ポアソン点過程

ポアソン過程

確率密度関数
平均	${\displaystyle a_{0,t}=\int _{0}^{t}\lambda (\alpha )d\alpha }$
分散	${\displaystyle a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}-(a_{0,t})^{2}=a_{0,t}}$ 以来${\displaystyle R_{x}(t_{1},t_{2})=a_{0,min(t_{1},t_{2})}+a_{0,t_{1}}a_{0,t_{2}}}$ どこのために ${\displaystyle E\{X^{2}\}=R_{x}(t,t)=a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}}$

確率論、統計学、および関連分野において、ポアソン点過程（ポアソンじっこう、ポアソンランダム測度、ポアソンランダム点場、ポアソン点場とも呼ばれる）は、数学的空間上にランダムに配置された点から構成される数学的対象の一種であり、点が互いに独立して発生するという本質的な特徴を持つ。^[1] この過程の名前は、同じ大きさの点領域の数の分布がポアソン分布に従うという事実に由来する。この過程と分布は、フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンにちなんで名付けられた。この過程自体は、放射性崩壊、電話の着信、保険数理科学に関する実験など、いくつかの設定で独立して繰り返し発見された。^{[2] [3]}

この点過程は、天文学、 ^[4]生物学、^[5]生態学、^[6]地質学、^[7]地震学、^[8]物理学、^[9]経済学、^[10]画像処理 、^{[11] [12]}電気通信など、多くの分野で一見ランダムなプロセスの数学的モデルとして使用されています。^{[13] [14]}

ポアソン点過程は実数直線上で定義されることが多く、確率過程とみなすことができます。たとえば、待ち行列理論^[15]では、店舗への顧客の到着、取引所での電話、地震の発生など、時間的に分布するランダムなイベントをモデル化するために使用されています。平面では、点過程は空間ポアソン過程とも呼ばれ、^{[16] は、無線ネットワークの送信機[13]}、^{[17] [18] [19] 、検出器に衝突する}粒子、森林の木々など、散在するオブジェクトの位置を表すことができます。 ^[20]このプロセスは、数学モデルや、空間点過程^{[21] 、}確率幾何学^[1]、空間統計^{[21] [22]}、連続体浸透理論^[23]などの関連分野でよく使用されます。

ポアソン点過程は、より抽象的な空間で定義することができます。応用を超えて、ポアソン点過程はそれ自体が数学的研究の対象です。^{[24]ポアソン点過程は、各点が過程内の他のすべての点に対して}確率的に独立しているという性質があり、そのため、純粋または完全にランダムな過程と呼ばれることもあります。^[25]点間の相互作用が強すぎる場合（つまり、点が確率的に独立していない場合）、システムをポアソン過程としてモデル化することは不十分です。そのようなシステムは、別の点過程でモデル化した方がよい場合があります。^[26]

点過程は単一の数学的対象に依存し、その対象は文脈に応じて定数、局所的に積分可能な関数、またはより一般的な設定ではラドン測度となる。^[27]前者の場合、速度または強度として知られる定数は、空間のある領域に位置するポアソン過程の点の平均密度である。結果として得られる点過程は、同次 または定常ポアソン点過程と呼ばれる。^[28]後者の場合、点過程は非同次または非同次 ポアソン点過程と呼ばれ、点の平均密度はポアソン点過程の基礎となる空間の位置に依存する。^[29]点という語はしばしば省略されるが^{[24]、点の代わりに}線や多角形などのより複雑な数学的対象で構成されるオブジェクトの他のポアソン過程もあり、そのような過程はポアソン点過程に基づくことができる。^[30]同次ポアソン点過程と非同次ポアソン点過程は、一般化更新過程の特殊なケースである。

状況に応じて、この過程には複数の同等の定義^[31]があるだけでなく、その多くの応用と特徴付けのために一般性が変化する定義もあります。^[32]ポアソン点過程は、1 次元、たとえば実数直線上で定義、研究、使用できます。実数直線上では、計数プロセスまたは待ち行列モデルの一部として解釈できます。^{[33] [34]}平面などの高次元では、確率幾何学^[1]や空間統計で役割を果たします。^[35]または、より一般的な数学的空間で定義、研究、使用できます。 ^[36]したがって、ポアソン点過程や一般的な点過程を定義および研究するために使用される表記法、用語、および数学的厳密さのレベルは、コンテキストによって異なります。^[37]

それにもかかわらず、ポアソン点過程には、ポアソン特性と独立性という2つの重要な特性があり、ポアソン点過程が使用されるすべての設定で重要な役割を果たします。^{[27] [38]} 2つの特性は論理的に独立ではありません。実際、点数のポアソン分布は独立性を意味しますが、^[a]逆に、(i) 点過程は単純である、(ii) 固定原子がない、(iii) 境界有限であるという仮定が必要です。^[39]

ポアソン点過程は、ポアソン分布によって特徴付けられます。ポアソン分布は、確率変数 （ポアソン確率変数と呼ばれる）の確率分布であり、 が等しい確率は次のように与えられます。 ${\textstyle N}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

ここで は階乗を表し、パラメータは分布の形状を決定します。(実際、は の期待値に等しくなります。) ${\textstyle n!}$${\textstyle \Lambda }$${\textstyle \Lambda }$${\textstyle N}$

定義により、ポアソン点過程は、過程の基礎となる空間の境界領域内の点の数がポアソン分布に従う確率変数であるという性質を持つ。^[38]

基礎となる空間の互いに素で境界のあるサブ領域の集合を考えてみましょう。定義により、各境界のあるサブ領域内のポアソン点過程の点の数は、他のすべての点から完全に独立します。

この特性は、完全なランダム性、 完全な独立性^[40]、または独立散乱^{[41] [42]}など、いくつかの名前で知られており、すべてのポアソン点過程に共通しています。言い換えれば、異なる領域と点の間には一般に相互作用がないため、^{[43]、ポアソン過程は}純粋または完全にランダムな過程と呼ばれることがあります。^[40]

ポアソン点過程が という形式のパラメータを持ち、 がルベーグ測度（つまり、集合に長さ、面積、または体積を割り当てる）であり が定数である場合、その点過程は同次ポアソン点過程または定常ポアソン点過程と呼ばれる。速度または強度と呼ばれるパラメータは、ある境界領域に存在するポアソン点の期待（または平均）数と関連している。^{[44] [45]}ここで、速度は通常、基になる空間が1次元である場合に用いられる。^[44]パラメータは、基になる数学的空間に応じて、長さ、面積、体積、時間などの範囲の単位あたりの点の平均数として解釈することができ、平均密度または平均速度とも呼ばれる。^[46]用語集を参照。 ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$${\textstyle \nu }$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda }$

同次ポアソン点過程は、正の半直線上で考えると、確率過程の一種である計数過程として定義することができ、 と表記することができる。^{[31] [34]}計数過程は、時刻 までに発生した事象の総数を表す。計数過程が次の3つの特性を持つ場合、それは速度 の同次ポアソン計数過程である: ^{[31] [34]}${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\textstyle t}$${\textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• 独立した増分を持ち、
• 任意の長さの区間内のイベント（またはポイント）の数は、パラメータ（または平均）を持つポアソン確率変数です。${\textstyle t}$${\textstyle \lambda t}$

最後のプロパティは次のことを意味します。

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

言い換えると、ランダム変数が等しい確率は次のように表されます。 ${\textstyle N(t)}$${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

ポアソン計数過程は、計数過程のイベント間の時間差が平均を持つ指数変数であると定義することもできます。 [ ^{47]イベントまたは到着間の時間差は}、到着間隔^[48]または発生間隔[ ^47] として知られています 。${\textstyle 1/\lambda }$

点過程として解釈すると、ポアソン点過程は、区間 内の過程の点の数を考慮することによって実数直線上で定義できます。パラメータ を持つ実数直線上の同次ポアソン点過程の場合、このランダムな点の数（ここでは と表記）がある計数数に等しい確率は次のように与えられます。^[49]${\textstyle (a,b]}$${\textstyle \lambda >0}$${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},}$

ある正の整数に対して、同次ポアソン点過程は次のように表される有限次元分布を持つ: ^[49]${\textstyle k}$

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

ここで実数は です。 ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

言い換えると、は平均 のポアソン確率変数であり、です。さらに、任意の 2 つの互いに交わらない区間、たとえばとにある点の数は互いに独立しており、これは任意の有限数の互いに交わらない区間に拡張されます。^[49]待ち行列理論の文脈では、（区間内の）点をイベントとして考えることができますが、これは確率論の意味でのイベントという単語とは異なります。 ^[b] したがって、 は単位時間あたりに発生する到着の期待数です。 ^[34]${\textstyle N(a,b]}$${\textstyle \lambda (b-a)}$${\textstyle a\leq b}$${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$${\textstyle \lambda }$

前述の定義には、一般的なポアソン点過程に共通する2つの重要な特徴がある: ^{[49] [27]}

• 各有限間隔内の到着数はポアソン分布に従う。
• 分離した区間の到着数は独立したランダム変数です。

さらに、同次ポアソン点過程に関連する3番目の特徴がある: ^[50]

• 各区間の到着数のポアソン分布は、区間の長さのみに依存します。${\textstyle (a+t,b+t]}$${\textstyle b-a}$

言い換えれば、任意の有限の に対して、確率変数は から独立しているので、定常ポアソン過程とも呼ばれます。^[49]${\textstyle t>0}$${\textstyle N(a+t,b+t]}$${\textstyle t}$

この量は、区間内に発生する点の期待数または平均数として解釈できます。つまり、 ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),}$

ここで、は期待値演算子を表します。言い換えれば、ポアソン過程のパラメータは点の密度と一致します。さらに、同次ポアソン点過程は、独自の形の（強い）大数の法則に従います。^[51]より具体的には、確率1で： ${\displaystyle \operatorname {E} }$${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,}$

ここで、は関数の極限を表し、は単位時間あたりに発生する到着の予想数です。 ${\textstyle \lim }$${\displaystyle \lambda }$

実数直線上の点過程の連続する2点間の距離は、パラメータ（または平均）を持つ指数ランダム変数となる。これは、点がメモリレス特性を持つことを意味する。つまり、有限区間内に存在する1つの点の存在は、他の点が存在する確率（分布）に影響を与えない。^{[52] [53]}しかし、この特性は、ポアソン過程が高次元の空間で定義されている場合、自然な同等性を持たない。^[54]${\textstyle \lambda }$${\textstyle 1/\lambda }$

定常増分を伴う点過程は、次のような場合には秩序ある^[55]または正則であると言われることがある: ^[56]

${\displaystyle \Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),}$

ここで、小文字のo表記が使用されている。点過程は、その2点のいずれかが基底空間上で同じ位置で一致する確率がゼロであるとき、単純点過程と呼ばれる。実数直線上の点過程一般では、秩序性の性質は、その過程が単純であることを意味し、^[57]同次ポアソン点過程の場合がこれに該当する。^[58]

実数直線上では、同次ポアソン点過程は、次の特徴付けによってマルチンゲール理論と関係がある。点過程が同次ポアソン点過程であるのは、

${\displaystyle N(-\infty ,t]-\lambda t,}$

はマーチンゲールである。^{[59] [60]}

実数直線上では、ポアソン過程は連続時間マルコフ過程の一種で、誕生過程と呼ばれ、誕生-死亡過程の特殊なケース（誕生のみで死亡はゼロ）である。^{[61] [62]}マルコフ到着過程などのマルコフ性を持つより複雑な過程が定義されており、ポアソン過程は特殊なケースである。^[47]

同次ポアソン過程がちょうど半直線上にあると考えられる場合、これは が時間を表す場合に当てはまります^{[31] 。その場合、結果として得られる過程は実際には平行移動に対して不変ではありません[54]}。その場合、ポアソン過程はもはや定常ではなく、定常性の定義のいくつかに従います^[28]。${\textstyle [0,\infty )}$${\textstyle t}$

実数直線上の同次ポアソン過程は、一見ランダムで独立しているように見えるイベントの発生をモデル化するために多くの応用がなされてきた。これは、特定の現象のランダムな到着と出発を表すために適切な確率モデルを開発する確率分野である待ち行列理論において基本的な役割を果たしている。 ^{[15] [47]}たとえば、顧客が到着してサービスを受けることや、電話交換機に着信する電話は、どちらも待ち行列理論の手法で研究することができる。

実数直線上の同次ポアソン過程は、点の乱数を数える最も単純な確率過程の一つと考えられている。^{[63] [64]}この過程はいくつかの方法で一般化できる。一つの可能​​な一般化は、到着間隔の分布を指数分布から他の分布に拡張することであり、これは更新過程として知られる確率過程を導入する。もう一つの一般化は、平面などの高次元空間上でポアソン点過程を定義することである。^[65]

空間ポアソン過程は 、平面 で定義されるポアソン点過程である。^{[59] [66]}数学的な定義では、まず平面 の境界のある開いた領域または閉じた領域（より正確には、ボレル測定可能な）を考える。この領域内に存在する点過程の点の数は、 で表されるランダム変数である。点がパラメータ を持つ同次ポアソン過程に属する場合、に点が存在する確率は次のように表される。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle B}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle N(B)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

ここで はの面積を表します。 ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

ある有限の整数 に対して、まず互いに素で有界なボレル（測定可能）集合 の集合を考えることによって、同次ポアソン点過程の有限次元分布を与えることができる。に存在する点過程の点の数は と書くことができる。すると、パラメータ を持つ同次ポアソン点過程は有限次元分布を持つ：^[67]${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

空間ポアソン点過程は、空間統計学、^{[21] [22] 、} 確率幾何学、連続体パーコレーション理論で重要な役割を果たしています。^[23]この点過程は、アルファ粒子の検出用に開発されたモデルなど、さまざまな物理科学に応用されています。近年では、特定の無線通信ネットワークの一見無秩序な空間構成をモデル化するために頻繁に使用されています。^{[17] [18] [19]}たとえば、携帯電話ネットワークのモデルが開発されており、基地局と呼ばれる電話ネットワーク送信機は、同次ポアソン点過程に従って配置されていると想定されています。

前述の同次ポアソン点過程は、面積の概念を（高次元の）体積に置き換えることで、すぐに高次元に拡張されます。ユークリッド空間 の境界付き領域で、点がパラメータ を持つ同次ポアソン過程を形成する場合、に点が存在する確率は次のように表されます。 ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

ここで はの-次元体積を表す。さらに、互いに素で有界なボレル集合 の集合に対して、に存在するの点の数 を表すものとする。すると、対応するパラメータ を持つ同次ポアソン点過程は有限次元分布を持つ: ^[69]${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

同次ポアソン点過程は、そのパラメータ を介して基礎空間の位置に依存しないため、定常過程（並進に対して不変）かつ等方性（回転に対して不変）確率過程であることを意味する。^[28] 1次元の場合と同様に、同次点過程は の有界部分集合に制限されるため、定常性の定義によっては、その過程はもはや定常ではない。^{[28] [54]}${\displaystyle \textstyle \lambda }$${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

同次点過程が、ある現象の発生の数学的モデルとして実数直線上で定義される場合、その発生またはイベントの実数直線上（多くの場合、時間として解釈される）の位置は一様に分布するという特性を持つ。より具体的には、イベントが（この過程に従って）区間 で発生する場合、その位置はその区間で定義される一様ランダム変数となる。^{[67]さらに、同次点過程は}一様ポアソン点過程と呼ばれることもある（用語を参照）。この一様性は、直交座標の高次元にまで及ぶが、例えば極座標には及ばない。^{[70] [71]}${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

非同次ポアソン点過程（用語集参照）は、ポアソン過程が定義されている基礎空間における位置依存関数としてポアソンパラメータセットを持つポアソン点過程である。ユークリッド空間 の場合、これは局所的に積分可能な正関数 を導入することで実現され、すべての境界領域に対しての領域上の（-次元）体積積分は 有限となる。言い換えると、 で表されるこの積分が次の式で表される場合：^[45] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

ここで は（-次元）体積要素であり、^[c]互いに素な有界ボレル可測集合の任意の集合に対して、（強度）関数を持つ非同次ポアソン過程は有限次元分布を持つ：^[69]${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

さらに、は、ポアソン過程の点が有界領域に位置する期待数であると解釈され、すなわち、 ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

実数直線上では、非同次または非同次ポアソン点過程の平均測度は 1 次元積分で与えられます。2 つの実数と（ただし）に対して、区間 で発生する強度関数を持つ非同次ポアソン過程の点の数を表します。上記の区間に点が存在する確率は次のように与えられます。 ${\displaystyle \textstyle a}$${\displaystyle \textstyle b}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

ここで、平均または強度の尺度は次のようになります。

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

これは、ランダム変数が平均 のポアソンランダム変数であることを意味します。 ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$

1次元設定の特徴は、非同次ポアソン過程を単調変換またはマッピングによって同次過程に変換できることであり、これはの逆変換によって達成される。^{[72] [73]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

非同次ポアソン点過程は、正の半直線上で考えると、計数過程として定義されることもある。この解釈では、 と書かれることもある過程は、時刻 までに起こった出来事の総数を表す。計数過程が非同次ポアソン計数過程と呼ばれるのは、次の4つの性質を持つ場合である: ^{[34] [74]}${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• 独立した増分を持つ。
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);}$そして
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

ここで はとして漸近的または小さなo表記である。不応性を持つ点過程（例えば、神経スパイク列）の場合、性質4のより強いバージョンが適用される：^[75]。 ${\displaystyle \textstyle o(h)}$${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})}$

上記の特性は、パラメータ（または平均）を持つポアソン確率変数であること を意味する。${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

これは

${\displaystyle \operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.}$

平面上で定義される非同次ポアソン過程は 空間ポアソン過程と呼ばれる^[16]。これは強度関数で定義され、その強度尺度は強度関数のある領域での面積分を実行することで得られる。^{[20] [76]}例えば、その強度関数（直交座標と）は次のように表される。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle x}$${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

したがって、対応する強度の尺度は表面積分で与えられる。

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

ここで は平面上の境界のある領域です。 ${\textstyle B}$${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

平面では、は面積分に対応し、 では積分は（-次元）体積積分になります。 ${\textstyle \Lambda (B)}$${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\textstyle d}$

実数直線を時間として解釈すると、非同次過程は計数過程や待ち行列理論の分野で用いられる。^{[74] [77]}非同次ポアソン点過程として表現される、または現れる現象の例としては、以下のものがある。

• サッカーの試合で得点されるゴール。^[78]
• 回路基板の欠陥^[79]

平面では、ポアソン点過程は確率幾何学^{[1] [35]}や空間統計学^{[21] [22]}といった関連分野で重要である。この点過程の強度尺度は基礎となる空間の位置に依存するため、ある領域で密度が変化する現象をモデル化するために使用できる。言い換えれば、現象は位置に依存した密度を持つ点として表すことができる。^[20]この過程はさまざまな分野で使用されており、海洋のサケやウミシラミの研究、^[80] 林業、^[6]探索問題などにも使用されている。^[81]

ポアソン強度関数は、無限小の意味で体積要素を用いた、直感的であると考えられる解釈を持つ^[20] ：は、ある体積を持つ空間領域内に存在するポアソン点過程の点の無限小確率である。^[20]${\textstyle \lambda (x)}$${\textstyle \mathrm {d} x}$${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$${\textstyle \mathrm {d} x}$${\textstyle x}$

例えば、実数直線上の同次ポアソン点過程を考えると、幅の狭い区間内で過程の単一点を見つける確率はおよそ である。実際、このような直感からポアソン点過程が導入され、その分布が導かれることがある。^{[82] [43] [83]}${\textstyle \delta }$${\textstyle \lambda \delta }$

ポアソン点過程の強度測度が局所的に有限かつ拡散的（または非原子的）である場合、それは単純点過程である。単純点過程の場合、基礎となる（状態）空間内の単一の点または位置に存在する点の確率は0または1である。これは、確率1で、ポアソン点過程の2つ（またはそれ以上）の点が基礎となる空間内で位置が一致しないことを意味する。^{[84] [18] [85]}

コンピュータ上でポアソン点過程をシミュレートすることは、通常、シミュレーションウィンドウと呼ばれる空間の境界領域内で行われ、2つのステップ、すなわちランダムな数の点を適切に作成し、次にそれらの点をランダムに配置することが必要である。これら2つのステップは、シミュレートされている特定のポアソン点過程に依存する。^{[86] [87]}

ここで で示されるウィンドウ内の点の数をシミュレートする必要があり、これはポアソン乱数をシミュレートできる (疑似)乱数生成関数を使用して行われます。${\textstyle N}$${\textstyle W}$

定数 の同次ケースでは、ポアソン確率変数の平均は に設定されます。ここで、 は の長さ、面積、または ( -次元) 体積です。 ${\textstyle \lambda }$${\textstyle N}$${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle |W|}$${\textstyle d}$${\textstyle W}$

非均質な場合、は（ -次元）体積積分 に置き換えられる。${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x}$

2 番目のステージでは、ウィンドウ内にポイントをランダムに配置する必要があります。 ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle W}$

1次元の同次ケースでは、すべての点はウィンドウまたは区間 内に均一かつ独立に配置されます。直交座標系の高次元の場合、各座標はウィンドウ 内に均一かつ独立に配置されます。ウィンドウが直交空間のサブスペース（たとえば、単位球の内部または単位球の表面）でない場合、点は 内に均一に配置されず、適切な座標変更（直交座標から）が必要になります。^[86]${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$

非同次ケースでは、強度関数の性質に応じて、いくつかの異なる方法を使用することができます。^[86]強度関数が十分に単純であれば、点の独立したランダムな非一様（直交座標またはその他の）座標を生成できます。たとえば、円形ウィンドウ上のポアソン点過程のシミュレーションは、等方性強度関数（極座標および）に対して実行できます。これは、強度関数が十分に単純であれば、変数 の変更によって、回転可変または とは独立だが に依存することを意味します。^[86]${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle \theta }$${\displaystyle \textstyle \theta }$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle r}$

より複雑な強度関数の場合は、比率に基づいて特定のランダムポイントのみを使用（または「受け入れ」）し、他のポイントを使用しない（または「拒否」する）受け入れ拒否法を使用することができます：^[88]。

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}}$

承認または拒否の検討対象となるポイントは どこですか。${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

つまり、検討対象として一様ランダムに場所が選択され、その場所にサンプルを配置するかどうかを決定するために、一様ランダムに抽出された数字が確率密度関数と比較され、それが確率密度関数よりも小さい場合はそれを受け入れ、以前に選択した数のサンプルが抽出されるまで繰り返されます。 ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\frac {\lambda (x)}{\Lambda (W)}}}$

測度論では、ポアソン点過程は、局所的に有限な測度であるラドン測度を用いることで、一般ポアソン点過程^{[20] [89]}または一般ポアソン過程^[76]と呼ばれるものにさらに一般化することができる。一般に、このラドン測度は原子的である可能性があり、これはポアソン点過程の複数の点が基底空間の同じ場所に存在する可能性があることを意味する。この状況では、 における点の数は平均 のポアソンランダム変数である。^[89]しかし、時にはその逆が想定され、ラドン測度は拡散的または非原子的となる。 ^[20] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

点過程は、次の2つの性質を持つ場合、強度を持つ一般的なポアソン点過程である： ^[20]${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

• 有界ボレル集合 内の点の数は、平均 のポアソン確率変数です。言い換えると、に位置する点の総数を で表すと、確率変数 がに等しい確率は次のように与えられます。${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• 互いに素なボレル集合内の点の数は独立した確率変数を形成します。${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle n}$

ラドンの尺度は、境界領域に位置する点の期待数であるという以前の解釈を維持しており、すなわち ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

さらに、が絶対連続で、ルベーグ測度に関して密度（ラドン・ニコディム密度または微分）を持つ場合、すべてのボレル集合に対して次のように書くことができます。 ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,}$

ここで、密度は、他の用語の中でも、強度関数として知られています。 ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

ポアソン点過程はその名前にもかかわらず、その名前の由来となった人物によって発見も研究もされなかった。スティグラーの同名法則の例として引用されている。^{[2] [3]}この名前は、ポアソン分布との過程の固有の関係に由来しており、ポアソン分布は二項分布の極限ケースとしてポアソンによって導かれた。^[90]これは、確率 でのベルヌーイ試行の合計の確率を表し、表 (または裏)が出る確率が である偏ったコイン投げの後の表 (または裏) の数によく例えられる。ある正の定数 に対して、が無限大に向かって増加し、積が固定されるようにゼロに向かって減少するにつれて、ポアソン分布は二項分布に近似する。^[91]${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$

ポアソンは、 （ゼロまで）と（無限大まで）の極限における二項分布を調べることで、1841年に発表したポアソン分布を導出した。この分布はポアソンの全研究の中で一度しか登場せず、 ^[92]当時はその結果はあまり知られていなかった。その後数年間、フィリップ・ルートヴィヒ・フォン・ザイデルやエルンスト・アッベなど、ポアソンを引用せずにこの分布を使用した者はいた。^{[93] [2]} 19世紀末、ラディスラウス・ボルトキエヴィチは、プロイセン軍における馬に蹴られて死亡した人数に関する実際のデータを用いて、ポアソンを引用しながらこの分布を研究した。^{[90] [94]}${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$

ポアソン点過程の初期の用途や発見については、多くの主張がある。^{[2] [3]}たとえば、ポアソンが生まれる10年前の1767年に、ジョン・ミッシェルは、星が「単なる偶然によって散らばっている」という誤った仮定の下、ある星が別の星の特定の領域内にある確率に興味を持ち、プレアデス星団の最も明るい6つの星からなる例を研究したが、ポアソン分布を導出することはなかった。この研究は、サイモン・ニューカムにこの問題を研究するきっかけを与え、1860年に二項分布の近似としてポアソン分布を計算した。^[3]

20世紀初頭には、ポアソン過程（1次元）はさまざまな状況で独立して発生するようになった。^{[2] [3]} 1903年にスウェーデンでフィリップ・ルンドベリは、現在では基礎的かつ先駆的であると考えられている研究を含む論文を発表し、その中で均質なポアソン過程を用いて保険金請求をモデル化することを提案した。^{[95] [96]}

デンマーク では、1909年にA.K.アーランが有限時間間隔での着信電話数の数学的モデルを開発する際にポアソン分布を導出しました。アーランはポアソンの以前の研究を知らず、各時間間隔で着信する電話の数は互いに独立していると仮定しました。その後、彼は極限ケースを発見しました。これは、事実上、ポアソン分布を二項分布の極限として書き直すものです。^[2]

1910年、アーネスト・ラザフォードとハンス・ガイガーはアルファ粒子の計数に関する実験結果を発表しました。彼らの実験研究にはハリー・ベイトマンによる数学的貢献がありました。ベイトマンは微分方程式の族の解としてポアソン確率を導き出しましたが、その解はすでに導き出されており、ポアソン過程の独立した発見につながりました。^[2]この後、ポアソン過程の研究と応用は数多く行われましたが、その初期の歴史は複雑で、生物学者、生態学者、エンジニア、さまざまな物理学者によるさまざまな分野でのこの過程の応用によって説明されています。^[2]

1909年以降、ポアソン点過程の研究と応用が数多く行われたが、その初期の歴史は複雑であり、生物学者、生態学者、エンジニア、物理科学に携わる他の人々によって、この過程が多くの分野で多様に応用されたことによって説明されている。初期の結果は、標準的な用語や表記法が使われていないまま、異なる言語や異なる設定で発表された。^[2]例えば、1922年にスウェーデンの化学者でノーベル賞受賞者の テオドール・スヴェドベリは、植物群落内で植物がどのように分布しているかを研究するために、空間ポアソン点過程が基礎となるモデルを提案した。^[97] 1930年代初頭には多くの数学者がこの過程の研究を始め、アンドレイ・コルモゴロフ、ウィリアム・フェラー、アレクサンドル・ヒンチンなどによって重要な貢献がなされた。 ^{[2] [98]}電気交通工学の分野では、数学者や統計学者がポアソン過程やその他の点過程を研究し、使用しました。^[99]

スウェーデン人のコニー・パームは1943年の博士論文で、1次元の設定におけるポアソン過程やその他の点過程を、時間における点間の統計的または確率的依存性の観点から研究した。^{[100] [99]彼の研究には、}点過程という用語がドイツ語でPunktprozesseとして初めて記録されたことが記録されている。^{[100] [3]}

ウィリアム・フェラーが1940年の論文で初めてポアソン過程と呼んだと考えられている^[2] 。スウェーデン人のオーヴェ・ランドバーグは1940年の博士論文^[3]でポアソン過程という用語を使用しており、その中でフェラーが影響を受けたことが認められているが^[101] 、フェラーが1940年より前にこの用語を造ったと主張されている。^[91]フェラーとランドバーグはどちらもこの用語をよく知られているかのように使用しており、当時すでに口頭で使用されていたことを示唆していると指摘されている。^{[3]フェラーは1936年から1939年まで}ストックホルム大学でハラルド・クラマーと共に研究した。クラマーの下で博士課程の学生だったルンドバーグは、1936年に完成したクラマーの著書の中ではポアソン過程という用語を使用していなかったが、その後の版では使用しており、このことからポアソン過程という用語が1936年から1939年の間にストックホルム大学で造られたのではないかと推測されている。^[3]

点過程理論の用語は一般的に多様すぎると批判されてきた。^[3]点という単語がしばしば省略されることに加えて、^{[65] [24]}同次ポアソン（点）過程は定常ポアソン（点）過程^[49]や一様ポアソン（点）過程^[44]とも呼ばれる。非同次ポアソン点過程は非同次と呼ばれるだけでなく、^[49]非定常ポアソン過程とも呼ばれる。^{[74] [102]}

点過程という用語は、過程という用語は時間と空間にわたることを示唆するため、ランダム点場 と批判されてきた。[103] その結果、ポアソン^ランダム点場 またはポアソン点場という用語も使用されるようになった。^[104]点過程はランダム計数測度と見なされ、そう呼ばれることもある。^{[105]そのため、ポアソン点過程は}ポアソンランダム測度とも呼ばれる。^[106]これはレヴィ過程の研究で使用される用語である。^{[106] [107]}しかし、2つの異なる基礎空間上で定義されたポアソン点過程に対して、この2つの用語を使用することを選択する人もいる。^[108]

ポアソン点過程の基礎となる数学的空間は キャリア空間[ ^{109] [110]}または 状態空間と呼ばれるが、後者の用語は確率過程の文脈では異なる意味を持つ。点過程の文脈では、「状態空間」という用語は、確率過程の用語ではインデックスセット^[113]またはパラメータセット^[114]に対応する実数直線^{[111] [112]}など、点過程が定義されている空間を意味する場合がある。

この測度は、標準的な用語がないため、強度測度^[115]、平均測度^[38]、またはパラメータ測度^[69]と呼ばれます。 ^[38]に導関数または密度があり、 で表される場合、 はポアソン点過程の強度関数と呼ばれます。 ^[20]同次ポアソン点過程の場合、強度測度の導関数は単なる定数 であり、通常、基礎となる空間が実数直線である場合は速度、または強度と呼ばれることがあります。^{[44]これは}平均速度または平均密度^[116]または速度とも呼ばれます 。^[34]の場合、対応するプロセスは標準ポアソン（点）過程と呼ばれることがあります。^{[45] [59] [117]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$

ポアソン点過程の範囲は露出と呼ばれることもある。^{[118] [119]}

ポアソン点過程の表記法は、その設定とそれが適用される分野によって異なります。たとえば、実数直線上では、同次または非同次ポアソン過程は計数過程として解釈されることがあり、その表記法は ポアソン過程を表すために使用されます。^{[31] [34]}${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

表記法が異なるもう 1 つの理由は、点過程の理論によるもので、点過程にはいくつかの数学的解釈があります。たとえば、単純なポアソン点過程はランダム セットと見なすことができます。この場合、 という表記法が考えられます。これは、 がポアソン点過程 に属するかその要素であるランダム ポイントであることを意味します。もう 1 つのより一般的な解釈は、ポアソンまたはその他の点過程をランダム計数測度と見なすことです。そのため、ある (ボレル測定可能な) 領域で見つかった、または位置しているポアソン点過程の点の数は、ランダム変数であると書くことができます。これらの異なる解釈の結果、測度論や集合論などの数学の分野では という表記法が使用されています。^[120]${\displaystyle \textstyle x\in N}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle N(B)}$

一般的な点過程の場合、点記号に下付き文字、例えばが含まれることがあるため、の代わりに（集合表記で）と書き、ランダムな点を表す代わりに、キャンベルの定理などの積分式の境界変数として使用することができます。 ^[18]大文字が点過程を表し、小文字が過程の点を表す場合があり、例えば、点または は点過程 に属するか、または の点であり、集合表記で または と書きます。[ ^112]${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in N}$${\displaystyle \textstyle x\in N}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

さらに、集合論と積分論または測度論の表記法は互換的に使用できる。例えば、ユークリッド状態空間上で定義された点過程と（測定可能な）関数の場合、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {\mathbb {R} ^{d}}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

は、点過程の合計を記述する2つの異なる方法を示しています（キャンベルの定理（確率）も参照）。より具体的には、左側の積分表記は点過程をランダムな計数測定として解釈しているのに対し、右側の合計はランダムな集合の解釈を示唆しています。^[120]

確率論では、さまざまな目的でランダム変数に演算が適用されます。これらの演算は、ランダム変数の平均または分散を生成する通常の期待値である場合があります。ランダム変数の特性関数（またはラプラス変換）などの他の演算は、ランダム変数を一意に識別または特徴付け、中心極限定理などの結果を証明するために使用できます。^[121]点過程の理論では、通常、モーメントと関数の代わりに、測度と関数の形で存在する類似の数学的ツールがあります。^{[122] [123]}

ある空間上の強度測度を持つポアソン点過程に対して、ラプラス関数は次のように与えられる: ^[18]${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

キャンベルの定理の 1 つのバージョンには、ポアソン点過程のラプラス関数が含まれます。

非負整数値ランダム変数の確率生成関数は、 となる任意の非負有界関数に関して同様に定義される確率生成関数につながる。点過程の場合、確率生成関数は次のように定義される: ^[124]${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

ここで、積は 内のすべての点に対して実行されます。の強度測度が局所的に有限である場合、上の任意の測定可能な関数に対して は明確に定義されます。 強度測度を持つポアソン点過程の場合、生成関数は次のように与えられます。 ${\textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\textstyle G}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

これは同次ケースでは次のように帰着する。

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

強度測度を持つ一般的なポアソン点過程の場合、第一モーメント測度はその強度測度である: ^{[18] [19]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

これは、一定の強度を持つ均質なポアソン点過程の場合、次のことを意味します。 ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

ここで は の長さ、面積、または体積（またはより一般的にはルベーグ測度）です。 ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

メッケ方程式はポアソン点過程を特徴づける。をある一般空間 上のすべての有限測度の空間とする。上の強度を持つ点過程がポアソン点過程であるためには、すべての測定可能な関数に対して次が成り立つ必要がある 。${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

詳細については^{[125]を参照。}

強度測度を持つ一般的なポアソン点過程の場合、第-階乗モーメント測度は次の式で与えられる: ^[126]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

ここで はの強度測度または第一モーメント測度であり、あるボレル集合に対して次のように与えられる。 ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

同次ポアソン点過程の場合、階乗モーメント測度は単純に次のようになる: ^{[18] [19]}${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

ここで は の長さ、面積、または体積（またはより一般的にはルベーグ測度）である。さらに、次の階乗モーメント密度は次式で表される: ^[126]${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

点過程の回避関数[ ^71]または空隙確率^[120] は、基礎となる空間のサブセットである何らかの集合との関係で、に点が存在しない確率として定義されます。より正確には、^[127]テスト集合 に対して、回避関数は次のように与えられます。 ${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.}$

強度測度 を持つ一般的なポアソン点過程の場合、その回避関数は次のように与えられます。 ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda (B)}}$

単純な点過程は、その空隙確率によって完全に特徴付けられる。^[128]言い換えれば、単純な点過程の完全な情報は、その空隙確率に完全に取り込まれ、2つの単純な点過程が同じ空隙確率を持つのは、それらが同じ点過程である場合に限る。ポアソン過程の場合は、1次元の同次点過程の場合の結果を発見したアルフレッド・レーニにちなんで、レーニの定理と呼ばれることもある。 ^[129]

ある形式^[129]では、レーニの定理は、拡散（または非原子）ラドン測度が であり、集合が長方形の有限和集合（ボレル^[d]ではない）である場合、が の可算部分集合であって、次のようになることを述べている。 ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$

は、強度測度 を持つポアソン点過程です。 ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

点過程に対して数学的演算を実行すると、新しい点過程が得られ、特定の物体の位置に関する新しい数学モデルが開発される。演算の一例は間引きと呼ばれ、ある点過程の点をある規則に従って削除または除去し、残った点からなる新しい過程を作成する（削除された点も点過程を形成する）。^[131]

ポアソン過程の場合、独立した- 間引き操作により、別のポアソン点過程が生成されます。より具体的には、強度測度 を持つポアソン点過程に - 間引き操作を適用すると、点が削除された点過程が生成されます。この点過程も強度測度 を持つポアソン点過程であり、境界付きボレル集合の場合は次のように表されます。 ${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

このポアソン点過程の細分化の結果は、プレコパの定理として知られている。^[132]さらに、ポアソン点過程をランダムに細分化した後、保持された点または残った点もポアソン点過程を形成し、その強度測度は

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

除去された点と保持された点からそれぞれ形成される2つの別々のポアソン点過程は、確率的に互いに独立しています。^[131]言い換えれば、ある領域に保持された点（元のポアソン点過程から）が含まれていることがわかっている場合、これは同じ領域内の除去された点のランダムな数に影響を与えません。1つのポアソン点過程から2つの独立したポアソン点過程をランダムに作成するこの能力は、ポアソン点過程の分割と呼ばれることがあります^{[133] [134]}。 ${\displaystyle \textstyle n}$

点過程の可算な集合が存在する場合、それらの重ね合わせ、あるいは集合論の用語で言えばそれらの和集合は^[135]${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

も点過程を形成します。言い換えれば、いずれかの点過程に位置する点は、これらの点過程の重ね合わせにも位置します。 ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$${\displaystyle \textstyle {N}}$

ポアソン点過程の重ね合わせ定理は、平均測度を持つ独立したポアソン点過程の重ね合わせもまた平均測度を持つポアソン点過程となることを述べている^{[136] [91]}${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

言い換えれば、2 つ (または可算以上) のポアソン過程の和集合は別のポアソン過程です。ポアソン過程の可算和集合から点をサンプリングした場合、その点が番目のポアソン過程に属する確率は次のように表されます。 ${\textstyle x}$${\textstyle n}$${\displaystyle \textstyle x}$${\textstyle j}$${\textstyle N_{j}}$

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.}$

強度 を持つ2つの同次ポアソン過程の場合、前の2つの式は次のように簡約される。 ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},}$

そして

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.}$

クラスタリング操作は、ある点過程の各点が別の（異なる場合もある）点過程に置き換えられるときに実行されます。元の過程がポアソン点過程である場合、結果の過程はポアソン クラスター点過程と呼ばれます。 ${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

数学モデルでは、点過程の点を基礎となる数学的空間上の他の場所にランダムに移動する必要がある場合があり、これにより、変位^{[137]または平行移動[ 138]}と呼ばれる点過程操作が発生します。ポアソン点過程は、変位定理^[137 ]により、例えば、植物の世代間の移動をモデル化するために使用されてきました。変位定理は、大まかに言えば、ポアソン点過程の点（同じ基礎空間上）のランダムな独立した変位が別のポアソン点過程を形成することを示しています。

変位定理の1つのバージョン^[137]は、強度関数 を持つ上のポアソン点過程を伴います。 の点は内のどこか別の場所にランダムに移動され、各点の変位は独立しており、 にあった点の変位は確率密度 を持つランダムベクトルであると仮定します。^[e]すると、新しい点過程も強度関数 を持つポアソン点過程になります 。${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \rho (x,\cdot )}$${\displaystyle \textstyle N_{D}}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.}$

ポアソン過程が と同次であり、が の関数である場合、 ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)=\lambda >0}$${\displaystyle \rho (x,y)}$${\displaystyle y-x}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\lambda .}$

言い換えれば、点がランダムかつ独立して移動した後でも、元のポアソン点過程は依然として存在します。

変位定理は、ポアソン点が1つのユークリッド空間から別のユークリッド空間にランダムに変位するように拡張することができる。ただし、は必ずしも に等しいとは限らない。^[18]${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d'}}$${\displaystyle \textstyle d'\geq 1}$${\displaystyle \textstyle d}$

有用であると考えられるもう一つの特性は、ポアソン点過程をある基礎空間から別の空間にマッピングする能力である。^[139]

マッピング（または変換）がいくつかの条件に従う場合、結果として得られるマッピングされた（または変換された）点の集合もポアソン点過程を形成し、この結果はマッピング定理と呼ばれることもあります。^{[139] [140]}この定理には、何らかの基礎空間上の平均測度を持つ何らかのポアソン点過程が含まれます。点の位置が何らかの関数に従って別の基礎空間にマッピングされる場合（つまり、点過程が変換される場合）、結果として得られる点過程もポアソン点過程ですが、平均測度が異なります。 ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

より具体的には、ある空間 から別の空間 へ、強度測度を持つ点過程を、新しい点過程が強度測度を持つ ようにマッピングする(ボレル測定可能な) 関数を考えることができます。${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle S}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle {N}'}$

${\displaystyle \Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))}$

原子なし、ここで はボレル集合、 関数 の逆関数を表します。 が ポアソン点過程である場合、新しい過程も強度測度 を持つポアソン点過程です。 ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}'}$${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

ポアソン過程の扱いやすさは、非ポアソン点過程をポアソン点で近似すると便利な場合があることを意味します。全体的な目的は、ある点過程の点の数と各点の位置の両方をポアソン点過程で近似することです。^[141]ランダムなイベントまたは現象の発生を適切なポアソン点過程で近似することを非公式または厳密に正当化するために使用できる方法は多数あります。より厳密な方法では、ポアソン点過程と非ポアソン点過程の間の確率メトリックの上限を導出しますが、他の方法はそれほど形式的ではないヒューリスティックによって正当化できます。^[142]

ランダムなイベントや現象をポアソン過程で近似する方法の 1 つに、クランピング ヒューリスティックと呼ばれるものがあります。^[143] 一般的なヒューリスティックまたは原理では、ポアソン点過程 (またはポアソン分布) を使用して、ある確率過程のまれまたは起こりそうにないと考えられるイベントを近似します。場合によっては、これらのまれなイベントは独立に近いため、ポアソン点過程を使用できます。イベントが独立しておらず、クラスターまたは塊で発生する傾向がある場合、これらの塊が互いにほぼ独立するように適切に定義されると、発生する塊の数はポアソン ランダム変数に近くなり^[142]、塊の位置はポアソン過程に近くなります。^[143]

スタイン法は、もともとガウス変数やポアソン変数などのランダム変数を近似するために開発された数学的手法であり、点過程にも適用されています。スタイン法は、確率測定基準の上限を導出するために使用でき、これにより、2つの異なるランダムな数学的オブジェクトが確率的にどのように変化するかを定量化することができます。^{[141] [144]}総変動やワッサーシュタイン距離などの確率測定基準の上限が導出されています。^[141]

研究者はスタインの方法をさまざまな方法でポアソン点過程に適用してきました。 ^{[141]例えば}パーム計算の使用などです。^{[110]スタインの方法に基づく技術は、細線化や重ね合わせなどの特定の}点過程操作の影響を上限に考慮するために開発されました。^{[145] [146]スタインの方法は、ポアソン過程や、ランダムな強度測定を伴うポアソン過程である}コックス点過程などの他の過程の測定基準の上限を導出するためにも使用されています。^[141]

一般的に、一般点過程に演算を適用した場合、結果として得られる過程は通常ポアソン点過程ではない。例えば、ポアソン以外の点過程の点がランダムかつ独立して変位する場合、その過程は必ずしもポアソン点過程ではない。しかし、元の点過程とランダム変位の両方について特定の数学的条件下では、点過程の点がランダムかつ独立して繰り返し変位する場合、点過程の有限分布はポアソン点過程の有限分布に（弱く）収束することが極限定理によって示されている。^[147]

同様の収束結果は、間引き操作と重ね合わせ操作についても得られており^[147]、点過程に対するこのような繰り返し操作は、特定の条件下では、強度測度の適切な再スケーリングを条件として、その過程をポアソン点過程に収束させることが示されています (そうでない場合、結果として得られる点過程の強度測度の値はゼロまたは無限大に近づきます)。このような収束作業は、パーム–ヒンチン^{[f]方程式として知られる結果に直接関係しており、これは}コニー・パームとアレクサンドル・ヒンチン^[148]の研究に由来しており、ポアソン過程がさまざまなランダム現象の数学的モデルとしてよく使用される理由を説明するのに役立ちます。^[147]

ポアソン点過程は、例えばその強度尺度を変更したり、より一般的な数学的空間で定義したりすることで一般化できます。これらの一般化は数学的に研究できるだけでなく、物理現象を数学的にモデル化または表現するためにも使用できます。

ポアソン型ランダム測度(PT) は、部分空間への制限の下で閉じている、つまり点過程演算#間引きの下で閉じている 3 つのランダム計数測度の族です。これらのランダム測度は混合二項過程の例であり、ポアソンランダム測度の分布自己相似性特性を共有しています。これらは、この特性を持つ分布の標準的な非負冪級数族のメンバーのみであり、ポアソン分布、負の二項分布、二項分布が含まれます。ポアソンランダム測度は分離した部分空間に依存しませんが、他の PT ランダム測度 (負の二項分布と二項分布) は正と負の共分散を持ちます。PT ランダム測度は^{[149]で説明されており、}ポアソンランダム測度、負の二項ランダム測度、二項ランダム測度 が含まれます。

数学モデルでは、ポアソン点過程はユークリッド空間で定義されることが多いが^{[1] [38]}、より抽象的な空間に一般化されており、確率論、測度論、位相幾何学などの数学分野の理解を必要とするランダム測度の研究において基本的な役割を果たしている^{[150] [151]}。^[152]

一般的に、距離の概念は応用上実用的であるが、Palm分布には位相構造が必要であるため、点過程は通常、計量を持つ数学的空間上で定義される。^[153]さらに、点過程の実現は計数測度と見なすことができるため、点過程はランダム計数測度として知られるランダム測度の一種である。^[117]この文脈では、ポアソン過程やその他の点過程は、局所的にコンパクトな第2可算ハウスドルフ空間上で研究されてきた。^[154]

コックス点過程、コックス過程、または二重確率ポアソン過程は、その強度測度もランダムで基礎となるポアソン過程から独立させることによってポアソン点過程を一般化したものである。この過程は1955年にこれを導入したデイビッド・コックスにちなんで名付けられたが、ランダムな強度を持つ他のポアソン過程は、それ以前にルシアン・ル・カムとモーリス・クヌイユによって独立に導入されていた。^[3]強度測度は、ランダム変数またはランダム場を実現したものである可能性がある。たとえば、強度測度の対数がガウスランダム場である場合、結果として得られる過程は対数ガウスコックス過程と呼ばれる。^[155]より一般的には、強度測度は非負の局所有限ランダム測度の実現である。コックス点過程は点のクラスタリングを示し、数学的にはポアソン点過程よりも大きいことが示される。コックス過程の一般性と扱いやすさにより、空間統計^{[156]や無線ネットワーク[19]}などの分野でモデルとして利用されています。${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

与えられた点過程において、点過程の各ランダム点には、ランダムに割り当てられたマークと呼ばれるランダムな数学的オブジェクトが存在する。これらのマークは、整数、実数、線、幾何学的オブジェクト、その他の点過程など、多種多様である。 ^{[157] [158]}点過程の点とその対応するマークのペアはマーク点と呼ばれ、すべてのマーク点はマーク点過程を形成する。^[159]ランダムマークは互いに独立しており、同一に分布していると想定されることが多いが、点のマークは、対応する点の基になる（状態）空間内の位置に依存する場合がある。^{[160]基になる点過程がポアソン点過程である場合、結果として得られる点過程は}マーク付きポアソン点過程である。^[161]

一般点過程がある数学的空間上で定義され、ランダムマークが別の数学的空間上で定義されている場合、マークされた点過程はこれら2つの空間の直積上で定義されます。独立かつ同一に分布するマークを持つマークされたポアソン点過程の場合、マーキング定理^{[160] [162]}は、このマークされた点過程は前述の2つの数学的空間の直積上で定義された（マークされていない）ポアソン点過程でもあると述べていますが、これは一般点過程には当てはまりません。

複合ポアソン点過程または複合ポアソン過程は、ある基礎空間上で定義されたポアソン点過程の各点にランダムな値または重みを追加することによって形成されるため、この過程はマークされたポアソン点過程から構築され、マークは独立した同一分布の非負ランダム変数の集合を形成します。言い換えれば、元のポアソン過程の各点には、独立した同一分布の非負ランダム変数があり、複合ポアソン過程は、基礎となる数学的空間のある領域にあるポアソン過程の点に対応するすべてのランダム変数の合計から形成されます。^[163]

ポアソン点過程（例えば、 上で定義される）と、独立かつ同一に分布する非負のマークの集合から形成されるマーク付きポアソン点過程があり、ポアソン過程の各点に対して非負のランダム変数 が存在する場合、結果として得られる複合ポアソン過程は次のようになる。^[164]${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle M_{i}}$

${\displaystyle C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},}$

ここで はボレル可測集合です。 ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

一般的なランダム変数が、例えば次元ユークリッド空間で値を取る場合、結果として生じる複合ポアソン過程は、非負数上で定義された同次点過程から形成される限り、レヴィ過程の例となる。^[165]${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$

指数平滑化強度関数を用いた故障過程（FP-ESI）は、非同次ポアソン過程の拡張である。FP-ESIの強度関数は、イベント発生の最終時点での強度関数の指数平滑化関数であり、モデルを使用してデータセットを適合させた場合、8つの実際の故障データセットで他の9つの確率過程よりも優れた性能を示した。^{[166]ここで、モデルのパフォーマンスはAIC（}赤池情報量基準）とBIC（ベイズ情報量基準）で測定される。

• ブールモデル（確率論）
• 連続体浸透理論
• 複合ポアソン過程
• コックス法
• ポイントプロセス
• 確率幾何学
• 無線ネットワークの確率幾何学モデル
• マルコフ到着過程

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 October 2006). Stochastic Geometry: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004. Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, D. R.; Isham, Valerie (1980). Point Processes. Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2003). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods. Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Poisson processes. Clarendon Press. ISBN 978-0198536932.
• Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes. CRC Press. ISBN 978-1584882657.
• Ross, S. M. (1996). Stochastic Processes. Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, D. L.; Miller, M. I. (1991). Random Point Processes in Time and Space. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S.; Mecke, Joseph (1995). Stochastic geometry and its applications. Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing. Springer Science& Business Media. ISBN 978-1441969224.
• H. C. Tijms (18 April 2003). A First Course in Stochastic Models. John Wiley & Sons. pp. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

• Stirzaker, David (2000). "Advice to hedgehogs, or, constants can vary". The Mathematical Gazette.
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "What happened to discrete chaos, the Quenouille process, and the sharp Markov property? Some history of stochastic point processes". International Statistical Review.