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確率と統計において、確率変数または確率要素の実現値または観測値（観測値とも呼ばれる）とは、実際に観測または測定された値のことです。たとえば、確率変数が人間の身長である場合、特定の実現値は「2メートル」となる可能性があります。確率変数自体は、観測がどのように発生するかを決定するプロセスです。統計モデルを使用せずに実現値から計算された統計量は、経験分布関数や経験確率のように、「経験的」と呼ばれることがよくあります。慣例として、混乱を避けるために、大文字は確率変数を表し、対応する小文字はそれらの実現値を表します。[ 1 ]
確率論において、確率変数は関数である。サンプル空間から定義される状態空間と呼ばれる別の測定可能な空間へ[ 2 ] [ a ]。状態空間の要素にマッピングされるすると、状態空間内のその要素は実現である。つまり、ある時点で値実現と呼ばれる[ 3 ]
標本空間の要素は起こりうるすべての異なる可能性と考えることができます。一方、実現（状態空間の要素）は値と考えることができます。確率は、可能性のうちの1つが実際に起こったときに達成される値です。確率は、標本空間の特定の部分集合、すなわち測定可能な部分集合（ここでは事象と呼ばれる）に0から1の間の数値を割り当てる写像です。標本空間のうち、要素が1つだけ含まれる部分集合は、基本事象と呼ばれます。
確率と統計において、ランダム変数または単に変数とは、ランダム変数の特定の結果または実現のことです。同じランダム変数の他の結果であるランダム変数は、異なる値（乱数、その他のランダムな記号またはラベル）を持つ場合があります。[ 4 ]ランダム変数は、ランダムな影響によって駆動されるプロセス（確率的プロセス）をシミュレートするときに使用されます。
Devroyeは、(実数に対する)乱数生成アルゴリズムを次のように定義しています。 [ 5 ]
ただし、これらの前提はほとんどの実際のコンピュータでは満たされていないことに注意してください。コンピュータは必然的に実数を操作する能力を持たず、通常は浮動小数点表現を使用します。ほとんどのコンピュータは真の乱数源（特定のハードウェア乱数発生器など）を持たず、代わりに擬似乱数列を使用します。
確率変数と確率変量の区別は微妙であり、文献では必ずしも明確に区別されているとは限りません。この区別は、確率分布を伴う確率変数そのものと、その確率分布からのランダムな抽出値とを区別したい場合に役立ちます。特に、これらの抽出値が擬似乱数列から浮動小数点演算によって最終的に導き出される場合に有効です。
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