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自由確率は、非可換ランダム変数を研究する数学理論である。「自由性」または自由独立性は、独立性の古典的な概念に類似しており、自由積と関連している。この理論は、作用素環の理論における重要な未解決問題である自由群因子同型性問題を解決するために、1986年頃にダン・ヴォイクレスクによって開始された。いくつかの生成元上の自由群が与えられた場合、群代数によって生成されたフォン・ノイマン代数（タイプ II 1因子）を検討することができる。同型性問題は、これらが異なる数の生成元に対して同型であるかどうかを問うものである。任意の 2 つの自由群因子が同型であるかどうかさえわかっていない。これは、 2 つの異なる非可換有限生成自由群が同じ基本理論を持つかどうかを問うタルスキの自由群問題に似ている。
その後、ランダム行列理論、組合せ論、対称群の表現、大偏差、量子情報理論などの理論 とのつながりが確立されました。自由確率は現在、活発に研究されています。
通常、ランダム変数は、C*-代数やフォン・ノイマン代数などの単位代数 Aに存在します。代数には、非可換期待値、つまり φ(1) = 1 となるような線型汎関数φ: A → Cが備えられています。単位部分代数A 1、...、A mは、各a jの期待値が 0 で、 A kに存在し、隣接する a j が同じ部分代数 A k から来ず、nが0以外の場合に、積a 1 ... a nの期待値が0である場合に、自由独立であると言われます。ランダム変数は、自由独立な単位部分代数を生成する場合に自由独立です。
自由確率の目標の 1 つ (まだ達成されていません) は、フォン ノイマン代数の新しい不変量を構築することであり、自由次元はそのような不変量の適切な候補と見なされています。自由次元の構築に使用される主なツールは、自由エントロピーです。
自由確率とランダム行列の関係は、自由確率が他の分野で広く使用されている主な理由です。Voiculescu は 1983 年頃に作用素代数のコンテキストで自由性の概念を導入しました。当初はランダム行列とはまったく関係がありませんでした。この関係は、1991 年になって Voiculescu によって明らかにされました。彼の動機は、自由中心極限定理で発見した極限分布が、ランダム行列のコンテキストで Wigner の半円法則に以前登場していたという事実でした。
自由キュムラント関数（ローランド・シュパイヒャーによって導入）[1]は理論において重要な役割を果たしている。これは、古典的なキュムラント関数がその集合のすべての分割の格子と関係しているのと同様に、集合 { 1, ..., n } の非交差分割の格子と関係している。
参照
参考文献
引用
出典
- D.-V. Voiculescu、N. Stammeier、M. Weber（編）：自由確率と作用素代数、ミュンスター数学講義、EMS、2016年
- James A. Mingo、Roland Speicher: 自由確率とランダム行列。Fields Institute Monographs、第35巻、Springer、ニューヨーク、2017年。
- A. Nica、R. Speicher: 自由確率の組合せ論に関する講義。ケンブリッジ大学出版局、2006年、ISBN 0-521-85852-6
- 比合文雄、デニス・ペッツ著『半円法則、自由ランダム変数、エントロピー』、ISBN 0-8218-2081-8
- ミッチェナー、PD (2005) 非可換確率論、プレプリント
- Voiculescu, DV; Dykema, KJ; Nica, A.自由ランダム変数。自由積に対する非可換確率アプローチと、ランダム行列、作用素代数、自由群の調和解析への応用。CRMモノグラフ シリーズ、1。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1992 年。ISBN 0-8218-6999 -X
- テレンス・タオ、254A、ノート 5: 自由確率 (2010 年 2 月 10 日)、「ランダム行列理論のトピック」に関する大学院コースのコースノート
- ローランド・シュパイヒャー：自由確率論、コースノート
外部リンク
- Voiculescu が数学で NAS 賞を受賞 — 自由確率のわかりやすい説明が含まれています。
- RMTool — MATLAB ベースの無料の確率計算機。
- 無線通信への自由確率の柔軟な無線アプリケーションに関するアルカテル・ルーセント教授の講演。
- 自由確率に関するローランド・シュパイヒャーの調査記事。
- 無料の確率に関するブログ
- 自由確率に関する録画講義