安定したカウント分布

安定したカウント

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \alpha}$∈ (0, 1) — 安定性パラメータ∈ (0, ∞) —スケールパラメータ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \nu_{0}}$∈ (−∞, ∞) —位置パラメータ
サポート	x ∈ Rかつx ∈ [ , ∞)${\displaystyle \nu_{0}}$
PDF	${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }} +1)}}{\frac {1}{x-\nu _{0}}}L_{\alpha }({\frac {\theta }{x-\nu _{0}}})}$
ドイツ連邦共和国	積分形式が存在する
平均	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}}$
中央値	分析的に表現できない
モード	分析的に表現できない
分散	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}}$
歪度	未定
過剰尖度	未定
MGF の	フォックス・ライトの表現が存在する

確率論において、安定カウント分布は片側安定分布の共役事前分布である。この分布は、スティーブン・リン（中国語：藺鴻圖）が2017年にS&P 500とVIXの日次分布に関する研究で発見した。^[1]安定分布族は、それを研究した最初の数学者であるポール・レヴィにちなんで、レヴィアルファ安定分布と呼ばれることもある。 ^[2]

分布を定義する3つのパラメータのうち、安定性パラメータが最も重要です。安定したカウント分布は です。の既知の解析的なケースは、VIX分布に関連しています（ ^[1]のセクション7を参照）。 分布のすべてのモーメントは有限です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle \alpha =1/2}$

その標準分布は次のように定義される。

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),}$

どこで そして${\displaystyle \nu >0}$${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

その位置スケール族は次のように定義される。

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),}$

ここで 、、、および${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$${\displaystyle \theta >0}$${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

上記の式において、は片側安定分布であり 、^[3]は以下のように定義される。 ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

を標準安定確率変数とし、その分布が で特徴付けられるとすると、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{1/\alpha },0),}$

どこ。 ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

となるレヴィ和を考えると、 となる密度がとなります。 とすると、正規化定数なしで となります。${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$${\displaystyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y}$${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

この分布が「安定カウント」と呼ばれる理由は、関係 から理解できます。 はレヴィ和の「カウント」であることに注意してください。 が固定されている場合、この分布は 1 単位の距離を移動するためのステップを実行する確率を与えます。 ${\displaystyle \nu =N^{1/\alpha }}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle N}$

およびの積分形式に基づいて、 の積分形式は次のように なる。${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\cos({\frac {t}{\nu }})\cos({\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt.\\\end{aligned}}}$

上記の二重正弦積分に基づいて、標準 CDF の積分形式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\alpha }(x)&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt\,d\nu \\&=1-{\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,{\text{Si}}({\frac {t}{x}})\,dt,\\\end{aligned}}}$

ここで、は正弦積分関数です。 ${\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

「級数表現」では、安定したカウント分布がライト関数の特殊なケースであることが示されています（ ^[4]の第4節を参照）。

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}}.}$

これによりハンケル積分が得られる。（^[5]の(1.4.3)に基づく）

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{Ha}e^{t-(\nu t)^{\alpha }}\,dt,\,}$ここで、Ha はハンケル輪郭を表します。

安定カウント分布を導くもう一つのアプローチは、片側安定分布のラプラス変換を使用することである（^[1]のセクション2.4 ）。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)\,dx=e^{-z^{\alpha }},}$どこ 。${\displaystyle 0<\alpha <1}$

とすると、左辺の積分を標準ラプラス分布と標準安定カウント分布 の積分布として分解することができる。${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right)\left({\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )\,d\nu ,}$

どこ 。 ${\displaystyle z\in {\mathsf {R}}}$

これは「ラムダ分解」と呼ばれます（^[1]のセクション4を参照）。これは、LHSがLihnの以前の研究で「対称ラムダ分布」と名付けられていたためです。ただし、これには「指数べき分布」や「一般化誤差/正規分布」など、より一般的な名前がいくつかあり、多くの場合、次のように呼ばれます 。信頼性工学におけるワイブル生存関数でもあります。 ${\displaystyle \alpha >1}$

ラムダ分解は、安定法則に基づく Lihn の資産収益フレームワークの基礎です。LHS は資産収益の分布です。RHS では、ラプラス分布はレプクルトティック ノイズを表し、安定カウント分布はボラティリティを表します。

安定カウント分布の変形は安定ボリューム分布 と呼ばれる。 のラプラス変換は、のガウス混合で再表現できる（^[4]の第6節を参照）。これは、上記のラムダ分解から、次のように変数を変更することによって導かれる。 ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$${\displaystyle e^{-|z|^{\alpha }}}$${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-(z^{2})^{\alpha /2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\alpha }(s)\,ds,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\alpha }(s)&=\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\frac {2}{\alpha }}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {\alpha }{2}}(2s^{2}),\,\,0<\alpha \leq 2\\&=\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}\left(-{({\sqrt {2}}s)}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

この変換は、と同等のガウス-ラプラス変換を一般化するため、一般化ガウス変換と呼ばれます。 ${\displaystyle V_{1}(s)=2{\sqrt {2\pi }}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(2s^{2})=s\,e^{-s^{2}/2}}$

ガンマ分布とポアソン分布の形状パラメータは、レヴィの安定性パラメータの逆関数と関連している。上側正規化ガンマ関数は、次のように 不完全積分として表すことができる。${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle Q(s,x)}$${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\displaystyle \int _{z}^{\infty }e^{-{u^{\alpha }}}\,du.}$$

分解に 置き換えて積分を 1 回実行すると、次のようになります。${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })=\displaystyle \int _{z}^{\infty }\,du\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left(e^{-u/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(e^{-z/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu .}$$

に戻ると、安定カウントによる の分解に到達します。${\displaystyle ({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })}$${\displaystyle (s,x)}$${\displaystyle Q(s,x)}$

$${\displaystyle Q(s,x)=\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu .\,\,(s>1)}$$

を微分すると、目的の式が得られます。 ${\displaystyle Q(s,x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (s)}}x^{s-1}e^{-x}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[s\,x^{s-1}e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\,\,\,(\nu =t^{s})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};s\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

これは積分布の形をしています。右辺の項は、形状 のワイブル分布に関連付けられています。したがって、この式は、安定カウント分布をガンマ分布の確率密度関数 (ここでは) とポアソン分布の確率質量関数 (ここでは、) に結び付けます。また、形状パラメータは、レヴィの安定性パラメータ の逆数と見なすことができます。 ${\displaystyle \left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\rightarrow s+1}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 1/\alpha }$

カイ分布とカイ二乗分布の自由度はと関係があることがわかります。したがって、ラムダ分解で を整数インデックスとして 見るという当初の考え方はここで正当化されます。${\displaystyle k}$${\displaystyle 2/\alpha }$${\displaystyle \lambda =2/\alpha }$

カイ二乗分布の場合、カイ二乗分布はガンマ分布の特殊なケースであるため、は簡単です。また、上記から、ガンマ分布の形状パラメータは です。 ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {k}{2}},\theta =2\right)}$${\displaystyle 1/\alpha }$

カイ分布の場合、まずCDFから始めます。ここで です 。で微分すると、その密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$${\displaystyle P(s,x)=1-Q(s,x)}$${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{k}(x)={\frac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,x^{k-1}e^{\left(-2^{-{\frac {k}{2}}}\,{x^{k}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[k\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{k-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{k}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt,\,\,\,(\nu =2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};k\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

この式は、用語を通じてと接続します。 ${\displaystyle 2/k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\cdot \right)}$

一般化ガンマ分布は、 2 つの形状パラメータを持つ確率分布であり、ガンマ分布、ワイブル分布、指数分布、および半正規分布のスーパーセットです。その CDF は の形になります。(注:一貫性を保ち、 との混同を避けるために、 の代わりにを使用します。)を で微分すると、積分布の式が得られます。 ${\displaystyle P(s,x^{c})=1-Q(s,x^{c})}$${\displaystyle s}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P(s,x^{c})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{GenGamma}}(x;s,c)&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};sc\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(t^{sc}\right)\,sc\,t^{sc-1}\right]\,dt\,\,(s\geq 1)\end{aligned}}}$

ここで、 は一般化ガンマ分布の PDF を表し、その CDF は としてパラメータ化されます。この式は、項 を介してと接続されます。項 は、形状パラメータ空間における 2 番目の自由度を表す指数です。 ${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;s,c)}$${\displaystyle P(s,x^{c})}$${\displaystyle 1/s}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\cdot \right)}$${\displaystyle sc}$

この式は、ワイブル分布の場合、 に対しては1 でなければならないため特異です。しかし、が存在するためには、は 1 より大きくなければなりません。 のとき、はデルタ関数であり、この式は自明になります。ワイブル分布には、次のように独特の分解方法があります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;1,c)={\text{Weibull}}(x;c)}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\rightarrow 1}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$

CDF が であるワイブル分布の場合、その形状パラメータはレヴィの安定性パラメータ に相当します。 ${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,\,(x>0)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$

カーネルが片側ラプラス分布 またはレイリー分布のいずれかであるような、積分布の同様の表現を導くことができます。これは、ラムダ分解から得られる相補 CDF から始まります。 ${\displaystyle F(x;1,\sigma )}$ ${\displaystyle F(x;2,{\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle 1-F(x;k,1)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,(1-F(x;1,\nu ))\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,(1-F(x;2,{\sqrt {2}}s))\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

を導関数にすると、ワイブル分布PDFの積分布形が得られる。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)}$

${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\text{Laplace}}({\frac {x}{\nu }})\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{\nu }}{\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,{\text{Rayleigh}}({\frac {x}{s}})\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{s}}V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

ここで、 および です。および項から、であることは明らかです。 ${\displaystyle {\text{Laplace}}(x)=e^{-x}}$${\displaystyle {\text{Rayleigh}}(x)=xe^{-x^{2}/2}}$${\displaystyle k=\alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$${\displaystyle V_{k}(s)}$

安定分布族については、その漸近的挙動を理解することが不可欠である。^[3]から、小さい に対して、 ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow B(\alpha )\,\nu ^{\alpha },{\text{ for }}\nu \rightarrow 0{\text{ and }}B(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

これは確認されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(0)=0}$

大型の場合、 ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow \nu ^{\frac {\alpha }{2(1-\alpha )}}e^{-A(\alpha )\,\nu ^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}},{\text{ for }}\nu \rightarrow \infty {\text{ and }}A(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

これは、の尾が無限大で指数関数的に減衰することを示しています。大きいほど、減衰が強くなります。 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle \alpha }$

この裾は一般化ガンマ分布の形をしており、そのパラメータ化 では、、 、 です。したがって、これは と同等であり、その CDF は としてパラメータ化されます。 ${\displaystyle f(x;a,d,p)}$${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$${\displaystyle a=A(\alpha )^{-1/p}}$${\displaystyle d=1+{\frac {p}{2}}}$${\displaystyle {\text{GenGamma}}({\frac {x}{a}};s={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{2}},c=p)}$${\displaystyle P\left(s,\left({\frac {x}{a}}\right)^{c}\right)}$

のn次モーメントはの 次モーメントです。すべての正のモーメントは有限です。これは、ある意味で、安定分布における発散モーメントの厄介な問題を解決します。（[1]のセクション2.4を^参照） ${\displaystyle m_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle -(n+1)}$${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&=\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )d\nu ={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t^{n+1}}}L_{\alpha }(t)\,dt.\\\end{aligned}}}$

モーメントの解析解はライト関数によって得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha })\,d\nu \\&={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma (n+1)\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\\\end{aligned}}}$

ここで（ ^[5]の(1.4.28)を参照） ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{\delta }W_{-\nu ,\mu }(-r)\,dr={\frac {\Gamma (\delta +1)}{\Gamma (\nu \delta +\nu +\mu )}},\,\delta >-1,0<\nu <1,\mu >0.}$

したがって、の平均は ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle m_{1}={\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}}$

差異は

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}}$

そして、最低のモーメントは、を適用した ときです。 ${\displaystyle m_{-1}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}}$${\displaystyle \Gamma ({\frac {x}{y}})\to y\Gamma (x)}$${\displaystyle x\to 0}$

安定ボラティリティ分布のn次のモーメントは ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}(V_{\alpha })&=2^{-{\frac {n}{2}}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\end{aligned}}}$

MGF はFox-Wright 関数またはFox H 関数で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(s)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}\,s^{n}}{n!}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{}_{1}\Psi _{1}\left[({\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }});(1,1);s\right],\,\,{\text{or}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}H_{1,2}^{1,1}\left[-s{\bigl |}{\begin{matrix}(1-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})\\(0,1);(0,1)\end{matrix}}\right]\\\end{aligned}}}$

検証として、 において、(下記参照) は を介し​​てまでテイラー展開できます。 ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=(1-4s)^{-{\frac {3}{2}}}}$${\displaystyle {}_{1}\Psi _{1}\left[(2,2);(1,1);s\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (2n+2)\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}}$${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{2}}-n)={\sqrt {\pi }}{\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}}$

のとき、はレヴィ分布であり、これは逆ガンマ分布です。したがって、は形状 3/2 、スケール のシフトされたガンマ分布です。 ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle L_{1/2}(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{1/2}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-(\nu -\nu _{0})/4\theta },}$

どこ、。 ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$${\displaystyle \theta >0}$

その平均は で、標準偏差は です。これは「4次安定カウント分布」と呼ばれます。「4次」という言葉は、Lihn の以前のラムダ分布に関する研究^[6]に由来しています。この設定では、安定カウント分布の多くの側面にエレガントな解析解があります。 ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$${\displaystyle \lambda =2/\alpha =4}$

p番目の中心モーメントは です。CDF はで、は下側不完全ガンマ関数です。MGF は です。( ^[1]のセクション 3 を参照) ${\displaystyle {\frac {2\Gamma (p+3/2)}{\Gamma (3/2)}}4^{p}\theta ^{p}}$${\textstyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {3}{2}},{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}\right)}$${\displaystyle \gamma (s,x)}$${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=e^{s\nu _{0}}(1-4s\theta )^{-{\frac {3}{2}}}}$

が大きくなるにつれて、分布のピークは鋭くなります。 の特殊なケースは のときです。分布はディラックのデルタ関数のように振る舞います。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha \to 1}(\nu )\to \delta (\nu -1),}$

ここで、、および。 ${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty ,&{\text{if }}x=0\\0,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$${\displaystyle \int _{0_{-}}^{0_{+}}\delta (x)dx=1}$

同様に、安定ボラティリティ分布もデルタ関数となり、 ${\displaystyle \alpha \to 2}$

${\displaystyle V_{\alpha \to 2}(s)\to \delta (s-{\frac {1}{\sqrt {2}}}).}$

片側安定分布の級数表現に基づくと、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\sin(n\alpha \pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\\end{aligned}}}$。

このシリーズ表現には 2 つの解釈があります。

• まず、この級数の類似形式はポラード（1948）^[7]で初めて示され、「ミッタク・レフラー関数との関係」では、ミッタク・レフラー関数のラプラス変換であると述べられています。${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)={\frac {\alpha ^{2}x^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(x^{\alpha }),}$${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$
• 第二に、この級数はライト関数 の特別な場合である：（ ^[5]のセクション1.4を参照）${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{x}^{\alpha n}}{n!}}\,\sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.\\\end{aligned}}}$

証明はガンマ関数の反射公式によって得られ、これはにおける写像を許容します。ライト表現は安定カウント分布の多くの統計的特性の解析解につながり、分数計算との別のつながりを確立します。 ${\displaystyle \sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)=\pi /\Gamma (-\alpha n)}$${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =0,z=-x^{\alpha }}$${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

安定カウント分布は、VIX の日々の分布を非常によく表すことができます。VIXは、およびのように分布していると仮定されています ( ^[1]のセクション 7 を参照)。したがって、安定カウント分布は、ボラティリティ プロセスの 1 次周辺分布です。この文脈では、は「フロア ボラティリティ」と呼ばれます。実際には、VIX が 10 を下回ることはほとんどありません。この現象は、「フロア ボラティリティ」の概念を正当化します。適合のサンプルを以下に示します。 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$${\displaystyle \theta =1.6}$${\displaystyle \nu _{0}}$

に対する平均回帰SDEの1つの形式は、修正Cox-Ingersoll-Ross（CIR）モデルに基づいています。をボラティリティ過程と仮定すると、 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}={\frac {\sigma ^{2}}{8\theta }}(6\theta +\nu _{0}-S_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}-\nu _{0}}}\,dW,}$

ここで、はいわゆる「ボラティリティのボリューム」です。VIXの「ボラティリティのボリューム」はVVIXと呼ばれ、その典型的な値は約85です。^[8]${\displaystyle \sigma }$

この SDE は解析的に扱いやすく、フェラー条件を満たすため、を下回ることはありません。しかし、理論と実践の間には微妙な問題があります。VIX が を下回る確率は約 0.6% でした。これは「スピルオーバー」と呼ばれます。これに対処するには、平方根項を に置き換えます。ここで、 はをわずかに下回る小さな漏れチャネルを提供します 。 ${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle \nu _{0}}$${\displaystyle \nu _{0}}$${\displaystyle {\sqrt {\max(S_{t}-\nu _{0},\delta \nu _{0})}}}$${\displaystyle \delta \nu _{0}\approx 0.01\,\nu _{0}}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle \nu _{0}}$

VIX の値が極端に低いということは、市場が非常に満足していることを意味します。したがって、スピルオーバー状態には一定の意味があります。スピルオーバー状態が発生すると、通常、景気循環における嵐の前の静けさを示します。 ${\displaystyle S_{t}<\nu _{0}}$

上記の修正CIRモデルが示すように、安定したカウントランダム変数のシーケンスをシミュレートするには別の入力パラメータが必要です。平均回帰確率過程は、次の形式をとります。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dS_{t}=\sigma ^{2}\mu _{\alpha }\left({\frac {S_{t}}{\theta }}\right)\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}}}\,dW,}$

これは、 のように分配する を生成するはずです。は、どのくらいの速さで変化するか に関するユーザー指定の設定です。${\displaystyle \{S_{t}\}}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta )}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle S_{t}}$

フォッカー・プランク方程式を解くと、 の解は次のように表さ れる。 ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\left(x{d \over dx}+1\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}{{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[x{d \over dx}\left(\log {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)\right)+1\right]\end{array}}}$

これは2つのライト関数の比として表すこともできる。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha })}}\end{array}}}$

のとき、このプロセスは の修正 CIR モデルに簡略化されます 。これはが直線である 唯一の特殊なケースです。${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle \mu _{1/2}(x)={\frac {1}{8}}(6-x)}$${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$

同様に、漸近分布が の場合、解は以下のように表され、 ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$${\displaystyle \mu (x;V_{\alpha })}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu (x;V_{\alpha })&=&\displaystyle -{\frac {W_{-{\frac {\alpha }{2}},-1}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}{W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}}-{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

のとき、それは二次多項式に簡約されます 。 ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \mu (x;V_{1})=1-{\frac {x^{2}}{2}}}$

項と上記の項の間の厳密な関係を緩和することにより、 CIRモデルの安定した拡張は次のように構築できる。 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dr_{t}=a\,\left[{\frac {8b}{6}}\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}r_{t}\right)\right]\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW,}$

これは、 で元の CIR モデルに縮小されます。 したがって、パラメーターは平均回帰速度を制御し、位置パラメーターは平均がどこにあるかを設定し、はボラティリティ パラメーターであり、 は安定法則の形状パラメーターです。 ${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle dr_{t}=a\left(b-r_{t}\right)dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \alpha }$

フォッカー・プランク方程式 を解くと、におけるPDFの解は ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}p(x)&\propto &\displaystyle \exp \left[\int ^{x}{\frac {dx}{x}}\left(2D\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)-1\right)\right],{\text{ where }}D={\frac {4ab}{3\sigma ^{2}}}\\&=&\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)^{D}\,x^{D-1}\end{array}}}$

この解を理解するには、漸近的に大きな について考えます。の裾は依然として一般化ガンマ分布の形をしており、ここでパラメータ化では、、、および と なり ます 。 これは 、 および ので元の CIR モデルに簡約されます。したがって です 。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle f(x;a',d,p)}$${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$${\displaystyle a'={\frac {b}{6}}(D\,A(\alpha ))^{-1/p}}$${\displaystyle d=D\left(1+{\frac {p}{2}}\right)}$${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle p(x)\propto x^{d-1}e^{-x/a'}}$${\displaystyle d={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{4}}}$${\displaystyle {\frac {1}{a'}}={\frac {6}{b}}\left({\frac {D}{4}}\right)={\frac {2a}{\sigma ^{2}}}}$

^[9]の第4節によれば、ミッタク・レフラー関数の逆ラプラス変換は （） である。${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\mathcal {L}}^{-1}\{E_{\alpha }(-x)\}(k)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }E_{2\alpha }(-t^{2})\cos(kt)\,dt.}$

一方、ポラード（1948）は次のような関係を示した。^[7]

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {1}{k^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {1}{k^{1/\alpha }}}\right).}$

したがって、安定カウント分布とミッタク・レフター関数の関係は次のようになります。 ${\displaystyle k=\nu ^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha ^{2}\nu ^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(\nu ^{\alpha }).}$

この関係は、および のところで簡単に検証できます。これにより、よく知られている 4 次安定カウントの結果が導かれます。 ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}(k)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-k^{2}/4}}$${\displaystyle k^{2}=\nu }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu )={\frac {\nu ^{1/2}}{4\,\Gamma (2)}}\times {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-\nu /4}={\frac {1}{4\,{\sqrt {\pi }}}}\nu ^{1/2}\,e^{-\nu /4}.}$

通常のフォッカー・プランク方程式(FPE) は で 、はフォッカー・プランク空間演算子、は拡散係数、は温度、は外部場です。時間分数 FPE は、となる追加の分数導関数を導入します。ここで、は分数拡散係数です。 ${\displaystyle {\frac {\partial P_{1}(x,t)}{\partial t}}=K_{1}\,{\tilde {L}}_{FP}P_{1}(x,t)}$${\displaystyle {\tilde {L}}_{FP}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {F(x)}{T}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle \,_{0}D_{t}^{1-\alpha }}$${\displaystyle {\frac {\partial P_{\alpha }(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\,_{0}D_{t}^{1-\alpha }{\tilde {L}}_{FP}P_{\alpha }(x,t)}$${\displaystyle K_{\alpha }}$

とすると、時間分数FPEのカーネルが得られる（^[10]の式（16） ）。 ${\displaystyle k=s/t^{\alpha }}$${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$

${\displaystyle n(s,t)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {t}{s^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {t}{s^{1/\alpha }}}\right)}$

そこから分数密度は通常の解から次のように 計算できる。${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)}$${\displaystyle P_{1}(x,t)}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\int _{0}^{\infty }n\left({\frac {s}{K}},t\right)\,P_{1}(x,s)\,ds,{\text{ where }}K={\frac {K_{\alpha }}{K_{1}}}.}$

変数 の変更により、上記の積分は との積分布となり、「ラムダ分解」の概念に似ており、時間のスケーリングは次のようになります。 ${\displaystyle n({\frac {s}{K}},t)\,ds=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right){\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,d\nu }$${\displaystyle \nu t=s^{1/\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle t\Rightarrow (\nu t)^{\alpha }}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,P_{1}(x,(\nu t)^{\alpha })\,d\nu .}$

ここで は、異常拡散 を引き起こす不純物の分布を の単位で表したものとして解釈されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })}$${\displaystyle K^{1/\alpha }}$

• レヴィ飛行
• レヴィ過程
• 分数計算
• 異常拡散
• 不完全ガンマ関数とガンマ分布
• ポアソン分布

• Rパッケージ「stabledist」は、Diethelm Wuertz、Martin Maechler、および Rmetrics コア チーム メンバーによって作成されました。安定密度、確率、分位数、および乱数を計算します。2016 年 9 月 12 日に更新されました。