負の二項分布

負の二項分布の 確率質量関数は$${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}}$$ ここで、 rは成功回数、X = kはr番目の成功までの失敗回数、p は各試行における成功確率である。

ここで、括弧内の量は二項係数であり、 に等しい。 $${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,k!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\ \Gamma (r)}}=\left(\!\!{r \choose k}\!\!\right).}$$Γ( r )はガンマ関数で あり、${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$は多重集合係数です。

k + r − 1 回の試行からk 個の失敗が選ばれるが、 k + r 回の試行から選ばれるわけではないのは、 k + r 回の試行の最後の試行は定義上成功となるからである。

この量は、別の言い方をすれば次のように表すことができ、これが「負の二項式」という名前の由来である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[10pt]={}&(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-(k-1))} ^{k{\text{ factors}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}}$$

最後の式と二項級数により、0 ≤ p < 1および${\displaystyle q=1-p}$、

$${\displaystyle p^{-r}=(1-q)^{-r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}(-q)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}q^{k}}$$

したがって、確率質量関数の各項は、以下のように合計すると確かに1になります。 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}\left(1-p\right)^{k}p^{r}=p^{-r}p^{r}=1}$$

確率質量関数の上記の定義を理解するために、r 回成功しk 回 失敗する特定のシーケンスの確率はp ^r (1 − p ) ^kであることに注意してください。これは、 k + r 回試行の結果が独立して発生すると想定されているためです。r番目の成功は常に最後に来るため、残りのk + r − 1 回試行の中から、失敗を伴うk 回試行を選択する必要があります。上記の二項係数は、組み合わせ論的な解釈により、長さk + r − 1のこれらのシーケンスの数を正確に与えます。 

確率質量関数の二項係数の別の解釈は、等価な多重集合係数を考慮するときに生じる。${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$r回の成功で終わる一連の試行は、r個の非負整数のタプルで表すことができ、各整数は次の成功までに発生した失敗の数を表します。次に、スターとバーを適用すると、合計がkになる（したがって、合計失敗がk回、合計成功がr回となる）そのようなタプルの数は、次のように表されることがわかります。${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$。

累積分布関数は、正則化された不完全ベータ関数で表すことができる。^{[ 3 ] [ 6 ]}$${\displaystyle F(k;r,p)\equiv \Pr(X\leq k)=I_{p}(r,k+1).}$$ （この式は、記事の表と同じパラメータ化を使用しており、rは成功数、${\displaystyle p=r/(r+\mu )}$と${\displaystyle \mu }$平均値。）

また、二項分布の累積分布関数で表現することもできます。^{[ 7 ]}$${\displaystyle F(k;r,p)=F_{\text{binomial}}(k;n=k+r,1-p).}$$

資料によっては、負の二項分布をここで説明するものとは若干異なる定義で定義している場合があります。最も一般的なバリエーションは、確率変数Xが異なるものをカウントする場合です。これらのバリエーションは、以下の表で確認できます。

負の二項分布の4つの定義はそれぞれ、わずかに異なるものの同等な方法で表現できます。最初の代替表現は、二項係数の同等な形式であり、次のようになります。${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{ab}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$2番目の代替表現では、試行の総数は成功と失敗の数に等しいことを認識することで、式をいくらか簡略化しています。つまり、次のようになります。${\textstyle n=r+k}$これらの2番目の定式化は、より直感的に理解しやすいかもしれないが、用語が多いため、実用性は劣るかもしれない。

• Xを、与えられたr回の成功に対してn回の試行が行われる回数と定義する式は、失敗回数の代わりに試行回数が与えられる点を除けば、基本的な定義と似ています。これにより、確率変数の値にrが加算され、そのサポートと平均値が変化します。
• X を、与えられたr回の失敗に対して発生するk回の成功(またはn 回の試行)の数と定義すると、この記事で使用されている主要な定義と似ていますが、カウントされるものと与えられるものを考慮する際に、失敗数と成功数が入れ替わっている点が異なります。ただし、pは依然として「成功」の確率を表すことに注意してください。
• 負の二項分布の定義は、パラメータr が正の実数値をとる場合にも拡張できます。非整数個の「失敗」を視覚化することは不可能ですが、確率質量関数を通して分布を形式的に定義することは可能です。定義を実数値（正）のrに拡張する問題は、ガンマ関数に基づいて二項係数を実数値の対応物に拡張することに帰着します。$${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}}$$この式を元の定義に代入すると、 X が負の二項分布（またはポリア分布）を持つとは、確率質量関数が次のようになる場合をいう。$${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc }$$ここで、rは実数の正の数である。

負の二項回帰では、^{[ 16 ]}分布はその平均によって指定されます。${\textstyle m={\frac {r(1-p)}{p}}}$これは、線形回帰やその他の一般化線形モデルのように、説明変数に関連付けられます。平均mの式から、${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$そして${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$。次に、これらの式を、 rが実数値の場合の確率質量関数の式に代入すると、 mに関する確率質量関数のパラメータ化は次のようになります。 

$${\displaystyle \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\left({\frac {r}{r+m}}\right)^{r}\left({\frac {m}{r+m}}\right)^{k}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc }$$ 分散は次のように表すことができます。${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$. 一部の著者は次のように設定することを好みます$\alpha = \frac{1}{r}}$分散を次のように表す${\textstyle m+\alpha m^{2}}$この文脈では、著者によって、パラメータrまたはその逆数αは、「分散パラメータ」、「形状パラメータ」、「クラスタリング係数」^{[ 17 ]} 、または「不均一性」^{[ 16 ] 、または「凝集」パラメータ[ 11 ]}と呼ばれます。「凝集」という用語は、特に生態学において、個々の生物の数を記述する際に使用されます。凝集パラメータrがゼロに向かって減少することは、生物の凝集の増加に対応し、rが無限大に向かって増加することは、ポアソン回帰で記述できる凝集の欠如に対応します。

^分布は、平均μと分散σ²でパラメータ化されることがある。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},\\[6pt]&r={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }},\\[3pt]&\Pr(X=k)={k+{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }}-1 \choose k}\left(1-{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{k}\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{\mu ^{2}/(\sigma ^{2}-\mu )}\\&\operatorname {E} (X)=\mu \\&\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$$

別の一般的なパラメータ化では、rと故障確率βを使用します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {1}{1+\beta }}\\&\Pr(X=k)={k+r-1 \choose k}\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)^{r}\\&\operatorname {E} (X)=r\beta \\&\operatorname {Var} (X)=r\beta (1+\beta ).\end{aligned}}}$$

r回の成功を見るために必要な試行回数の期待値は${\displaystyle {\frac {r}{p}}}$したがって、予想される失敗数は、この値から成功数を引いた値になります。 $${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {NB} (r,p)]={\frac {r}{p}}-r={\frac {r(1-p)}{p}}}$$

パラメータ( r , p )を持つ負の二項分布における期待される失敗の総数はr (1 − p )/ pです。これを確認するには、負の二項分布をシミュレートする実験を何度も実行することを想像してください。つまり、r 回の成功が得られるまで一連の試行を実行し、次に別の試行のセットを実行し、さらに別の試行のセットを実行します。各実験で実行された試行の数をa、b、c、 ...と書き、 a + b + c + ... = Nとします。これで、合計で約Np 回の成功が期待されます。実験がn回実行されたとします。すると、合計でnr 回の成功があります。したがって、 nr = Npが期待され、N / n = r / pとなります。N / n は、実験あたりの平均試行回数であることに注意してください。これが「期待値」の意味です。実験あたりの平均失敗数は、N / n − r = r / p − r = r (1 − p )/ pです。これは、このページの右側の枠内に示されている平均値と一致します。

厳密な導出は、負の二項分布を待ち時間の合計として表すことで行うことができる。${\displaystyle X_{r}\sim \operatorname {NB} (r,p)}$大会と共に${\displaystyle X}$以前に観測された故障の数を表します${\displaystyle r}$成功確率が${\displaystyle p}$. そして${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Geom} (p)}$どこ${\displaystyle Y_{i}}$これは、成功を見る前に発生する失敗の数を表します。${\displaystyle Y_{i}}$待ち時間（失敗回数）${\displaystyle i}$th と${\displaystyle (i-1)}$成功。したがって $${\displaystyle X_{r}=Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{r}.}$$ 平均は $${\displaystyle \operatorname {E} [X_{r}]=\operatorname {E} [Y_{1}]+\operatorname {E} [Y_{2}]+\cdots +\operatorname {E} [Y_{r}]={\frac {r(1-p)}{p}},}$$ これは事実から導かれる${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{i}]=(1-p)/p}$。

r番目の成功までの失敗回数を数える場合、分散はr (1 − p )/ p ²です。上記の別の定式化 (3) のように、 r番目の失敗までの成功回数を数える場合、分散はrp /(1 − p ) ²です。  

Y をパラメータnとpを持つ二項分布に従う確率変数とする。p + q = 1であり、p、q ≥ 0であると仮定すると、

$${\displaystyle 1=1^{n}=(p+q)^{n}.}$$

ニュートンの二項定理を用いると、これは次のようにも書ける。

$${\displaystyle (p+q)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k},}$$

総和の上限が無限大となる場合。この場合、二項係数は

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1) \over k!}.}$$

nが正の整数ではなく実数である場合に定義されます。しかし、二項分布の場合、k > nのときにゼロになります。したがって、例えば次のように言うことができます。

$${\displaystyle (p+q)^{8.3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {8.3}{k}}p^{k}q^{8.3-k}.}$$

ここで、r > 0で負の指数を使用すると仮定します。

$${\displaystyle 1=p^{r}\cdot p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}.}$$

すると、すべての項が正になり、項

$${\displaystyle p^{r}{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}={\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}}$$

これは、 r回目の成功までの失敗回数がkに等しい確率であり、rは整数です。（rが負の非整数で、指数が正の非整数の場合、上記の和の項の一部が負になるため、すべての非負整数の集合上で確率分布は得られません。）

今度はrの非整数値も許可します。

上記で述べたことを思い出してください。

パラメータpの値が同じで、負の二項分布に従う独立な確率変数r ₁とr ₂の合計は、同じpを持ち、 r の値がr ₁ + r ₂である負の二項分布に従います。 

この性質は、定義をこのように一般化しても維持され、負の二項分布が無限に分割可能であることを素早く確認する方法を提供する。

以下の漸化式が成り立つ。

確率質量関数について $${\displaystyle {\begin{cases}(k+1)\Pr(X=k+1)-(1-p)\Pr(X=k)(k+r)=0,\\[5pt]\Pr(X=0)=(1-p)^{r}.\end{cases}}}$$

その瞬間のために${\displaystyle m_{k}=\mathbb {E} (X^{k}),}$$${\displaystyle m_{k+1}=rPm_{k}+(P^{2}+P){dm_{k} \over dP},\quad P:=(1-p)/p,\quad m_{0}=1.}$$

キュムラントについては $${\displaystyle \kappa _{k+1}=(Q-1)Q{d\kappa _{k} \over dQ},\quad Q:=1/p,\quad \kappa _{1}=r(Q-1).}$$

負の二項分布に従う確率変数の列を考えます。停止パラメータr は無限大に発散し、各試行における成功確率pは 1 に収束しますが、分布の平均 (すなわち、期待される失敗回数) は一定に保たれます。この平均をλとすると、パラメータpはp = r /( r + λ )となります。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Mean:}}\quad &\lambda ={\frac {(1-p)r}{p}}\quad \Rightarrow \quad p={\frac {r}{r+\lambda }},\\{\text{Variance:}}\quad &\lambda \left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)>\lambda ,\quad {\text{thus always overdispersed}}.\end{aligned}}}$$

このパラメータ化の下では、確率質量関数は次のようになります。 $${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\cdot \Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot {\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)\;(r+\lambda )^{k}}}\cdot {\frac {1}{\left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)^{r}}}}$$

ここで、 r → ∞の極限を考えると、2番目の因子は1に収束し、3番目の因子は指数関数に収束します。 $${\displaystyle \lim _{r\to \infty }f(k;r,p)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{e^{\lambda }}},}$$これは、期待値λを持つポアソン分布に従う確率変数 の質量関数です。 

言い換えれば、代替パラメータ化された負の二項分布はポアソン分布に収束し、 r はポアソン分布からのずれを制御します。このため、負の二項分布はポアソン分布の頑健な代替として適しており、 rが大きい場合はポアソン分布に近づきますが、 rが小さい場合はポアソン分布よりも大きな分散を持ちます。 $${\displaystyle \operatorname {Poisson} (\lambda )=\lim _{r\to \infty }\operatorname {NB} \left(r,{\frac {r}{r+\lambda }}\right).}$$

負の二項分布は、ポアソン分布の連続混合（つまり複合確率分布）としても生じ、ポアソン率の混合分布はガンマ分布になります。つまり、負の二項分布はポアソン( λ )分布と見なすことができ、λ自体は形状r、尺度θ = (1 − p )/ p、または対応する率β = p /(1 − p )のガンマ分布として分布する確率変数です。

この記述の背後にある直感を説明するために、強度pと1 − pを持つ 2 つの独立したポアソン過程「成功」と「失敗」を考えます。成功過程と失敗過程を合わせると、強度 1 の単一のポアソン過程と等価になります。この過程の発生は、対応する独立したコイン投げで表が出る確率がpの場合に成功、そうでない場合は失敗となります。r が計数数である場合、コイン投げの結果から、r番目の失敗までの成功のカウントは、パラメータrと1 − pを持つ負の二項分布に従うことがわかります。ただし、このカウントは、失敗ポアソン過程におけるr番目の発生のランダムな時刻Tにおける成功ポアソン過程のカウントでもあります。成功のカウントは、平均pTのポアソン分布に従います。ここで、Tは強度1 − pのポアソン過程におけるr回の発生の待ち時間、つまり、Tは形状パラメータrと強度1 − pのガンマ分布に従います。したがって、負の二項分布は、平均pTのポアソン分布と等価であり、確率変数Tは形状パラメータrと強度(1 − p )のガンマ分布に従います。前の段落は、λ = pTが形状パラメータrと強度(1 − p )/ pのガンマ分布に従うため成り立ちます。

以下の形式的な導出（ rが自然数であることに依存しない）は、直感を裏付けている。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Poisson} (\lambda )}(k)\times f_{\operatorname {Gamma} \left(r,\,{\frac {p}{1-p}}\right)}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\times {\frac {1}{\Gamma (r)}}\left({\frac {p}{1-p}}\lambda \right)^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\left({\frac {p}{1-p}}\,\right)\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{r+k-1}e^{-\lambda {\frac {p+1-p}{1-p}}}\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\Gamma (r+k)(1-p)^{k+r}\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Gamma} \left(k+r,{\frac {1}{1-p}}\right)}(\lambda )\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&{\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;(1-p)^{k}\,p^{r}\\[8pt]={}&f(k;r,p).\end{aligned}}}$$

このため、負の二項分布はガンマ-ポアソン（混合）分布としても知られています。負の二項分布はもともとガンマ-ポアソン分布の極限として導出されました。^{[ 20 ]}

Y _{r が}パラメータrとp を持ち、サポートが{0, 1, 2, ...}である負の二項分布に従う確率変数である場合、Y _{r は}パラメータpを持つ幾何分布( {0, 1, 2, ...}上) に従うr 個の独立変数の和となります。中心極限定理の結果として、Y _r (適切にスケーリングおよびシフトされた) は、十分に大きなrに対して近似的に正規分布になります。 

さらに、B _{s + r}がパラメータs + rおよびpを持つ二項分布に従う確率変数である場合、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y_{r}\leq s)&{}=1-I_{p}(s+1,r)\\[5pt]&{}=1-I_{p}((s+r)-(r-1),(r-1)+1)\\[5pt]&{}=1-\Pr(B_{s+r}\leq r-1)\\[5pt]&{}=\Pr(B_{s+r}\geq r)\\[5pt]&{}=\Pr({\text{after }}s+r{\text{ trials, there are at least }}r{\text{ successes}}).\end{aligned}}}$$

この意味で、負の二項分布は二項分布の「逆」分布である。

パラメータpの値が同じで、負の二項分布に従う独立な確率変数r ₁とr ₂の合計は、同じpを持ち、 r の値がr ₁ + r ₂である負の二項分布に従います。 

負の二項分布は無限に分割可能である。つまり、Y が負の二項分布に従う場合、任意の正の整数nに対して、 Yと同じ分布を持つ独立同分布の確率変数Y ₁、 ...、Y _nが存在する。

負の二項分布NB( r , p ) は、複合ポアソン分布として表すことができる。${\textstyle (Y_{n})_{n\,\in \,\mathbb {N} }}$は、それぞれが対数級数分布Log( p )を持ち、確率質量関数が である、独立かつ同一の分布に従う確率変数の列を表す。

$${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {-p^{k}}{k\ln(1-p)}},\qquad k\in {\mathbb {N} }.}$$

N を数列とは独立した確率変数とし、Nが平均λ = − r ln(1 − p )のポアソン分布に従うと仮定する。すると、確率和は

$${\displaystyle X=\sum _{n=1}^{N}Y_{n}}$$

はNB( r , p )分布に従います。これを証明するために、確率母関数G _NとG _{Y 1}の合成であるXの確率母関数G _Xを計算します。

$${\displaystyle G_{N}(z)=\exp(\lambda (z-1)),\qquad z\in \mathbb {R} ,}$$

そして

$${\displaystyle G_{Y_{1}}(z)={\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},}$$

我々は得る

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X}(z)&=G_{N}(G_{Y_{1}}(z))\\[4pt]&=\exp \left[\lambda \left({\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}-1\right)\right]\\[1ex]&=\exp \left[-r\left(\ln(1-pz)-\ln(1-p)\right)\right]\\[1ex]&=\left({\frac {1-p}{1-pz}}\right)^{r},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},\end{aligned}}}$$

これはNB( r , p )分布の確率母関数です。この最後の式は次のように書くことができます。${\displaystyle C(1-pz)^{-r}}$定数Cの場合。「負の二項分布」という名前はこの二項分布に反映されています。${\displaystyle (1-pz)}$負の項を負のべき乗にすることで${\displaystyle -r}$⁠ .

以下の表は、一連の抽選における成功回数に関連する4つの分布を示しています。

負の二項分布は、ポアソン分布および二項分布とともに、 （a、b、0）分布クラスに属します。これら3つの分布はすべて、パンジャー分布の特殊なケースです。また、これらは自然指数型分布族にも属します。

kとrを整数とし、kは非負、rは正とする。成功確率pの独立なベルヌーイ試行の系列において、負の二項分布はk回の成功とr回の失敗の確率を表し、最後の試行で失敗する。したがって、負の二項分布は、各試行でpの成功確率を持つベルヌーイ過程において、r回目の失敗までの成功回数の確率分布を表す。

次の例を考えてみましょう。サイコロを繰り返し投げ、1が出たら失敗とします。各試行での成功確率は5/6です。3回目の失敗までの成功回数は、無限集合{0, 1, 2, 3, ...}に属します。この成功回数は、負の二項分布に従う確率変数です。

r = 1の場合、最初の失敗までの成功回数の確率分布（つまり、最初の失敗が( k + 1)番目の試行で発生する確率）が得られ、これは幾何分布になります。 $${\displaystyle f(k;r,p)=(1-p)\cdot p^{k}}$$

負の二項分布、特に上述の代替パラメータ化においては、ポアソン分布の代替として使用できます。これは、標本分散が標本平均を超える、正の無限範囲にわたる離散データに特に有効です。このような場合、観測値は平均が分散に等しいポアソン分布に比べて過分散しています。したがって、ポアソン分布は適切なモデルではありません。負の二項分布はポアソン分布よりもパラメータが1つ多いため、2番目のパラメータを使用して平均とは独立に分散を調整できます。いくつかの離散確率分布のキュムラントを参照してください。

この手法の応用例としては、北大西洋における熱帯低気圧の年間発生数や、ヨーロッパ上空における冬季の温帯低気圧の月次から6ヶ月ごとの発生数などがあり、これらの場合、分散は平均よりも大きくなります。^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} 適度な過分散の場合、これは過分散ポアソン分布とほぼ同様の結果をもたらす可能性があります。^{[ 26 ] [ 27 ]}

負の二項分布モデルは、過分散が非常に一般的なカウントデータの分析において、生態学や生物多様性研究で広く用いられています。これは、過分散が、種や群集がクラスターを形成するなど、生物学的凝集を示しているためです。過分散を無視すると、モデルパラメータが著しく過大評価され、誤った統計的推論につながる可能性があります。負の二項分布は、分散が平均の2乗に比例して変化することを許容することで、過分散カウントに効果的に対処します。追加の分散パラメータは、2乗項の傾きを制御し、過分散の深刻度を決定します。このモデルの2乗平均-分散関係は、多くの研究からの経験的証拠によって裏付けられているように、過分散を扱うための現実的なアプローチであることが証明されています。全体として、NBモデル​​には2つの魅力的な特徴があります。(1) 分散パラメータをクラスタリングまたは凝集の指標として簡単に解釈できること、(2) 確率質量関数の閉じた表現を特徴とする扱いやすい形式であること。^{[ 28 ]}

遺伝学では、負の二項分布は、ハイスループットRNAおよびDNAシーケンス実験からの離散的なシーケンスリードカウントの形式のデータをモデル化するためによく使用されます。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

感染症の疫学では、1人の感染者からの二次感染の過分散数（スーパースプレッディングイベント）をモデル化するために、ポアソン分布よりも負の二項分布がより良い選択肢として使用されてきました。^{[ 33 ]}

負の二項分布は、粒子衝突実験における多重度観測の広範囲に対して最も効果的な統計モデルとなっています。${\displaystyle p{\bar {p}},\ hh,\ hA,\ AA,\ e^{+}e^{-}}$^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} (概要については^{[ 39 ]}を参照)、物質のスケール不変^{特性であると主張されており、 [ 40 ] [ 41 ]}宇宙領域内の銀河の数を予測する天文学的観測に最もよく適合します。 ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}これらの文脈における負の二項分布の有効性の現象論的正当化は、1973 年の最初の観測以来 50 年間不明のままでした。 ^{[ 46 ]} 2023 年に、スコット V. テズラフによって第一原理からの証明ミンコフスキー空間標準的な粒子のの動的方程式の対称性から生じることが示されました。 ^{[ 47 ]}おおよそ、予想される試行回数を考慮すると${\displaystyle \langle n\rangle }$そして期待される成功数${\displaystyle \langle r\rangle }$、 どこ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {n}}\rangle -\langle r\rangle &=k,&\langle p\rangle &={\frac {\langle r\rangle }{\langle {\mathcal {n}}\rangle }}\\[1ex]\implies \langle {\mathcal {n}}\rangle &={\frac {k}{1-\langle p\rangle }},&\langle {r}\rangle &={\frac {k\langle p\rangle }{1-\langle p\rangle }},\end{aligned}}}$$

同型な方程式のセットは、質量を持つ粒子の標準的な集合の相対論的電流密度のパラメータと同一視できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\left\langle \rho ^{2}\right\rangle -\left\langle j^{2}\right\rangle &=c^{2}\rho _{0}^{2},&\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle &={\frac {\left\langle j^{2}\right\rangle }{c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle }}\\[1ex]\implies c^{2}\left\langle \rho ^{2}\right\rangle &={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}}{1-\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }},&\left\langle j^{2}\right\rangle &={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }{1-\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }},\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle \rho _{0}}$静止密度は、${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle }$は相対論的平均二乗密度であり、${\displaystyle \langle j^{2}\rangle }$は相対論的平均二乗電流密度であり、${\displaystyle \langle \beta _{v}^{2}\rangle =\langle v^{2}\rangle /c^{2}}$、 どこ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$は粒子群の平均二乗速度であり、${\displaystyle c}$は光速であり、以下の全単射写像を確立することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\rho _{0}^{2}&\mapsto k,&\langle \beta _{v}^{2}\rangle &\mapsto \langle p\rangle ,\\[1ex]c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle &\mapsto \langle {\mathcal {n}}\rangle ,&\langle j^{2}\rangle &\mapsto \langle r\rangle .\end{aligned}}}$$

上記の対応関係の厳密な別の証明は、ファインマン経路積分を介して量子力学によっても実証されている。^{[ 47 ]}