ポアソン極限定理

スターリングの近似式を用いると、次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&={\frac {n!}{(nk)!k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pin}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(nk\right)}}\left({\frac {nk}{e}}\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&={\sqrt {\frac {n}{nk}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}.\end{aligned}}}$

賃貸${\displaystyle n\to \infty }$そして${\displaystyle np=\lambda }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{nk}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{n^{nk}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{\left(1-{\frac \end{aligned}$

として${\displaystyle n\to \infty }$、$\displaystyle \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}}$それで：

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{整列}}}$

また、二項分布の通常の母関数を用いることによっても、この定理を証明できる。

${\displaystyle G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{Nk}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}}$

二項定理により、極限をとる${\displaystyle N\rightarrow \infty }$製品を維持しながら${\displaystyle pN\equiv \lambda }$一定であることから、次のことがわかる。

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}}$

これはポアソン分布のOGF（正規化母関数）です。（2番目の等式は指数関数の定義により成り立ちます。）