確率質量関数

確率と統計学において、確率質量関数（確率関数または頻度関数^{[ 1 ]}とも呼ばれる）は、離散確率変数が特定の値と完全に一致する確率を与える関数である^{[ 2 ]} 。離散確率密度関数 とも呼ばれる。確率質量関数は、離散確率分布を定義する主要な手段となることが多く、定義域が離散であるスカラーまたは多変量確率変数に対してこのような関数が存在する。

確率質量関数は、連続確率密度関数（PDF）とは異なり、後者は離散的な確率変数ではなく連続的な確率変数に関連付けられています。連続PDFは、確率を得るために区間で積分する必要があります。 ^{[ 3 ]}

確率質量が最大となる確率変数の値を最頻値と呼ぶ。

確率質量関数は離散確率変数の確率分布であり 、可能な値とその関連確率を提供する。これは関数である。${\displaystyle p:\mathbb {R} \to [0,1]}$定義される

のために${\displaystyle -\infty <x<\infty }$[ ^{3 ]}ここ^で${\displaystyle P}$は確率尺度です。${\displaystyle p_{X}(x)}$また、以下のように簡略化することもできます。${\displaystyle p(x)}$[ ^{4 ]​}

すべての（仮説的な）値に関連付けられた確率は非負で、合計は1になる必要があります。

$$\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}$$そして$${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0.}$$

確率を質量として考えると、物理的な質量が保存されるのと同様に、あらゆる仮説的な結果に対する総確率も保存されるため、間違いを避けるのに役立ちます。${\displaystyle x}$。

離散確率変数の確率質量関数${\displaystyle X}$は、より一般的な 2 つの測度論的構成の特殊なケースと見なすことができる。${\displaystyle X}$そして確率密度関数は${\displaystyle X}$計数尺度に関して。以下でより詳しく説明します。

仮に${\displaystyle (A,{\mathcal {A}},P)}$は確率空間 であり、${\displaystyle (B,{\mathcal {B}})}$は、基礎となるσ代数が離散的な可測空間であり、特に、 の単一集合を含む。${\displaystyle B}$この設定では、ランダム変数${\displaystyle X\colon A\to B}$その像が可算である場合、離散的である。プッシュフォワード尺度${\displaystyle X_{*}(P)}$—分布と呼ばれる${\displaystyle X}$この文脈では、確率尺度は${\displaystyle B}$単一要素集合への制限により、確率質量関数が誘導される（前節で述べたとおり）。$\displaystyle f_{X}\colon B\to \mathbb {R} }$以来${\displaystyle f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)}$各${\displaystyle b\in B}$。

さて、${\displaystyle (B,{\mathcal {B}},\mu )}$計数尺度を備えた測定空間${\displaystyle \mu }$確率密度関数${\displaystyle f}$の${\displaystyle X}$計数尺度に関して、それが存在する場合、プッシュフォワード尺度のラドン・ニコディム微分は、${\displaystyle X}$（計数尺度に関して）したがって${\displaystyle f=dX_{*}P/d\mu }$そして${\displaystyle f}$は関数です${\displaystyle B}$非負の実数に対して。結果と​​して、任意の${\displaystyle b\in B}$我々は持っています $${\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}fd\mu =f(b),}$$

実証する${\displaystyle f}$これは実際には確率質量関数である。

潜在的な結果の間に自然な順序がある場合${\displaystyle x}$それらに数値（離散多変量確率変数の場合はnタプル）を割り当て、のイメージにない値も考慮すると便利かもしれません。${\displaystyle X}$つまり、${\displaystyle f_{X}}$すべての実数に対して定義することができ、${\displaystyle f_{X}(x)=0}$すべての人々のために${\displaystyle x\notin X(S)}$図に示すように。

イメージ${\displaystyle X}$確率質量関数が${\displaystyle f_{X}(x)}$は 1 である。したがって、確率質量関数は、 の可算個の値を除いてすべてゼロである。${\displaystyle x}$。

確率質量関数の不連続性は、離散確率変数の累積分布関数も不連続であるという事実と関連している。${\displaystyle X}$は離散確率変数である。${\displaystyle P(X=x)=1}$カジュアルなイベント${\displaystyle (X=x)}$確実である（100％の事例で真実である）。逆に、${\displaystyle P(X=x)=0}$カジュアルなイベント${\displaystyle (X=x)}$常に不可能である。この記述は連続確率変数には当てはまらない。${\displaystyle X}$そのために${\displaystyle P(X=x)=0}$あらゆる可能性に対して${\displaystyle x}$離散化とは、連続的な確率変数を離散的な確率変数に変換するプロセスである。

2つ以上の離散確率変数は、結合確率質量関数を持ち、これは確率変数の実現値のあらゆる組み合わせの確率を表します。

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. (1993).単変量離散分布（第2 版）. Wiley. p.  36. ISBN 0-471-54897-9。