離散安定分布

離散安定分布^{[1]は、適切なスケーリングの下で​​のそのような分布からのいくつかのランダム変数の合計が同じ族に従って分布するという性質を持つ}確率分布のクラスです。これらは連続安定分布の離散類似物です。

離散安定分布は、インターネット、ソーシャルネットワーク^[2]、さらにはセマンティックネットワーク^[3]などのスケールフリーネットワークなど、多くの分野で使用されています。

安定分布の離散クラスと連続クラスはどちらも、無限分割可能性、べき乗則の裾、単峰性などの特性を持ちます。

最もよく知られている離散安定分布は、特別なケースであるポアソン分布です。 ^{[4]これは、}平均とすべての高次モーメントが有限である唯一の離散安定分布です。 ^{[疑わしい–議論する]}

離散安定分布は、確率生成関数^[5]によって定義される。

${\displaystyle G(s|\nu ,a)=\sum _{n=0}^{\infty }P(N|\nu ,a)(1-s)^{N}=\exp(-as ^{\nu }).}$

上記において、はスケールパラメータであり、のとき、べき乗則の挙動を記述する。 ${\displaystyle a>0}$${\displaystyle 0<\nu \leq 1}$${\displaystyle 0<\nu <1}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }P(N|\nu ,a)\sim {\frac {1}{N^{\nu +1}}}.}$

分布が平均 のよく知られたポアソン分布になるとします。 ${\displaystyle \nu =1}$${\displaystyle a}$

離散安定分布の特性関数は次の式で表される: ^[6]

${\displaystyle \varphi (t;a,\nu )=\exp \left[a\left(e^{it}-1\right)^{\nu }\right]}$、および。${\displaystyle a>0}$${\displaystyle 0<\nu \leq 1}$

また、分布が平均 のポアソン分布になるとき。 ${\displaystyle \nu =1}$${\displaystyle a}$

元の分布は、生成関数を繰り返し微分することで復元されます。

${\displaystyle P(N|\nu ,a)=\left.{\frac {(-1)^{N}}{N!}}{\frac {d^{N}G(s|\nu ,a)}{ds^{N}}}\right|_{s=1}.}$

離散安定分布の確率分布に対する基本関数を用いた閉形式の表現は、ポアソン分布の場合を除いて知られていない。

${\displaystyle \!P(N|\nu =1,a)={\frac {a^{N}e^{-a}}{N!}}.}$

^{しかし、 [7] （}ベッセル関数に関して）と^{[8] （}超幾何関数に関して）の場合の特殊関数を使った表現は存在します。 ${\displaystyle \nu =1/2}$${\displaystyle \nu =1/3}$

離散安定分布のクラス全体は、ポアソン複合確率分布として形成することができ、ポアソン分布の平均は、確率密度関数(PDF) を持つランダム変数として定義されます。平均の PDF が、安定性パラメータとスケールパラメータを持つ片側連続安定分布である場合、結果として得られる分布は、インデックスとスケールパラメータを持つ離散安定です^[9]。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \nu =\alpha }$${\displaystyle a=c\sec(\alpha \pi /2)}$

正式には次のように書かれています。

${\displaystyle P(N|\alpha ,c\sec(\alpha \pi /2))=\int _{0}^{\infty }P(N|1,\lambda )p(\lambda ;\alpha ,1,c,0)\,d\lambda }$

ここで、 は対称パラメータと位置パラメータを持つ片側連続安定分布の pdf です。 ${\displaystyle p(x;\alpha ,1,c,0)}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \mu =0}$

より一般的な結果^[8]によれば、インデックス を持つ任意の離散安定分布とインデックスを持つ片側連続安定分布との複合分布を形成すると、インデックス を持つ離散安定分布が生成され、元の分布のべき乗指数が 倍に減少します。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \nu \cdot \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

言い換えると、

${\displaystyle P(N|\nu \cdot \alpha ,c\sec(\pi \alpha /2))=\int _{0}^{\infty }P(N|\alpha ,\lambda )p(\lambda ;\nu ,1,c,0)\,d\lambda .}$

の極限では、離散安定分布は、小さい に対して平均 を持つポアソン分布のように振る舞います^[9]。しかし、 に対しては、べき乗則の裾が支配的になります。 ${\displaystyle \nu \rightarrow 1}$${\displaystyle a\sec(\nu \pi /2)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\gg 1}$

べき乗則の裾を持つiidランダム変数の離散安定分布への収束は、のとき非常に遅くなります^[10] 。極限は、のときと、のときのポアソン分布です。 ${\displaystyle P(N)\sim 1/N^{1+\nu }}$${\displaystyle \nu \approx 1}$${\displaystyle \nu >1}$${\displaystyle P(N|\nu ,a)}$${\displaystyle \nu \leq 1}$

• 安定した分布
• ポアソン分布

• フェラー、W . (1971)確率論とその応用入門、第2巻。Wiley。ISBN 0-471-25709-5 
• Gnedenko, BV; Kolmogorov, AN (1954)。独立確率変数の和に対する極限分布。Addison-Wesley。
• Ibragimov, I.; Linnik, Yu (1971)。ランダム変数の独立および定常シーケンス。Wolters-Noordhoff Publishing Groningen、オランダ。