複合ポアソン過程

複合ポアソン過程は、ジャンプを伴う連続時間確率過程である。ジャンプはポアソン過程に従ってランダムに到着し、ジャンプのサイズも指定された確率分布に従ってランダムである。正確には、速度とジャンプサイズの分布Gによってパラメータ化された複合ポアソン過程は、次式で与えられる 過程である。${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}}$

ここで、は速度 のポアソン過程の計数変数であり、は分布関数Gを持つ独立かつ同一分布の確率変数であり、また、${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$

が非負の整数値のランダム変数である場合、この複合ポアソン過程はスタッターポアソン過程として知られています。${\displaystyle D_{i}}$

複合ポアソン過程の期待値は、ワルドの方程式として知られる結果を使用して次のように計算できます。

${\displaystyle \operatorname {E} (Y(t))=\operatorname {E} (D_{1}+\cdots +D_{N(t)})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D_{1})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D)=\lambda t\operatorname {E} (D).}$

全分散の法則を同様に利用して、分散は次のように計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (Y(t))&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y(t)\mid N(t)))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (Y(t)\mid N(t)))\\[5pt]&=\operatorname {E} (N(t)\operatorname {var} (D))+\operatorname {var} (N(t)\operatorname {E} (D))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\operatorname {E} (N(t))+\operatorname {E} (D)^{2}\operatorname {var} (N(t))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\lambda t+\operatorname {E} (D)^{2}\lambda t\\[5pt]&=\lambda t(\operatorname {var} (D)+\operatorname {E} (D)^{2})\\[5pt]&=\lambda t\operatorname {E} (D^{2}).\end{aligned}}}$

最後に、全確率の法則を使用すると、モーメント生成関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \Pr(Y(t)=i)=\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (e^{sY})&=\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i)\\[5pt]&=\sum _{i}e^{si}\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(D_{1}+D_{2}+\cdots +D_{n}=i)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)M_{D}(s)^{n}\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)e^{n\ln(M_{D}(s))}\\[5pt]&=M_{N(t)}(\ln(M_{D}(s)))\\[5pt]&=e^{\lambda t\left(M_{D}(s)-1\right)}.\end{aligned}}}$

N、Y、D は上記のとおりとする。μ はDが分布する確率測度、すなわち

${\displaystyle \mu (A)=\Pr(D\in A).\,}$

δ _{0 を}質量全体をゼロとする自明な確率分布とする。すると、 Y ( t ) の確率分布は、

${\displaystyle \exp(\lambda t(\mu -\delta _{0}))\,}$

ここで、実数直線のボレル部分集合上の有限測度νの指数関数exp( ν )は次のように定義される。

${\displaystyle \exp(\nu )=\sum _{n=0}^{\infty }{\nu ^{*n} \over n!}}$

そして

${\displaystyle \nu ^{*n}=\underbrace {\nu *\cdots *\nu } _{n{\text{ factors}}}}$

は測度の畳み込みであり、級数は弱収束します。

• ポアソン過程
• ポアソン分布
• 複合ポアソン分布
• 非同次ポアソン過程
• 複合ポアソン過程のモーメント母関数に対するキャンベルの公式