応用 統計学 において、 分散安定化変換と は、グラフィカルな探索的データ分析における考慮を簡素化するため、または単回帰分析や 分散分析手法の適用を可能にするために特に選択される データ変換 である 。 [1]
概要 分散安定化変換を選択する目的は、 データセット内の値 x に適用する単純な関数 ƒ を見つけて、値 yの変動性が平均値と関係のない新しい値 y = ƒ ( x ) を作成することです。たとえば、値 x が異なる ポアソン分布 からの実現値であるとします。つまり、分布はそれぞれ異なる平均値 μ を 持ちます。この場合、ポアソン分布では分散が平均と同じであるため、分散は平均とともに変化します。ただし、単純な分散安定化変換では、
ええ =
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}\,}
を適用すると、観測値に関連する標本分散はほぼ一定になります。 詳細といくつかの代替変換については、
Anscombe 変換を参照してください。
分散安定化変換は、ポアソン分布や 二項分布などの特定のパラメトリック分布族ではよく知られていますが、いくつかの種類のデータ解析はより経験的に進められます。たとえば、 べき乗変換 を検索して 適切な固定変換を見つけるなどです。あるいは、データ解析によって分散と平均の関係の関数形が示唆される場合、これを使用して分散安定化変換を推論することができます。 [2] したがって、平均 μ に対して、
var （ バツ ） = h （ μ ） 、
{\displaystyle \operatorname {var} (X)=h(\mu ),\,}
分散安定化変換の適切な基底は
ええ ∝
∫
x
1
h （ μ ）
d μ 、
{\displaystyle y\propto \int ^{x}{\frac {1}{\sqrt {h(\mu )}}}\,d\mu ,}
ここで、便宜上、任意の積分定数と任意のスケーリング係数を選択できます。
例: 相対分散 Xが 正の確率変数で、ある定数sに対して分散が h ( μ ) = s 2 μ 2 と与えられる場合 、標準偏差は平均に比例し、これは固定 相対誤差 と呼ばれます。この場合、分散安定化変換は
ええ =
∫
x
d μ
s
2
μ
2
=
1 s
行 （ x ） ∝ ログ （ x ） 。
{\displaystyle y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\ln (x)\propto\log(x)\,.}
つまり、分散安定化変換は対数変換です。
例: 絶対値と相対値の和 分散が h ( μ ) = σ 2 + s 2 μ 2 と与えられる場合、 | μ | が十分に小さいときは固定分散 σ 2 によって分散が支配され、 | μ | が十分に大きいときは 相対分散 s 2 μ 2 によって分散が支配されます。この場合、分散安定化変換は
ええ =
∫
x
d μ
σ
2
+
s
2
μ
2
=
1 s
アシン
x
σ
/
s
∝ アシン
x λ
。
{\displaystyle y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}+s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1 }{s}}\operatorname {asinh} {\frac {x}{\sigma /s}}\propto \operatorname {asinh} {\frac {x}{\lambda }}\,.}
つまり、分散安定化変換は、 λ = σ / s の スケール値 x / λ の逆双曲正弦 です。
例: ピアソン相関 フィッシャー 変換は 、ピアソン相関係数の分散安定化変換です。
デルタ法との関係 ここでは デルタ法 を大まかに説明していますが、分散安定化変換との関係を理解するには十分です。より正式なアプローチについては、 デルタ法を 参照してください。
をランダム変数とし、 および とします 。 を定義します 。 ここで は 正規関数です。 の一次テイラー近似は次の ようになります。
バツ
{\displaystyle X}
え [ バツ ] = μ
{\displaystyle E[X]=\mu }
ヴァール （ バツ ） =
σ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}}
はい = グ （ バツ ）
{\displaystyle Y=g(X)}
グ
{\displaystyle g}
はい = グ （ x ）
{\displaystyle Y=g(x)}
はい = グ （ バツ ） ≈ グ （ μ ） +
グ ′
（ μ ） （ バツ − μ ）
{\displaystyle Y=g(X)\approx g(\mu )+g'(\mu )(X-\mu )}
上記の式から次の式が得られます。
え [ はい ] ≈ グ （ μ ）
{\displaystyle E[Y]\approx g(\mu )}
そして
ヴァール [ はい ] ≈
σ
2
グ ′
（ μ
）
2
{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx \sigma ^{2}g'(\mu )^{2}}
この近似法はデルタ法と呼ばれます。
ここで、および と なる ランダム変数を考えてみましょう 。分散と平均の関係に注目してください。これは、たとえば線形モデルにおける 異分散性 を意味します。したがって、目標は、が期待値から（少なくとも近似的に）独立した分散を持つ
ような 関数を見つけることです。
バツ
{\displaystyle X}
え [ バツ ] = μ
{\displaystyle E[X]=\mu }
ヴァール [ バツ ] = h （ μ ）
{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=h(\mu )}
グ
{\displaystyle g}
はい = グ （ バツ ）
{\displaystyle Y=g(X)}
条件 を課すと 、この等式は次の微分方程式を意味します。
ヴァール [ はい ] ≈ h （ μ ）
グ ′
（ μ
）
2
=
絶え間ない
{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx h(\mu )g'(\mu )^{2}={\text{定数}}}
d グ
d μ
=
Ｃ
h （ μ ）
{\displaystyle {\frac {dg}{d\mu }}={\frac {C}{\sqrt {h(\mu )}}}}
この常微分方程式は、変数を分離することにより、次の解を持ちます。
グ （ μ ） = ∫
Ｃ d μ
h （ μ ）
{\displaystyle g(\mu )=\int {\frac {C\,d\mu }{\sqrt {h(\mu )}}}}
この最後の表現はMSバートレットの 論文で初めて登場した 。 [3]
参考文献
^ Everitt, BS (2002). ケンブリッジ統計辞典 （第2版）. CUP. ISBN 0-521-81099-X 。 ^ ドッジ、Y. (2003). オックスフォード統計用語辞典 . OUP. ISBN 0-19-920613-9 。 ^ Bartlett, MS (1947). 「変換の使用」. バイオメトリクス . 3 : 39–52. doi :10.2307/3001536. 
![{\displaystyle E[X]=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ed977b56d8e513d9eb92193de5454ac545231e)
![{\displaystyle E[Y]\approx g(\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9350eb857fea07cb25e9dd073a6305e754a15fd4)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx \sigma ^{2}g'(\mu )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc73d0925a27f157089c24ac4f0c8279500d4271)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=h(\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfa6701fb77d1ad1e2283d3a5a9b2d03d677f6f)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx h(\mu )g'(\mu )^{2}={\text{定数}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c3a51e267c4bd4aa63bc071a60cf7a66675dcc)
