混合ポアソン分布

混合ポアソン分布

表記	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )}$
パラメータ	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$
サポート	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$
ＰＭＦ	${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }$
平均	${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
分散	${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi })^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d \ラムダ }$
歪度	${\displaystyle {\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }[(\lambda -\mu _{\pi })^{3}+3(\lambda -\mu _{\pi })^{2}]\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}}$
MGF の	${\displaystyle M_{\pi }(e^{t}-1)}$、MGFはπ${\displaystyle M_{\pi}}$
CF	${\displaystyle M_{\pi }(e^{it}-1)}$
PGF	${\displaystyle M_{\pi }(z-1)}$

混合ポアソン分布は、確率論における単変量離散確率分布である。これは、確率パラメータの値が与えられた場合のランダム変数の条件付き分布がポアソン分布であり、確率パラメータ自体がランダム変数であると仮定することによって得られる。したがって、これは複合確率分布の特殊なケースである。混合ポアソン分布は、保険数理において請求件数の分布に対する一般的なアプローチとして見られ、疫学モデルとしても検討されている。^[1]複合ポアソン分布や複合ポアソン過程と混同しないようにする必要がある。^[2]

確率変数 Xが密度π ( λ )の混合ポアソン分布を満たすのは、確率分布^{[3]に従うときである。}

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\, \,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$

ポアソン分布の確率をqλ ( k ) と表すと_、

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \ラムダ .}$

• 分散は常に期待値よりも大きくなります。この特性は過剰分散と呼ばれます。これは平均と分散が同じであるポアソン分布とは対照的です。
• 実際には、ガンマ分布、対数正規分布、逆ガウス分布の密度のみが密度π ( λ )としてほとんど使用されます。ガンマ分布の密度を選択すると、負の二項分布が得られるため、これはポアソンガンマ分布とも呼ばれます。

以下では、を密度の期待値、 を密度の分散とします。 ${\displaystyle \mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$${\displaystyle \pi (\lambda )\,}$${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$

混合ポアソン分布の 期待値は

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.}$

分散については[ 3 ^]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.}$

歪度は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.}$

特性関数は次の式で表される。

${\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,}$

密度の モーメント生成関数はどこですか。${\displaystyle M_{\pi }}$

確率生成関数については、^[3]

${\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,}$

混合ポアソン分布の モーメント生成関数は

${\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,}$

• Jan Grandell:混合ポアソン過程。Chapman & Hall、ロンドン、1997年、ISBN 0-412-78700-8。
• トム・ブリトン：推論を伴う確率的疫病モデル。Springer、2019、doi：10.1007/978-3-030-30900-8