自由な独立

自由確率の数学的理論において、自由独立性の概念はダン・ヴォイクレスクによって導入された。^[1]自由独立性の定義は、測度空間の直積（その関数代数のテンソル積に対応）の役割が、（非可換な）確率空間の 自由積の概念によって果たされることを除いて、独立性の古典的な定義と平行している。

ヴォイクレスクの自由確率論の文脈では、多くの古典的な確率定理や現象には自由確率の類似物があります。つまり、古典的な独立性の概念を自由独立性に置き換えても、同じ定理や現象が（おそらく若干の修正を加えて）成立します。この例としては、自由中心極限定理、自由畳み込みの概念、自由確率計算の存在などがあります。

を非可換確率空間、すなわち単位線形関数を備えた上の単位代数とする。例として、確率測度 に対して、 ${\displaystyle (A,\phi )}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle A=L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mu ),\phi (f)=\int f(t)\,d\mu (t).}$

別の例としては、正規化されたトレース によって関数が与えられる行列の代数 が挙げられます。さらに一般的には、フォン ノイマン代数と上の状態が考えられます。最後の例は、群トレース によって関数が与えられる(離散)群の群代数です。 ${\displaystyle A=M_{N}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \phi ={\frac {1}{N}}Tr}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbb {C} \Gamma }$ ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e},g\in \Gamma }$

を の単位部分代数の族とします。 ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle A}$

定義、および の ときはいつでも 、族は自由に独立していると 呼ばれます。 ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle \phi (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=0}$${\displaystyle \phi (x_{j})=0}$${\displaystyle x_{j}\in A_{i(j)}}$${\displaystyle i(1)\neq i(2),i(2)\neq i(3),\dots }$

が の元の族である場合（これらは のランダム変数と考えることができる）、および によって生成される 代数が自由独立である場合、それらは自由独立であると呼ばれます。 ${\displaystyle X_{i}\in A}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{i}}$

• を群の自由積とし、を群代数とし、を群跡とし、 と設定します。このとき、は自由に独立です。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma _{i},i\in I}$${\displaystyle A=\mathbb {C} \Gamma }$${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e}}$${\displaystyle A_{i}=\mathbb {C} \Gamma _{i}\subset A}$${\displaystyle A_{i}:i\in I}$
• を、ユニタリ群から独立にランダムに取ったユニタリランダム行列とします（ハール測度に関して）。すると、は漸近的に自由独立になります。（漸近的自由性とは、 の極限で自由性の定義が成り立つことを意味します）。${\displaystyle U_{i}(N),i=1,2}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle U_{1}(N),U_{2}(N)}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle N\to \infty }$
• より一般的には、独立したランダム行列は、特定の条件下では漸近的に自由に独立する傾向があります。

• James A. Mingo、Roland Speicher: 自由確率とランダム行列。Fields Institute Monographs、第35巻、Springer、ニューヨーク、2017年。