エルミート分布

エルミート

確率質量関数 水平軸はインデックスk、つまり発生回数です。関数はkの整数値でのみ定義されます。接続線は視覚的なガイドとしてのみ使用されます。
累積分布関数 横軸はインデックスk、つまり発生回数です。エルミート分布に従う変数は整数値のみを取るため、 CDF はkの整数部分で不連続となり、それ以外の部分では平坦になります。
表記	${\displaystyle \operatorname {Herm} (a_{1},a_{2})\,}$
パラメータ	1 ≥ 0、2 ≥ 0​
サポート	x ∈ { 0, 1, 2, ... }
ＰＭＦ	${\displaystyle x\mapsto e^{-(a_{1}+a_{2})}\sum _{j=0}^{\lfloor x/2\rfloor }{\frac {a_{1}^{x-2j}a_{2}^{j}}{(x-2j)!j!}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle x\mapsto e^{-a_{1}+a_{2}}\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }\sum _{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{\frac {a_{1}^{i-2j}a_{2}^{j}}{(i-2j)!j!}}}$
平均	${\displaystyle a_{1}+2a_{2}}$
分散	${\displaystyle a_{1}+4a_{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {a_{1}+8a_{2}}{(a_{1}+4a_{2})^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {a_{1}+16a_{2}}{(a_{1}+4a_{2})^{2}}}}$
MGF の	${\displaystyle \exp(a_{1}(e^{t}-1)+a_{2}(e^{2t}-1))\,}$
CF	${\displaystyle \exp(a_{1}(e^{ti}-1)+a_{2}(e^{2ti}-1))\,}$
PGF	${\displaystyle \exp(a_{1}(s-1)+a_{2}(s^{2}-1))\,}$

確率論と統計学において、シャルル・エルミートにちなんで名付けられたエルミート分布は、複数のパラメータを持つカウント データをモデル化するのに使用される離散確率分布です。この分布は、データ内の 適度な過剰分散を許容する能力の点で柔軟性があります。

ケンプとケンプ^{[1]は、その}確率関数とモーメント生成関数が（修正）エルミート多項式の係数で表現できること から、これを「エルミート分布」と呼んでいます。

この分布は、 1926年にアンダーソン・グレイ・マッケンドリックが書いた論文「医学的問題への数学の応用^」[2]で初めて登場しました。この論文で著者は医学研究に適用できるいくつかの数学的手法を説明しています。この手法の1つで、著者は2変量ポアソン分布を考慮し、相関する2つのポアソン変数の合計の分布が、後にエルミート分布として知られる分布に従うことを示しました。

実用的な応用として、マッケンドリックは白血球中の細菌数の分布を考慮しました。彼はモーメント法を使用してデータをエルミート分布に当てはめ、そのモデルがポアソン分布に当てはめるよりも満足のいくものであることを発見しました。

この分布は、1965年にCD KempとAdrienne W. Kempによって、著書「Some Properties of 'Hermite' Distribution」で正式に導入され、出版されました。この研究は、この分布のプロパティ、たとえば、パラメータとその最大尤度推定量(MLE)の必要条件、確率生成関数(PGF)の分析、およびそれを(修正) Hermite多項式の係数で表現する方法に焦点を当てています。この出版物で使用されている例は、McKendrickを使用した白血球内の細菌数の分布ですが、KempとKempは最大尤度法を使用してモデルを推定しています。

エルミート分布は、 2つのパラメータのみを持つ離散複合ポアソン分布の特殊なケースである。 ^{[3] [4]}

同じ著者らは1966年に論文「エルミート分布の別の導出」を発表しました。^{[5]この研究では、}ポアソン分布と正規分布を組み合わせることでエルミート分布を正式に得ることができることが確立されました。

1971年、YCパテル^[6]は 博士論文の中で、エルミート分布のさまざまな推定手順の比較研究を行いました。これには、最大尤度、モーメント推定量、平均およびゼロ頻度推定量、偶数点法などが含まれていました。

1974年にグプタとジェイン^[7]は エルミート分布の一般化形式に関する研究を行った。

X ₁とX _{2 をパラメータ}a ₁とa ₂を持つ2つの独立したポアソン変数とします。ランダム変数Y = X ₁ + 2 X ₂の確率分布は、パラメータa ₁とa _{2 を}持つエルミート分布であり、確率質量関数は^[8]で与えられます。

${\displaystyle p_{n}=P(Y=n)=e^{-(a_{1}+a_{2})}\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{ \frac {a_{1}^{n-2j}a_{2}^{j}}{(n-2j)!j!}}}$

どこ

• 0、1、2、…
• a ₁、a ₂ ≥ 0。
• ( n  − 2 j )! とj ! はそれぞれ( n  − 2 j ) とjの階乗です。
• ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$n /2の整数部分です  。

確率質量の確率生成関数は、 ^[8]

${\displaystyle G_{Y}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s^{n}=\exp(a_{1}(s-1)+a_{2}(s^{2}-1))}$

確率変数 Y = X ₁ + 2 X ₂がエルミート分布に従うとき、 X ₁とX _{2はパラメータ}a ₁とa _{2 を}持つ2つの独立したポアソン変数であり 、次のように書く。

${\displaystyle Y\ \sim \operatorname {Herm} (a_{1},a_{2})\,}$

確率変数Xのモーメント生成関数は、実パラメータtの関数としてe ^tの期待値として定義されます。パラメータX ₁とX ₂を持つエルミート分布の場合、モーメント生成関数が存在し、次の式に等しくなります 。

${\displaystyle M(t)=G(e^{t})=\exp(a_{1}(e^{t}-1)+a_{2}(e^{2t}-1))}$

キュムラント生成関数はモーメント生成関数の対数であり、 ^[4]に等しい。

${\displaystyle K(t)=\log(M(t))=a_{1}(e^{t}-1)+a_{2}(e^{2t}-1)}$

K ( t )の展開における( it ) ^r r !の係数を考慮すると、r -キュムラント が得られる。

${\displaystyle k_{n}=a_{1}+2^{n}a_{2}}$

したがって、平均とそれに 続く3つのモーメントは

歪度は平均を中心とした3次モーメントを標準偏差の3/2乗で割った値であり、エルミート分布の場合は^{[4]となる。}

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}^{3/2}}}={\frac {a_{1}+8a_{2}}{(a_{1}+4a_{2})^{3/2}}}}$

• 常になので、分布の質量は左側に集中します。${\displaystyle \gamma _{1}>0}$

尖度は平均を中心とした4次モーメントを分散の2乗で割ったものであり、エルミート分布の場合は^{[4]となる。}

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {a_{1}+16a_{2}+3(a_{1}+4a_{2})^{2}}{(a_{1}+4a_{2})^{2}}}={\frac {a_{1}+16a_{2}}{(a_{1}+4a_{2})^{2}}}+3}$

過剰尖度は正規分布の尖度をゼロにするための補正であり、次のようになります。

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {a_{1}+16a_{2}}{(a_{1}+4a_{2})^{2}}}}$

• 常に、分布は平均値の周りに鋭いピークを持ち、裾が太くなります。${\displaystyle \beta _{2}>3}$${\displaystyle \gamma _{2}>0}$

離散分布では、任意の実数値確率変数の特性関数は、 iが虚数単位であり、t∈Rであるときの期待値として定義されます 。 ${\displaystyle e^{itX}}$

${\displaystyle \phi (t)=E[e^{itX}]=\sum _{j=0}^{\infty }e^{ijt}P[X=j]}$

この関数は、モーメント生成関数と を介して関連している。したがって、この分布の特性関数は、^[1]${\displaystyle \phi _{x}(t)=M_{X}(it)}$

${\displaystyle \phi _{x}(t)=\exp(a_{1}(e^{it}-1)+a_{2}(e^{2it}-1))}$

累積分布関数は、^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;a_{1},a_{2})&=P(X\leq x)\\&=\exp(-(a_{1}+a_{2}))\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }\sum _{j=0}^{[i/2]}{\frac {a_{1}^{i-2j}a_{2}^{j}}{(i-2j)!j!}}\end{aligned}}}$

• この分布は任意の数のモードを持つことができます。例えば、McKendrick ^[2]のデータに適合した分布の推定パラメータは、、です。したがって、最初の5つの推定確率は0.899、0.012、0.084、0.001、0.004です。${\displaystyle {\hat {a}}_{1}=0.0135}$${\displaystyle {\hat {a}}_{2}=0.0932}$

• この分布は加算に対して閉じているか、畳み込みに対して閉じています。^[9]ポアソン分布と同様に、エルミート分布にもこの性質があります。2つのエルミート分布のランダム変数とが与えられた場合、Y = X ₁ + X ₂はエルミート分布に従います。${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Herm} (a_{1},a_{2})}$${\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {Herm} (b_{1},b_{2})}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Herm} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})}$
• この分布は中程度の過剰分散を許容するため、データがこの特性を持つ場合に使用できます。^[9]ランダム変数は、その分散が期待値より大きい場合、過剰分散を持ちます。エルミート分布では、分散係数が常に1と2の間であるため、中程度の過剰分散が許容されます。

${\displaystyle d={\frac {\operatorname {Var} (Y)}{\operatorname {E} (Y)}}={\frac {a_{1}+4a_{2}}{a_{1}+2a_{2}}}=1+{\frac {2a_{2}}{a_{1}+2a_{2}}}}$

エルミート分布の平均と分散はそれぞれ と です。したがって、次の2つの式が得られます 。${\displaystyle \mu =a_{1}+2a_{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}=a_{1}+4a_{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\bar {x}}=a_{1}+2a_{2}\\\sigma ^{2}=a_{1}+4a_{2}\end{cases}}}$

これら2つの方程式を解くと、 a ₁とa ₂のモーメント推定値とが得られます。^[6]${\displaystyle {\hat {a_{1}}}}$${\displaystyle {\hat {a_{2}}}}$

${\displaystyle {\hat {a_{1}}}=2{\bar {x}}-\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\hat {a_{2}}}={\frac {\sigma ^{2}-{\hat {x}}}{2}}}$

a ₁とa _{2 は}両方とも正なので 、推定値とは次の場合にのみ許容されます (≥ 0) 。 ${\displaystyle {\hat {a_{1}}}}$${\displaystyle {\hat {a_{2}}}}$${\displaystyle {\bar {x}}<\sigma ^{2}<2{\bar {x}}}$

サンプルX ₁ , ..., X _{m が}それぞれエルミート分布に従う独立したランダム変数であるとすると、パラメータとの値を推定したいとします。分布の平均と分散はそれぞれと であることがわかっています。これら 2 つの式を使用すると、 ${\displaystyle {\hat {a_{1}}}}$${\displaystyle {\hat {a_{2}}}}$${\displaystyle \mu =a_{1}+2a_{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}=a_{1}+4a_{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=\mu (2-d)\\[4pt]a_{2}={\dfrac {\mu (d-1)}{2}}\end{cases}}}$

確率関数はμとdでパラメータ化できる。

${\displaystyle P(X=x)=\exp \left(-\left(\mu (2-d)+{\frac {\mu (d-1)}{2}}\right)\right)\sum _{j=0}^{[x/2]}{\frac {(\mu (2-d))^{x-2j}\left({\frac {\mu (d-1)}{2}}\right)^{j}}{(x-2j)!j!}}}$

したがって対数尤度関数は、^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};\mu ,d)&=\log({\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};\mu ,d))\\&=m\mu \left(-1+{\frac {d-1}{2}}\right)+\log(\mu (2-d))\sum _{i=1}^{m}x_{i}+\sum _{i=1}^{m}\log(q_{i}(\theta ))\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle q_{i}(\theta )=\sum _{j=0}^{[x_{i}/2]}{\frac {\theta ^{j}}{(x_{i}-2j)!j!}}}$
• ${\displaystyle \theta ={\frac {d-1}{2\mu (2-d)^{2}}}}$

対数尤度関数から尤度方程式は^[9]

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}=m\left(-1+{\frac {d-1}{2}}\right)+{\frac {1}{\mu }}\sum _{i=1}^{m}x_{i}-{\frac {d-1}{2\mu ^{2}(2-d)^{2}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {q_{i}^{'}(\theta )}{q_{i}(\theta )}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial d}}=m{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\sum _{i=1}^{m}x_{i}}{2-d}}-{\frac {d}{2\mu (2-d)^{3}}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{i=1}^{m}{\frac {q_{i}^{'}(\theta )}{q_{i}(\theta )}}}$

単純な計算によれば、^[9]

• ${\displaystyle \mu ={\bar {x}}}$
• そしてdは次のように解くことで求められる。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {q_{i}^{'}({\tilde {\theta }})}{q_{i}({\tilde {\theta }})}}=m({\bar {x}}(2-d))^{2}}$

どこ${\displaystyle {\tilde {\theta }}={\frac {d-1}{2{\bar {x}}(2-d)^{2}}}}$

• 対数尤度関数はパラメータの領域で厳密に凹であることが示されます。したがって、MLE は一意です。

尤度方程式は、次の命題に示すように、常に解を持つわけではない。

命題: ^[9] X ₁ , ..., X _{m が}nを固定した一般化エルミート分布に従うとします。このとき、パラメータのMLEは、の場合にのみ成立し、は2次の経験的階乗モーメントを示します。 ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle {\tilde {d}}}$${\displaystyle m^{(2)}/{\bar {x}}^{2}>1}$${\displaystyle m^{(2)}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}(x_{i}-1)/n}$

• 注1:​​条件は経験的分散指数である${\displaystyle m^{(2)}/{\bar {x}}^{2}>1}$${\displaystyle {\tilde {d}}>1}$${\displaystyle {\tilde {d}}=\sigma ^{2}/{\bar {x}}}$
• 注2:条件が満たされない場合、パラメータのMLEはおよびとなり、つまりデータはポアソン分布を使用して近似されます。${\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {x}}}$${\displaystyle {\tilde {d}}=1}$

離散分布の通常の選択は、データセットの相対頻度をゼロにすることです。これは、想定される分布の下でのゼロの確率に等しいです。とを観察します。YC Patel (1976) の例に従うと、結果として得られる方程式のシステムは次のようになります。 ${\displaystyle f_{0}=\exp(-(a_{1}+a_{2}))}$${\displaystyle \mu =a_{1}+2a_{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\bar {x}}=a_{1}+2a_{2}\\f_{0}=\exp(-(a_{1}+a_{2}))\end{cases}}}$

のゼロ周波数と平均推定値 a ₁とa ₂を得る。 [ 6 ^]${\displaystyle {\hat {a_{1}}}}$${\displaystyle {\hat {a_{2}}}}$

${\displaystyle {\hat {a_{1}}}=-({\bar {x}}+2\log(f_{0}))}$

${\displaystyle {\hat {a_{2}}}={\bar {x}}+\log(f_{0})}$

ここで、は相対頻度ゼロ、  n  > 0 ${\displaystyle f_{0}={\frac {n_{0}}{n}}}$

0 の確率が高い分布の場合、効率が高いことがわかります。

• およびの許容値については、${\displaystyle {\hat {a_{1}}}}$${\displaystyle {\hat {a_{2}}}}$

${\displaystyle -\log \left({\frac {n_{0}}{n}}\right)<{\bar {x}}<-2\log \left({\frac {n_{0}}{n}}\right)}$

エルミート分布を使用してデータサンプルをモデル化する場合、ポアソン分布がデータに適合するのに十分かどうかを確認することが重要です。最大尤度推定値を計算するために使用されるパラメータ化された確率質量関数に従うことは、次の仮説を裏付けるために重要です。

${\displaystyle {\begin{cases}H_{0}:d=1\\H_{1}:d>1\end{cases}}}$

エルミート分布の 尤度比検定統計量[ ^9]は、

${\displaystyle W=2({\mathcal {L}}(X;{\hat {\mu }},{\hat {d}})-{\mathcal {L}}(X;{\hat {\mu }},1))}$

ここで、 は対数尤度関数です。d  = 1 はパラメータの領域の境界に属しているため、帰無仮説の下では、W は予想どおり漸近分布を持ちません。W の漸近分布は、定数 0 と の 50:50 混合であることが確立されます。この混合の α 上裾パーセント ポイントは、 の 2α 上裾パーセント ポイントと同じです。たとえば、α = 0.01、0.05、および 0.10 の場合、それぞれ 5.41189、2.70554、および 1.64237 です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}()}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

スコアの統計は、^[9]

${\displaystyle S_{2}=2m\left[{\frac {m^{(2)}-{\bar {x}}^{2}}{2{\bar {x}}}}\right]^{2}={\frac {m({\tilde {d}}-1)^{2}}{2}}}$

ここで、m は観測数です。

帰無仮説の下でのスコア検定統計量の漸近分布は分布です。スコア検定の符号付きバージョン、つまり漸近的に標準正規に従う を使用すると便利な場合があります。 ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$${\displaystyle \operatorname {sgn} (m^{(2)}-{\bar {x}}^{2}){\sqrt {S}}}$