自由畳み込み

自由畳み込みは、確率測度の畳み込みという古典的な概念の自由確率における類似物である。自由確率論の非可換性のため、自由ランダム変数の加算と乗算から生じる加法自由畳み込みと乗法自由畳み込みについて別々に議論する必要がある（以下を参照。古典的なケースでは、自由乗法畳み込みの類似物は、ランダム変数の対数に渡すことで加法畳み込みに還元できる）。これらの操作は、ランダム行列の実験的スペクトル測度の観点からいくつかの解釈がある。^[1]

自由畳み込みの概念はダン・ヴァージル・ヴォイクレスクによって導入された。^{[2] [3]}

とを実数直線上の2つの確率測度とし、が の法則を持つ非可換確率空間内のランダム変数であり、 が同じ非可換確率空間内の の法則を持つランダム変数であると仮定します。最後に、とがで自由に独立していると仮定します。すると、自由加法畳み込みはの法則になります。ランダム行列の解釈: と が、エルミート(それぞれ実対称)ランダム行列によって独立で、そのうちの少なくとも1つが任意のユニタリ(それぞれ直交)行列による共役の下で不変であり、 との経験的スペクトル測度がが無限大に近づくにつれてそれぞれ とに近づく場合、 の経験的スペクトル測度はに近づくことになります。^[4]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$${\displaystyle X+Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A+B}$${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$

多くの場合、複素解析技術と測度およびのR変換を使用することで、確率測度を明示的に計算することが可能です。 ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$

比 を伴う矩形自由加法畳み込みも、非可換確率の枠組みで Benaych-Georges ^[5]によって定義されており、次のランダム行列の解釈が可能です。、 、 は 、によって独立した複素数(それぞれ実数) ランダム行列であり、そのうち少なくとも 1 つは左側に任意のユニタリ (それぞれ直交) 行列を乗じても不変であり、 および の経験的特異値分布がそれぞれ および に近づき、およびがに近づくような方法で無限大に近づく場合、 の経験的特異値分布はに近づく傾向があります。^[6]${\displaystyle c}$${\displaystyle \boxplus_{c}}$${\displaystyle c\in [0,1]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n/p}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A+B}$${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$

多くの場合、複素解析手法と、測度の比とを用いた直交 R 変換を使用することで、確率測度を明示的に計算することが可能です。 ${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$

およびを区間 上の2つの確率測度とし、が法則を満たす非可換確率空間内のランダム変数であり、 が同じ非可換確率空間内の 法則を満たすランダム変数であると仮定します。最後に、 および が自由に独立であると仮定します。すると、自由乗法畳み込みは の法則です(または、同等に の法則です)。ランダム行列の解釈: および が、負でないエルミート(それぞれ実対称)ランダム行列によって独立であり、そのうち少なくとも1つが 任意のユニタリ(それぞれ直交)行列による共役の下で不変であり、 および の経験的スペクトル測度がが無限大に近づくにつれてそれぞれ およびに近づく場合、の経験的スペクトル測度^はに近づく${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle [0,+\infty )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$${\displaystyle X^{1/2}YX^{1/2}}$${\displaystyle Y^{1/2}XY^{1/2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$

単位円上でサポートされる法則の場合にも、直交またはユニタリランダム行列の解釈により、同様の定義を行うことができます。 ${\displaystyle \mu,\nu}$${\displaystyle \{z:|z|=1\}}$

乗法自由畳み込みの明示的な計算は、複素解析手法と S 変換を使用して実行できます。

• 自由畳み込みは自由中心極限定理の証明に使用できます。
• 自由畳み込みは、自由なランダム変数の和または積の法則とスペクトルを計算するために使用できます。このような例としては、自由群上のランダム ウォーク演算子 (Kesten 測度)、独立したランダム行列の和または積の固有値の漸近分布などがあります。

ランダム行列への応用を通じて、自由畳み込みは Girko の G 推定に関する他の研究と強いつながりを持っています。

無線通信、金融、生物学におけるアプリケーションは、観測数がシステムの次元と同じオーダーである場合に便利なフレームワークを提供してきました。

• 畳み込み
• 自由確率
• ランダム行列

• 「信号処理アプリケーションのためのフリーデコンボリューション」、O. Ryan および M. Debbah、ISIT 2007、pp. 1846–1850
• James A. Mingo、Roland Speicher: 自由確率とランダム行列。Fields Institute Monographs、第35巻、Springer、ニューヨーク、2017年。
• D.-V. Voiculescu、N. Stammeier、M. Weber（編）：自由確率と作用素代数、ミュンスター数学講義、EMS、2016年

• フレキシブルラジオ搭載のアルカテル ルーセント チェア
• http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
• http://folk.uio.no/oyvindry
• 自由確率に関するローランド・シュパイヒャーの調査記事。