アンスコム変換

統計学において、フランシス・アンスコムにちなんで名付けられたアンスコム変換は、ポアソン分布を持つランダム変数をほぼ標準的なガウス分布を持つランダム変数に変換する分散安定化変換です。アンスコム変換は、画像が自然にポアソン法則に従う光子制限イメージング（天文学、X線）で広く使用されています。アンスコム変換は通常、標準偏差をほぼ一定にするためにデータの前処理に使用されます。次に、加法性ホワイトガウスノイズのフレームワーク用に設計されたノイズ除去アルゴリズムが使用され、ノイズ除去されたデータに逆アンスコム変換を適用することで最終的な推定値が得られます。

ポアソン分布では平均と分散は独立ではない。アンスコム変換^[1]${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$${\displaystyle m=v}$

${\displaystyle A:x\mapsto 2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\,}$

十分に大きい平均に対して分散がおよそ 1 に設定されるようにデータを変換することを目的としています。平均が 0 の場合、分散は依然として 0 です。

これは、平均 のポアソン分布データを、平均 と標準偏差の近似ガウス分布データに変換します。この近似は、図からもわかるように 、が大きいほど正確になります^{[2] 。}${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}+O\left({\tfrac {1}{m^{3/2}}}\right)}$${\displaystyle 1+O\left({\tfrac {1}{m^{2}}}\right)}$${\displaystyle m}$

形式の変換された変数の場合、分散の式には追加の項 が含まれます。この項は でゼロになります。これがまさにこの値が選択された理由です。 ${\displaystyle 2{\sqrt {x+c}}}$${\displaystyle {\frac {{\tfrac {3}{8}}-c}{m}}}$${\displaystyle c={\tfrac {3}{8}}}$

アンスコム変換をノイズ除去に使用する場合（つまり、の推定値から を得ることが目的の場合）、分散安定化されノイズが除去されたデータを元の範囲に戻すために、その逆変換も必要になります。代数逆変換を適用すると、${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle A^{-1}:y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {3}{8}}}$

順方向平方根変換は線形ではないため、平均の推定に望ましくないバイアスが生じることが多い。漸近的に不偏な逆変換^{[1]を使用することもある。}${\displaystyle m}$

${\displaystyle y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}}$

バイアスの問題は緩和されるが、光子制限イメージングではそうではない。この場合は、暗黙のマッピングによって与えられる正確なバイアスのない逆行列が存在しない^[3]。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\mid m\right]=2\sum _{x=0}^{+\infty }\left({\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\cdot {\frac {m^{x}e^{-m}}{x!}}\right)\mapsto m}$

を使うべきである。この正確な不偏逆行列の閉形式近似は^{[4]である。}

${\displaystyle y\mapsto {\frac {1}{4}}y^{2}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-1}-{\frac {11}{8}}y^{-2}+{\frac {5}{8}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-3}.}$

ポアソン分布には、他にも多くの分散安定化変換が考えられます。Bar-LevとEnisは、Anscombe変換を含むそのような変換のファミリーを報告しています^[2]。ファミリーのもう1つのメンバーは、Freeman-Tukey変換です^[5]

${\displaystyle A:x\mapsto {\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}.\,}$

データの標準偏差の逆数の原始関数として得られる簡略化された変換は 、

${\displaystyle A:x\mapsto 2{\sqrt {x}}\,}$

これは分散を安定させるのにそれほど優れてはいないが、理解しやすいという利点がある。実際、デルタ法では、

${\displaystyle V[2{\sqrt {x}}]\approx \left({\frac {d(2{\sqrt {m}})}{dm}}\right)^{2}V[x]=\left({\frac {1}{\sqrt {m}}}\right)^{2}m=1}$。

アンスコム変換は純粋なポアソンデータには適していますが、多くのアプリケーションでは、データは加法的なガウス成分も示します。これらのケースは、一般化アンスコム変換^[6]とその漸近的に不偏な逆または正確な不偏な逆^{[7]によって処理されます。}

• 分散安定化変換
• ボックス・コックス変換

• Starck, J.-L.; Murtagh, F. (2001)、「天文画像と信号処理: ノイズ、情報、スケールの検討」、Signal Processing Magazine、IEEE、vol. 18、no. 2、pp. 30–40、Bibcode :2001ISPM...18...30S、doi :10.1109/79.916319、S2CID  13210703