タッチャード多項式

ジャック・タッチャール （1939）が研究したタッチャール多項式は、指数多項式またはベル多項式とも呼ばれ、次のように定義される 二項式の多項式列から構成される。

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k},}$

ここで、は第二種スターリング数、すなわち、大きさnの集合をk個の互いに素な空でない部分集合に分割する数である。 ^{[1] [2] [3] [4]}${\displaystyle S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}$

最初のいくつかのタッチャード多項式は

${\displaystyle T_{1}(x)=x,}$

${\displaystyle T_{2}(x)=x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{3}(x)=x^{3}+3x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{4}(x)=x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{5}(x)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}+15x^{2}+x.}$

n次のタッチャード多項式の 1 における値はn次のベル数、つまりサイズnの集合の分割数です。

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}.}$

Xが^期待値λのポアソン分布_に従うランダム変数である場合、そのn次のモーメントはE( Xn )= Tn (λ)となり、次のように定義されます。

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}} 。}$

この事実を利用すると、この多項式列が二項式型であること、つまり恒等式列を満たすこと がすぐに証明できます。

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{nk}(\mu )。 }$

タッチャード多項式は、すべての多項式においてxの係数が1 となる唯一の二項式型の多項式列を構成します。

タッチャード多項式はロドリゲスのような公式を満たします。

${\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.}$

タッチャード多項式は再帰関係を満たす

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}$

そして

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

x = 1の場合、これはベル数の漸化式に簡約されます。

この式と定義の両方を一般化すると、Spiveyの式^{[5]の一般化となる。}

$${\displaystyle T_{n+m}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}k^{mj}T_{j}(x)}$$

アンブラル記法 T ⁿ ( x )= T _n ( x )を使用すると、これらの式は次のようになります。

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n},}$^{[説明が必要]}

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

タッチャード多項式の 生成関数は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},}$

これは第二種スターリング数の生成関数に対応します。

Touchard 多項式は等高線積分表現を持ちます。

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.}$

タッチャード多項式の零点はすべて実数かつ負である。この事実は1967年にLHハーパーによって発見された。^[6]

左端のゼロの絶対値は^{[7]によって上限が定められている。}

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

ただし、左端のゼロはインデックスnとともに線形に増加すると推測されます。

タッチャード多項式のマーラー測度は 次のように推定できる: ^[8]${\displaystyle M(T_{n})}$

${\displaystyle {\frac {\lbrace \textstyle {n \atop \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\},}$

ここで、およびは、それぞれ、およびが最大となる最大の 2 つのkインデックス のうちの最小のものです 。 ${\displaystyle \Omega_{n}}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$

• 完全ベル多項式は タッチャード多項式の多変量一般化として見ることができる。${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$
• タッチャード多項式（およびベル数）は、上記の積分の実部を使用して非整数順に一般化できます。

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.}$

• ベル多項式

• Touchard, Jacques (1939)、「Sur les Cycles des substitutions」、Acta Mathematica、70 (1): 243–297、doi : 10.1007/BF02547349、ISSN  0001-5962、MR  1555449