変動係数

確率論と統計学において、変動係数（CV）、別名正規化二乗平均平方根偏差（NRMSD）、および相対標準偏差（RSD）は、確率分布または頻度分布のばらつきを標準化した尺度である。これは標準偏差の比として定義される。${\displaystyle \sigma }$平均へ${\displaystyle \mu }$（またはその絶対値、${\displaystyle |\mu |}$）であり、多くの場合、パーセンテージ（「%RSD」）で表されます。

CVまたはRSDは、分析化学においてアッセイの精度と再現性を表すために広く用いられています。また、品質保証研究やANOVAゲージR&Rを行う際の工学や物理学などの分野、経済学者や投資家による経済モデル、疫学、心理学／神経科学などでも一般的に使用されています。

変動係数（CV）は^{[ 1 ]}標準偏差の比として定義される。${\displaystyle \sigma }$平均へ${\displaystyle \mu }$、

${\displaystyle CV={\frac {\sigma }{\mu }}.}$

これは、母集団の平均に対する変動の程度を示します。変動係数は、意味のあるゼロを持つ尺度（比率尺度）で測定されたデータに対してのみ計算する必要があります。これにより、2 つの測定値を相対的に比較できます（つまり、一方の測定値を他方の測定値で割る）。変動係数は、間隔尺度上のデータには意味がない場合があります。^{[ 2 ]}たとえば、ほとんどの温度尺度（摂氏、華氏など）は任意のゼロを持つ間隔尺度であるため、計算された変動係数は使用する尺度によって異なります。一方、 ケルビン温度には意味のあるゼロ、つまり熱エネルギーの完全な欠如があり、したがって比率尺度です。平易な言葉で言えば、20 ケルビンは 10 ケルビンの 2 倍熱いと言うことは意味がありますが、これは真の絶対零度を持つこの尺度の場合に限ります。標準偏差（SD）はケルビン、摂氏、華氏で測定できますが、計算された値はその尺度にのみ適用されます。有効な変動係数を計算するには、ケルビン尺度のみを使用できます。

対数正規分布に従う測定値は、変動係数（CV）が定常的であるのに対し、標準偏差（SD）は測定値の期待値に応じて変化する。

より確実な可能性としては、四分位分散係数、つまり四分位範囲の半分が挙げられる。${\displaystyle {(Q_{3}-Q_{1})/2}}$四分位数の平均値（中央値）で割った値、${\displaystyle {(Q_{1}+Q_{3})/2}}$。

ほとんどの場合、CVは、従属変数（例えば、製造工程のエラー）の多数の繰り返し測定値を持つ単一の独立変数（例えば、単一の工場製品）に対して計算されます。ただし、線形または対数的に非線形であり、各値にわたって測定値がまばらな独立変数の連続範囲を含むデータ（例えば、散布図）は、最尤推定アプローチを使用して単一のCV計算に適している場合があります。^{[ 3 ]}

以下の例では、与えられた値はより大きな値の母集団からランダムに選択されたものとして扱います。

• データセット[100, 100, 100]は定数です。標準偏差は0、平均は100なので、変動係数は0 / 100 = 0となります。
• データセット[90, 100, 110]は変動性が高い。標準偏差は10、平均値は100であり、変動係数は10 / 100 = 0.1となる。
• データセット [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] はさらにばらつきが大きい。標準偏差は 32.9、平均値は 27.9 であり、変動係数は 32.9 / 27.9 = 1.18 となる。

これらの例では、与えられた値を値全体の母集団として扱います。

• データセット[100, 100, 100]の母集団標準偏差は0、変動係数は0 / 100 = 0です。
• データセット[90, 100, 110]の母集団標準偏差は8.16、変動係数は8.16 / 100 = 0.0816です。
• データセット[1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88]の母集団標準偏差は30.8、変動係数は30.8 / 27.9 = 1.10です。

母集団からのデータサンプルしか入手できない場合、母集団の変動係数はサンプル標準偏差の比率を用いて推定できる。${\displaystyle s\,}$サンプル平均に対して${\displaystyle {\bar {x}}}$:

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}={\frac {s}{\bar {x}}}}$

しかし、この推定量は、小規模または中規模のサンプルに適用すると、値が低すぎる傾向があります。つまり、偏りのある推定量です。正規分布データの場合、サンプルサイズnに対する不偏推定量^{[ 4 ]は次のようになります。}

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}^{*}={\bigg (}1+{\frac {1}{4n}}{\bigg )}{\widehat {c_{\rm {v}}}}}$

変動係数は、再生理論、待ち行列理論、信頼性理論などの応用確率分野でもよく用いられます。これらの分野では、正規分布よりも指数分布の方が重要な場合が多いです。指数分布の標準偏差は平均に等しいので、変動係数は 1 になります。CV < 1 の分布 (アーラン分布など) は低分散分布とみなされ、CV > 1 の分布 (超指数分布など) は高分散分布とみなされます。これらの分野のいくつかの式は、変動係数の二乗(SCV と略されることが多い) を使用して表現されます。モデリングでは、CV の変形として CV(RMSD) があります。CV(RMSD) は基本的に標準偏差の項を二乗平均平方根偏差 (RMSD)に置き換えたものです。多くの自然現象では、平均値とその周囲の変動量との間に相関関係が見られるのは事実ですが、高精度なセンサーデバイスは、変動係数がゼロに近くなるように、つまり動作範囲全体にわたって絶対誤差が一定になるように設計する必要があります。

保険数理学では、CVはユニット化リスクとして知られています。^{[ 13 ]}

工業用固体処理において、CVは粉末混合物の均一性の度合いを測定する上で特に重要である。計算されたCVを仕様と比較することで、十分な混合度が達成されたかどうかを判断できる。^{[ 14 ]}

相対単位を用いてパラメータ間の変動係数を比較すると、実際には存在しない差異が生じる可能性があります。摂氏と華氏（どちらも相対単位であり、ケルビンとランキン尺度はそれぞれの絶対値）で同じ温度セットを比較する場合：

摂氏：[0、10、20、30、40]

華氏: [32、50、68、86、104]

サンプル標準偏差はそれぞれ15.81と28.46です。最初のセットの変動係数は15.81/20 = 79%です。2番目のセット（同じ温度）の変動係数は28.46/68 = 42%です。

例えば、データセットが2つの異なるセンサー（摂氏センサーと華氏センサー）からの温度測定値で、分散が最も小さいセンサーを選択することでどちらのセンサーが優れているかを知りたい場合、CVを使用すると誤った結果を招く可能性があります。問題は、絶対値ではなく相対値で割っていることです。

同じデータセットを、今度は絶対単位で比較してみましょう。

ケルビン: [273.15、283.15、293.15、303.15、313.15]

ランキン：[491.67、509.67、527.67、545.67、563.67]

標本標準偏差は、定数オフセットの影響を受けないため、それぞれ15.81と28.46のままです。ただし、変動係数は両方とも5.39%になります。

数学的に言えば、変動係数は完全には線形ではありません。つまり、確率変数の場合${\displaystyle X}$変動係数${\displaystyle aX+b}$は、${\displaystyle X}$のみ${\displaystyle b=0}$上記の例では、摂氏を華氏に変換するには、次の形式の線形変換のみが必要です。${\displaystyle ax+b}$と${\displaystyle b\neq 0}$ケルビンは、次の形式の変換によってランキンに変換できます。${\displaystyle ax}$。

標本平均の負の値と小さな正の値が無視できる頻度で発生する場合、標本サイズ の変動係数の確率分布は次のようになります。${\displaystyle n}$独立同分布の正規確率変数については、ヘンドリックスとロビーによって^{[ 27 ]であることが示されています。}

$${\displaystyle \mathrm {d} F_{c_{\rm {v}}}={\frac {2}{\pi ^{1/2}\Gamma {\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}}\exp \left(-{\frac {n}{2\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{2}}}\cdot {\frac {{c_{\rm {v}}}^{2}}{1+{c_{\rm {v}}}^{2}}}\right){\frac {{c_{\rm {v}}}^{n-2}}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{n/2}}}\sideset {}{^{\prime }}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!\,\Gamma \left({\frac {ni}{2}}\right)}{(n-1-i)!\,i!\,}}\cdot {\frac {n^{i/2}}{2^{i/2}\cdot \left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{i}}}\cdot {\frac {1}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{i/2}}}\,\mathrm {d} c_{\rm {v}},}$$

シンボル${\textstyle \sideset {}{^{\prime }}\sum }$これは、総和が偶数の値のみを対象としていることを示しています。${\displaystyle n-1-i}$つまり、もし${\displaystyle n}$は奇数、偶数の値の合計${\displaystyle i}$そしてもし${\displaystyle n}$は偶数なので、奇数の値のみを合計します。${\displaystyle i}$。

これは、例えば仮説検定や信頼区間の構築に役立ちます。正規分布データの変動係数の統計的推論は、変動係数に対するマッケイのカイ二乗近似に基づいていることが多いです。 ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

標準化されたモーメントは、同様の比率です。${\displaystyle {\mu _{k}}/{\sigma ^{k}}}$どこ${\displaystyle \mu _{k}}$は平均値に関するk^番目のモーメントであり、無次元かつスケール不変です。分散対平均比、${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$も同様の比率ですが、無次元ではないため、スケール不変ではありません。その他の比率については、「正規化（統計）」を参照してください。

信号処理、特に画像処理において、逆比${\displaystyle \mu /\sigma }$（またはその二乗）は、一般的には信号対雑音比と呼ばれ、特に信号対雑音比（イメージング）と呼ばれます。

その他の関連比率には以下が含まれます。

• 効率、${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$
• 標準化モーメント、${\displaystyle \mu _{k}/\sigma ^{k}}$
• 分散対平均比（または相対分散）、${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$
• ファノ因子、${\displaystyle \sigma _{W}^{2}/\mu _{W}}$(ウィンドウモードVMR)
• 二次変動係数^{[ 36 ]}${\displaystyle V_{2}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\mu ^{2}}}}$これは0（分散なし）から1（最大相対分散、つまり）の間に制限されます。${\displaystyle \sigma \gg \mu }$)

• 標準スコア
• 情報比率
• オメガ比
• サンプリング（統計）
• 分散関数

• cvequality：複数の変動係数間の有意差を検定するためのRパッケージ