アーラン分布

アーラン分布は、サポートを持つ連続確率分布の2パラメータ族である。${\displaystyle x\in [0,\infty )}$2つのパラメータは以下のとおりです。

• 正の整数${\displaystyle k,}$「形」と
• 正の実数${\displaystyle \lambda ,}$「率」。「規模」、${\displaystyle \beta ,}$レートの逆数が代わりに使われることもある。

アーラン分布は、${\displaystyle k}$ 平均値が独立した指数変数${\displaystyle 1/\lambda }$それぞれ。言い換えれば、これは、発生率が のポアソン過程のk番目のイベントまでの時間の分布です。${\displaystyle \lambda }$アーラン分布とポアソン分布は相補的であり、ポアソン分布は一定時間内に発生する事象の数を数えるのに対し、アーラン分布は一定数の事象が発生するまでの時間を数えます。${\displaystyle k=1}$分布は指数分布に単純化されます。アーラン分布は、分布の形状が離散化されたガンマ分布の特殊なケースです。

アーラン分布は、AKアーランによって、交換局のオペレーターに同時に発信される可能性のある電話件数を分析するために開発されました。この電話トラフィック工学に関する研究は、一般的に待ち行列システムにおける待ち時間を考慮するために拡張されました。この分布は、確率過程の分野でも使用されています。

アーラン分布乱数は一様分布乱数から生成できます（${\displaystyle U\in [0,1]}$）以下の式を用いて：^{[ 6 ]}

${\displaystyle E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}}$

• もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$それから${\displaystyle a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}$と${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}$そして${\displaystyle Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}$それから${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$もし${\displaystyle X,Y}$独立している

• アーラン分布は、それぞれ指数分布に従うk 個の独立同分布の確率変数の和の分布です。イベントが発生する長期的なレートは、期待値の逆数です。${\displaystyle X,}$つまり、${\displaystyle \lambda /k.}$アーラン分布の（年齢別イベント）発生率は、${\displaystyle k>1,}$単調${\displaystyle x,}$0から増加${\displaystyle x=0,}$に${\displaystyle \lambda }$として${\displaystyle x}$無限大に近づく。^{[ 13 ]}
  • つまり、もし${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$それから$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$$
• PDFとCDFの分母に階乗関数が含まれているため、アーラン分布はパラメータkが正の整数の場合にのみ定義されます。実際、この分布はアーラン-k分布と呼ばれることもあります（例えば、アーラン-2分布は、${\displaystyle k=2}$ガンマ分布は、階乗関数の代わりに ガンマ関数を使用することで、 k を任意の正の実数にすることで、アーラン分布を一般化したものです。
  • つまり、k が整数で、${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}$それから${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• もし${\displaystyle U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )}$そして${\displaystyle V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$それから${\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
• アーラン分布はピアソンIII型分布の特殊なケースである。
• アーラン分布はカイ二乗分布と関連しています。${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),}$それから${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}$
• アーラン分布はポアソン過程によってポアソン分布と関連付けられます。${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$そのため${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$それから$${\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$$そして$${\displaystyle \operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$$違いを考慮に入れる${\displaystyle n}$ポアソン分布を与える。

• コクシアン分布
• エンジンセット計算
• アーランBの式
• アーラン単位
• 位相型分布
• トラフィック生成モデル

• イアン・アンガス著「アーランBとアーランC入門」、テレマネジメント誌第187号（PDF文書 - 用語と数式、略歴を掲載）
• スチュアート・ハリス「アーラン計算とシミュレーションの比較」

• アーラン分布
• Erlang-BとErlang-Cを用いたリソースのサイジング