン投げ)を考えます。間隔をn個の部分に分割し、各部分間隔で確率 で試行を実行します。区間全体にわたってn回の試行のうちk回成功する確率は二項分布で与えられる。${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$$${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$${\displaystyle \lambda \leq 1}$${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$

${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k}}$、

生成関数は次のようになります。

${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$

n が無限大に増加するときの極限（ xは固定）を取り、指数関数の積極限定義を適用すると、これはポアソン分布の生成関数に簡約されます。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$

• と が独立である場合、差はSkellam 分布に従います。${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$
• とが独立している場合、 を条件とするの分布は二項分布です。${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$
  具体的には、${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  より一般的には、X ₁、X ₂、...、X _{n が}パラメータλ ₁、λ ₂、...、λ _nを持つ独立したポアソン確率変数である場合、

  事実、​${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$

• およびX  =  kを条件とする分布が二項分布である場合、Yの分布はポアソン分布に従います。実際、を条件とする分布が多項分布に従う場合、それぞれは独立したポアソン分布に従います。${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$${\displaystyle \{X=k\},}$ ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• ポアソン分布は、離散複合ポアソン分布（または吃音ポアソン分布）の特殊なケースで、パラメータは1つだけです。 ^{[33] [34]}離散複合ポアソン分布は、単変量多項分布の極限分布から推定できます。これは複合ポアソン分布の特殊なケースでもあります。
• λの値が十分に大きい場合（たとえばλ >1000）、平均λと分散λ（標準偏差）の正規分布は、ポアソン分布の優れた近似値になります。λが約 10 より大きい場合、適切な連続性補正を行うと、つまり、x が負でない整数であるP( X ≤ x )をP( X ≤ x + 0.5)に置き換えると、正規分布は優れた近似値になります。${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$$${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• 分散安定化変換: ならば[ ^{8] : 168}かつ^{[35] : 196}この変換では、正規性への収束(が増加するにつれて)は、変換されていない変数よりもはるかに速くなります。^[要出典]他に、もう少し複雑な分散安定化変換も利用可能で、^{[8] : 168}その1つがアンスコム変換です。^{[36]変換のより一般的な用途については、} 「データ変換(統計)」を参照してください。${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$ $${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$ $${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$${\displaystyle \lambda }$
• t > 0の任意の時間間隔[0, t ] 内の到着数が平均λtのポアソン分布に従う場合、到着間隔のシーケンスは平均1/ λを持つ独立した同一分布の指数ランダム変数です。^{[37] ：317–319}
• ポアソン分布とカイ二乗分布の累積分布関数は、次のように関係している：^{[8] ：167}と^{[8] ：158} $${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$ $${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

と仮定すると、^[38]は多項式分布に従うと仮定する。${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

これは^{[27] : 101-102}を意味し、とりわけ、任意の非負関数が多項分布して いる 場合、 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$$${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

が単調に増加または減少すると仮定すると、 の係数は2 に置き換えることができます。${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$${\displaystyle f}$

この分布は二変量の場合にも拡張されている。^[39]この分布の 生成関数は$${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$

と$${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

周辺分布はポアソン分布( θ ₁ )とポアソン分布( θ ₂ )であり、相関係数は範囲に制限される。 $${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

二変量ポアソン分布を生成する簡単な方法は、平均を持つ3つの独立したポアソン分布を取り、二変量ポアソン分布の確率関数は ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$$${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

ジャンプサイズとジャンプ率を持つ自由ポアソン分布^[40]は、自由確率論において、 N →∞ のときの繰り返し自由畳み込みの極限として生じる。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$

言い換えると、確率 で値を持ち、残りの確率 で値 0 を持つようなランダム変数を とします。また、族 が自由に独立していると仮定します。すると、の法則 の極限は、パラメータ を持つ自由ポアソン法則によって与えられます。${\displaystyle X_{N}}$${\displaystyle X_{N}}$${\displaystyle \alpha }$${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

この定義は、古典的なポアソン分布が（古典的な）ポアソン過程から得られる方法の 1 つに類似しています。

自由ポアソン法則に関連する測度は^[41] で与え られ、サポート$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$$${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

この法則はランダム行列理論でもマルチェンコ・パストゥールの法則として現れる。その自由キュムラントは${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

自由ポアソン法則のいくつかの重要な変換の値を与える。計算は、例えばA. NicaとR. Speicherの著書「自由確率の組合せ論に関する講義」^[42]に記載されている。

自由ポアソン法則のR変換は次のように与えられる。 $${\displaystyle R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.}$$

コーシー変換（スティルチェス変換の負）は次のように与えられる。 $${\displaystyle G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}}$$

S変換は 次のように表される。$${\displaystyle S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}}$$${\displaystyle \alpha =1.}$

ポアソンの確率質量関数は、ワイブル分布と安定カウント分布の変形の積分布に似た形で表現できます。変数は、安定カウント分布におけるレヴィの安定性パラメータの逆数と見なすことができます。 ここで、は形状の標準的な安定カウント分布であり、は形状の標準的なワイブル分布です。${\displaystyle f(k;\lambda )}$${\displaystyle (k+1)}$$${\displaystyle f(k;\lambda )=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{u}}\,W_{k+1}({\frac {\lambda }{u}})\left[\left(k+1\right)u^{k}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{k+1}}\left(u^{k+1}\right)\right]\,du,}$$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle \alpha =1/\left(k+1\right),}$${\displaystyle W_{k+1}(x)}$${\displaystyle k+1.}$

i = 1, ... , nのn個の測定値のサンプルが与えられたとき、サンプルが抽出されたポアソン分布のパラメータλの値を推定したい。最大尤度推定値は^{[43]である。}${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$

各観測値には期待値λがあり、標本平均にも期待値 λ があります。したがって、最大尤度推定値はλの不偏推定値です。また、その分散はCramér–Rao 下限(CRLB)を達成するため、効率的な推定値でもあります。 ^{[44]したがって、これは}最小分散不偏推定値です。また、合計 (および合計の 1 対 1 関数である標本平均) はλの完全かつ十分な統計量であることが証明できます。

十分性を証明するために、因数分解定理を使用することができます。サンプルの結合ポアソン分布の確率質量関数を2つの部分に分割することを検討してください。1つはサンプルのみに依存し、 と呼ばれ、もう1つは関数 を通じてのみパラメータとサンプルに依存します。すると、は十分統計量です。${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \lambda .}$

${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$

最初の項はのみに依存します。2 番目の項はを通じてのみサンプルに依存します。したがって、は十分です。 ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$

ポアソン分布の確率関数を最大化する パラメータλ を見つけるには、尤度関数の対数を使用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$

λについてを微分し、ゼロと比較します。 ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$

λを解くと定常点が得られます。

${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$

したがって、λ はk _i値の平均です。静止点でのLの 2 次導関数の符号を取得すると、λがどのような極値であるかがわかります。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$

静止点での2次導関数を評価すると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$

_{これは、 k i}の平均の逆数のn倍の負数です。平均が正の場合、この式は負になります。これが満たされると、停留点は確率関数を最大化します。

完全性については、分布の族が完全であるとは、すべてに対してが成り立つ場合のみであると言われます。個体がiid である場合、調査したい分布がわかれば、統計が完全であることが簡単にわかります。 ${\displaystyle E(g(T))=0}$${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$

${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$

この等式が成り立つためには、が 0 でなければなりません。これは、の合計のすべてと のすべての可能な値に対して、他の項のいずれも 0 にならないという事実から導かれます。したがって、すべて に対して はを意味し、統計が完全であることが示されています。 ${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle E(g(T))=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$

ポアソン分布の平均の信頼区間は、ポアソン分布とカイ二乗分布の累積分布関数の関係を使用して表すことができます。カイ二乗分布自体はガンマ分布と密接に関連しており、別の表現につながります。平均μのポアソン分布からの観測値kが与えられた場合、信頼水準1- αのμの信頼区間は

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$

または同等に、

${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$

ここで、は自由度nのカイ2乗分布の分位関数（下裾野pに対応）であり、は形状パラメータnと尺度パラメータ1のガンマ分布の分位関数である。 ^{[8] ：176-178  [45]}この区間は、その被覆確率が名目値の1- αよりも小さくなることはないという意味で「正確」である。 ${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$

ガンマ分布の分位数が利用できない場合、この正確な区間の正確な近似値が提案されている（ウィルソン・ヒルファティ変換に基づく）：^[46]

${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$

ここで、上裾面積α / 2の標準正規偏差を表します。 ${\displaystyle z_{\alpha /2}}$

これらの式を上記と同じ文脈（平均λのポアソン分布から抽出されたn個の測定値k _iのサンプルが与えられた場合）に適用するには、次のように設定する。

${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$

μ = n λの区間を計算し、次にλの区間を導出します。

ベイズ推定では、ポアソン分布の速度パラメータλの共役事前分布はガンマ分布である 。^[47]

${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$

λ は、形状パラメータαと逆スケールパラメータβでパラメータ化されたガンマ密度 gに従って分布することを示します。

${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$

次に、前と同じn個の測定値k _iのサンプルと、ガンマ( α , β )の事前分布が与えられると、事後分布は

${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right).}$

事後平均は線形であり、次のように与えられることに注意する。

${\displaystyle E[\lambda |k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$

ガンマ分布は条件付き平均の線形性を誘導する唯一の事前分布であることが示されています。さらに、条件付き平均が距離の線形関数に近い場合、λの事前分布はレヴィ距離のガンマ分布に近くなる必要があるという逆の結果も存在します。^[48]${\displaystyle L_{2}}$

事後平均E[ λ ]は、ガンマ分布の平均の一般的な表現から直ちに導かれる極限で最大尤度推定値に近づきます。 ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$

1つの追加観測値に対する事後予測分布は負の二項分布であり、^{[49] : 53}ガンマポアソン分布と呼ばれることもあります。

はポアソン分布の集合からの独立したランダム変数の集合で、それぞれパラメータを持ち、これらのパラメータを推定したいとします。ClevensonとZidekは、正規化された二乗誤差損失が のとき、正規平均に対するSteinの例と同様に、MLE推定量は許容されないことを示しています。 [ 50 ^]${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lambda _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$${\displaystyle p>1,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$

この場合、任意のおよびに対して、ミニマックス推定量の族が次のように与えられる^[51]。${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$

ポアソン分布のカウントデータ（イベント数）への応用例：^[52]

• 電気通信：システムに到着する電話の呼び出し、
• 天文学：望遠鏡に到達する光子、
• 化学：リビング重合のモル質量分布、^[53]
• 生物学：単位長さあたりのDNA鎖上の突然変異の数、
• 管理：カウンターやコールセンターに来た顧客、
• 金融と保険：一定期間内に発生した損失または請求の数、
• 地震学：大地震のリスクの漸近ポアソンモデル、^[54]
• 放射能：放射性サンプルでは、​​一定の時間間隔で崩壊する。
• 光学系: 単一のレーザーパルスで放出される光子の数 (光子数分割として知られる量子鍵配布プロトコルの主な脆弱性)。

ポアソン過程としてモデル化できるカウントイベントのその他の例は次のとおりです。

• プロイセン騎兵隊の各軍団で毎年馬に蹴られて殺された兵士の数。この例はラディスラウス・ボルトキエヴィチ（1868-1931）の著書^{[12]で引用されている。23-25}
• ギネスビールの醸造に使われる酵母細胞。この例はウィリアム・シーリー・ゴセット（1876-1937）によって使用された。^{[55] [56]}
• 1分以内にコールセンターに着信する電話。この例はAKエルラン（1878-1929）によって記述されている。^[57]
• 2チームが対戦するスポーツにおけるゴール、^[58]
• 特定の年齢層における年間死亡者数、
• 一定期間内に株価が急騰した場合、
• ウェブサーバーが1分間にアクセスされる回数（均質性の仮定の下）
• 一定量の放射線を浴びた後の特定のDNA領域における変異、
• 所定の感染多重度で感染した細胞、
• 一定量の液体中の細菌、^[59]
• 所定の時間内に所定の照明でピクセル回路に到達する光子、
• 第二次世界大戦中のロンドンへのV-1飛行爆弾の着弾状況。1946年にRDクラークが調査した。^[60]

確率論において、ギャラガーは1976年に、証明されていない素数r組予想の特定のバージョンが成り立つ場合、^{[61]短い間隔での}素数 の数はポアソン分布に従うことを示した。^[62]

イベントの発生率は、ある小さなサブインターバル (時間、空間、またはその他の部分) でイベントが発生する確率と関連しています。ポアソン分布の場合、イベントが 2 回発生する確率が「無視できる」ほど小さいサブインターバルが存在すると想定されます。この想定により、全体のインターバルで予想されるイベントの総数に関する情報のみを与えられた場合、二項分布からポアソン分布を導き出すことができます。

区間全体のイベントの総数を次のように表す。区間全体を等しい大きさのサブ区間に分割すると、次のようになる（区間のごく一部にのみ関心があるので、この仮定は意味がある）。これは、 n個のサブ区間のそれぞれにおけるイベントの期待数が次のようになることを意味する。${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$${\displaystyle n>\lambda }$${\displaystyle \lambda /n.}$

ここで、区間全体でのイベントの発生はn 回の ベルヌーイ試行のシーケンスとして見ることができると仮定します。ここで、- 番目のベルヌーイ試行は、イベントがサブ区間で確率 で発生するかどうかを確認することに対応します。このような試行でのイベントの合計の期待値は、区間全体でのイベントの合計の期待値になります。したがって、区間の各サブ区分について、イベントの発生を次の形式のベルヌーイ過程として近似しています。前に述べたように、非常に小さなサブ区間のみを検討します。したがって、 が無限大になるという極限を取ります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \lambda /n.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$${\displaystyle n}$

この場合、二項分布はポアソン極限定理によってポアソン分布と呼ばれるものに収束します。

上記の例のいくつか、例えば、DNAの特定の配列における突然変異の数などでは、カウントされているイベントは実際には離散的な試行の結果であり、より正確には二項分布を使用してモデル化されます。 $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

このような場合、nは非常に大きく、pは非常に小さい（したがって期待値npは中程度の大きさである）。その場合、分布はより扱いにくいポアソン分布で近似できる。$${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

この近似は稀事象の法則と呼ばれることもあります^[63] 。n個のベルヌーイ事象のそれぞれがまれにしか発生しないから^です。

「稀なイベントの法則」という名前は誤解を招く可能性があります。なぜなら、パラメータnpが小さくない場合、ポアソン過程における成功イベントの総数は必ずしも稀である必要はないからです。たとえば、1 時間あたりの話中交換台への電話の数はポアソン分布に従い、交換手にとってはイベントが頻繁に発生しているように見えますが、その時間内にその交換台に電話をかける可能性が非常に低い人口の平均的なメンバーの観点からは稀です。

二項分布の分散はポアソン分布の分散の1 − p倍なので、 pが非常に小さい場合はほぼ同じになります。

法則という言葉は確率分布の同義語として使われることもあり、法則の収束は分布の収束を意味する。したがって、ポアソン分布は、まれにしか起こらないが非常に多くの機会があるイベントの発生数の確率分布であるため、「小数の法則」と呼ばれることもある。小数の法則は、1898年に出版されたラディスラウス・ボルトキエヴィチによるポアソン分布に関する本である。^{[12] [64]}

ポアソン分布は、ある有限領域に位置するポアソン点過程の点の数として生じる。より具体的には、 Dが、例えばユークリッド空間R ^{d の}ような領域空間であり、その領域の面積、体積、あるいはより一般的にはルベーグ測度| D | が有限である場合、そしてN ( D ) がD内の点の数を表す場合、

${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$

ポアソン回帰と負の二項回帰は、従属（応答）変数が区間内のイベントまたは発生 回数（0、1、2、...）である分析に役立ちます。

ルリア・デルブリュックの実験は、ポアソン分布をもたらすはずのラマルク進化の仮説を検証した。

カッツとミレディは、アセチルコリン（ACh）の存在下と非存在下で膜電位を測定した。^[65] AChが存在する場合、膜上のイオンチャネルは、わずかな時間だけランダムに開く。多数のイオンチャネルがあり、それぞれがわずかな時間だけ開いているため、任意の瞬間に開いているイオンチャネルの総数はポアソン分布する。AChが存在しない場合は、実質的にイオンチャネルは開いていない。膜電位はである。ノイズの影響を差し引くと、カッツとミレディは膜電位の平均と分散がであることを発見し、次の式を得た。（pp. 94-95 ^[66]） ${\displaystyle V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}}$${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V} ,(29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}}$${\displaystyle V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V} }$

各細胞複製イベント中、突然変異の数はおおよそポアソン分布する。^[67]例えば、HIVウイルスは10,000塩基対を持ち、突然変異率は30,000塩基対あたり約1であり、複製イベントあたりの突然変異数は次のように分布していることを意味する。(p. 64 ^[66] ) ${\displaystyle \mathrm {Pois} (1/3)}$

ポアソン過程において、観測される発生数は、その平均λの周りで標準偏差 とともに変動します。これらの変動は、ポアソンノイズ、または（特に電子工学では）ショットノイズとして表されます。 ${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.}$

独立した離散的な発生を数える際の平均と標準偏差の相関は科学的に有用である。変動が平均信号とともにどのように変化するかをモニタリングすることで、その寄与が直接検出するには小さすぎる場合でも、単一の発生の寄与を推定することができる。例えば、電子の電荷e は、電流の大きさとそのショットノイズを相関させることによって推定することができる。平均してN個の電子が与えられた時間t内に点を通過する場合、平均 電流は である。電流の変動は オーダー(つまり、ポアソン過程の標準偏差) であるはずなので、電荷は比率から推定することができる^{[引用が必要]}${\displaystyle I=eN/t}$${\displaystyle \sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t}$${\displaystyle e}$${\displaystyle t\sigma _{I}^{2}/I.}$

日常的な例としては、写真を拡大したときに現れる粒状感が挙げられる。粒状感は、縮小された銀粒子の数のポアソン変動によるものであり、個々の粒子自体によるものではない。粒状感を拡大の度合いと相関させることで、個々の粒子（肉眼では見えないほど小さい）の寄与を推定することができる。^[要出典]

因果集合論では、時空の離散要素は体積内でポアソン分布に従います。

ポアソン分布は量子力学、特に量子光学にも現れます。つまり、コヒーレント状態にある量子調和振動子システムの場合、特定のエネルギーレベルを測定する確率はポアソン分布に従います。

ポアソン分布は、専用のソフトウェア ライブラリに、分布を評価することと、その分布に従って 乱数を抽出することという 2 つの異なるタスクを課します。${\displaystyle P(k;\lambda )}$

与えられた と を計算することは、指数関数、べき乗関数、階乗関数の標準的な定義を使用して実行できる簡単な作業です。しかし、ポアソン分布の従来の定義には、コンピュータで簡単にオーバーフローする可能性のある2つの項、 λ ^kとk !が含まれています。λ ^kのk !に対する割合も、e ^{− λ}と比較して非常に大きな丸め誤差を生成し、誤った結果をもたらす可能性があります。数値安定性のために、ポアソン確率質量関数は次のように評価する必要があります。 ${\displaystyle P(k;\lambda )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle P(k;\lambda )}$

${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$

これは数学的には同等ですが、数値的には安定しています。ガンマ関数の自然対数は、C標準ライブラリ (C99 バージョン) またはR のlgamma関数、MATLABまたはSciPyの関数、またはFortran 2008 以降の関数を使用して取得できます。 gammalnlog_gamma

いくつかの計算言語ではポアソン分布を評価するための組み込み関数が提供されている。

• R : 関数dpois(x, lambda);
• ExcelPOISSON( x, mean, cumulative) :累積分布を指定するためのフラグ付きの関数。
• Mathematica : 1変量ポアソン分布は、^[68] 2変量ポアソン分布は、^[69]PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$]MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12},}${ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12},}$ ${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$}]

それほど簡単ではないタスクは、与えられたポアソン分布から整数のランダム変量を抽出することである。${\displaystyle \lambda .}$

ソリューションは以下によって提供されます:

• R : 関数rpois(n, lambda);
• GNU 科学ライブラリ(GSL): 関数 gsl_ran_poisson

ランダムなポアソン分布数（擬似乱数サンプリング）を生成する簡単なアルゴリズムは、クヌースによって与えられている：^{[70] ：137-138}

アルゴリズム ポアソン乱数 (Knuth) :
    初期値:
         L ← e −λ、 k ← 0 、 p ← 1
    とする。以下を実行する:
        k ← k + 1 です。
        [0,1]の範囲内で一様乱数uを生成し、p←p×u
    とします。p >Lの
    ときはk−1
を返します。

複雑さは返される値kに比例し、平均するとλになります。これを改善するアルゴリズムは他にもたくさんあります。いくつかは Ahrens & Dieter で紹介されています。以下の § 参考文献を参照してください。

λの値が大きい場合、 L = e ^{− λ}の値が小さすぎて表現が困難になることがあります。これは、 e ^{−STEP が}アンダーフローしないように追加のパラメータ STEP を使用するアルゴリズムを変更することで解決できます。 ^{[引用が必要]}

アルゴリズム ポアソン乱数 (Junhao、Knuth に基づく) :
    初期化:
         λ左 ← λ、k ← 0、p ← 1
    とする。以下 を実行する:
        k ← k + 1 です。
        (0,1)内で一様乱数uを生成し、 p ← p × uとする。p
         < 1かつλ Left > 0
            の場合: λ Left > STEPの場合: 
                p ← p × e STEP 
                λ左 ← λ左 − STEP
            そうでない場合:
                p ← p × e λ左
                λ左 ← 0、
    ただしp > 1
    の場合。k − 1を返します。

STEP の選択は、オーバーフローのしきい値によって異なります。倍精度浮動小数点形式の場合、しきい値はe ^{700付近なので、 500 が安全な}STEPになります。

λの値が大きい場合の他の解決策としては、拒否サンプリングやガウス近似の使用など があります。

逆変換サンプリングは、 λの値が小さい場合に単純かつ効率的であり、サンプルごとに 1 つの均一な乱数uのみが必要です。累積確率は、 u を超えるまで順番に調べられます。

アルゴリズム 順次探索による逆問題に基づくポアソン分布生成器: [71] : 505 
    初期値:
         x ← 0、p ← e −λ 、s ← pとする。
        [0,1]の範囲内で一様乱数uを生成します。
    u > sの場合は次のようになります:
        x ← x + 1。
        p ← p × λ / x です。
        s ← s + p。
    x を返します。