因果関係セット

因果集合プログラムは、量子重力へのアプローチの一つである。その基本原理は、時空は根本的に離散的であること（因果集合の要素と呼ばれる離散的な時空点の集合）と、時空事象は半順序によって関連付けられていることである。この半順序は、時空事象間の因果関係という物理的な意味を持つ。

因果律は物理学において常に基本的な役割を果たしてきた。因果律を起点として用いる初期の試みは、ヘルマン・ワイルとヘンドリック・ローレンツによって行われた。^{[ 1 ]}アルフレッド・ロブは1914年と1936年の2冊の本で、因果的先行性が重要な役割を果たす公理的枠組みを提案した。^{[ 2 ]}時空の因果構造を量子化する最初の明示的な提案は、スマティ・スーリヤ^{[ 2 ]}によってEHクロンハイマーとロジャー・ペンローズ^{[ 3 ]}に帰せられており、彼らは「多様体とは全く異なる構造を許容する」ために因果空間を発明した。因果空間は、因果的先行性だけでなく時間的先行性も考慮して公理的に定義される。

因果集合のプログラムは、デイビッド・マラメントの定理^{[ 4 ]}に基づいており、クリストファー・ジーマン^{[ 5 ]}、スティーブン・ホーキング、ARキング、PJマッカーシー^{[ 6 ] [ 2 ]}による以前の結果を拡張したものです。 マラメントの定理は、過去と未来を区別する2つの時空の間に因果構造を保存する全単射写像が存在する場合、その写像は共形同型写像であると述べています。未決定の共形因子は、時空の領域の体積に関連しています。この体積因子は、各時空点の体積要素を指定することで復元できます。時空領域の体積は、その領域内の点の数を数えることで見つけることができます。

因果集合はラファエル・ソーキンによって提唱され、彼は現在もこのプログラムの主要な推進者である。彼は上記の議論を特徴づけるために「順序＋数＝幾何学」というスローガンを考案した。このプログラムは、局所的なローレンツ不変性を保持しながらも、時空が根本的に離散的であるという理論を提供する。

因果集合（または原因集合）とは、${\displaystyle C}$部分順序関係を持つ${\displaystyle \preceq }$それは

• 再帰的: すべての${\displaystyle x\in C}$、 我々は持っています${\displaystyle x\preceq x}$。
• 反対称: すべての${\displaystyle x,y\in C}$、 我々は持っています${\displaystyle x\preceq y}$そして${\displaystyle y\preceq x}$暗示する${\displaystyle x=y}$。
• 他動詞: すべての${\displaystyle x,y,z\in C}$、 我々は持っています${\displaystyle x\preceq y}$そして${\displaystyle y\preceq z}$暗示する${\displaystyle x\preceq z}$。
• 局所的に有限：すべての${\displaystyle x,z\in C}$、 我々は持っています${\displaystyle \{y\in C|x\preceq y\preceq z\}}$は有限集合である。

私たちは書きます${\displaystyle x\prec y}$もし${\displaystyle x\preceq y}$そして${\displaystyle x\neq y}$。

セット${\displaystyle C}$時空事象の集合と順序関係を表す${\displaystyle \preceq }$事象間の因果関係を表す（ローレンツ多様体における同様の考え方については、因果構造を参照）。

この定義では反射的慣習を使用していますが、順序関係が非反射的かつ非対称である非反射的慣習を選択することもできました。

ローレンツ多様体（閉じた因果曲線を持たない）の因果関係は、最初の3つの条件を満たす。時空の離散性を導入するのは、局所的な有限性条件である。

因果集合が与えられたとき、それをローレンツ多様体に埋め込むことができるかどうかを問うことができます。埋め込みとは、因果集合の要素を多様体内の点に写像し、因果集合の順序関係が多様体の因果順序と一致するような写像のことです。ただし、埋め込みが適切であるためには、さらに別の基準が必要です。多様体のある領域に写像される因果集合の要素の数が、平均的にその領域の体積に比例する場合、埋め込みは忠実であると言えます。この場合、因果集合は「多様体の​​ような」ものと考えることができます。

因果集合プログラムの中心的な予想である「基本予想」（Hauptvermutung）とは、大きなスケールで類似していない2つの時空に、同じ因果集合を忠実に埋め込むことはできないというものである。

この予想を正確に定義するのは難しい。なぜなら、2つの時空が「大きなスケールで類似している」と判断するのが困難だからである。時空を因果集合としてモデル化するには、「多様体の​​ような」因果集合にのみ注目する必要がある。因果集合が与えられた場合、これは判断が難しい性質である。

散布

因果集合が多様体に埋め込めるかどうかを判断する難しさは、別の方向からアプローチすることもできる。ローレンツ多様体に点を散りばめることで、因果集合を作り出すことができる。時空領域の体積に比例して点を散りばめ、多様体内の因果関係を利用して散りばめられた点間に順序関係を誘導することで、（構成上）多様体に忠実に埋め込むことができる因果集合を作り出すことができる。

ローレンツ不変性を維持するために、この点の散布はポアソン過程を用いてランダムに行われなければならない。したがって、点の散布の確率は${\displaystyle n}$体積領域へのポイント${\displaystyle V}$は

${\displaystyle P(n)={\frac {(\rho V)^{n}e^{-\rho V}}{n!}}}$

どこ${\displaystyle \rho }$これは散水密度です。

規則的な格子状に点を散りばめると、点の数が領域の体積に比例しなくなる。

多様体におけるいくつかの幾何学的構成は、因果集合にも適用できます。これらを定義する際には、因果集合自体のみに依拠し、それが埋め込まれている可能性のある背景時空には依拠しないように注意する必要があります。これらの構成の概要については、^{[ 7 ]を参照してください。}

測地学

因果関係セットにおけるリンクは、要素のペアである。${\displaystyle x,y\in C}$そのため${\displaystyle x\prec y}$しかし、${\displaystyle z\in C}$そのため${\displaystyle x\prec z\prec y}$。

チェーンとは、要素の連続のことである。${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$そのため${\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}}$のために${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$鎖の長さは${\displaystyle n}$.もしすべての${\displaystyle x_{i},x_{i+1}}$鎖の中にリンクが形成されると、その鎖はパスと呼ばれる。

これを用いて、2つの因果集合要素間の測地線の概念を定義できます。ただし、それらが順序比較可能、つまり因果的に結びついていることが条件です（物理的には、これはそれらが時間的であることを意味します）。2つの要素間の測地線${\displaystyle x\preceq y\in C}$は、次のようなリンクのみで構成されるチェーンです。

1. ${\displaystyle x_{0}=x}$そして${\displaystyle x_{n}=y}$
2. チェーンの長さ、${\displaystyle n}$は、すべてのチェーンの中で最大です。${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$。

一般的に、類似する2つの要素の間には、複数の測地線が存在する可能性がある。

ミルハイム^{[ 8 ]}は、そのような測地線の長さは、2つの時空点を結ぶ時間的測地線に沿った固有時間に正比例するはずだと最初に提唱した。この予想の検証は、平坦な時空への散布から生成された因果集合を用いて行われた。比例関係は成立することが示されており、曲がった時空への散布でも成立すると予想されている。

進行中の課題は、因果集合の正しいダイナミクスを開発することです。これにより、どの因果集合が物理的に現実的な時空に対応するかを決定する一連のルールが提供されます。因果集合のダイナミクスを開発する最も一般的なアプローチは、量子力学の履歴の合計バージョンに基づいています。このアプローチでは、因果集合を一度に 1 つの要素で成長させることにより、因果集合の合計を実行します。要素は量子力学のルールに従って追加され、干渉により、大きな多様体のような時空が寄与を支配することが保証されます。現時点でダイナミクスに最適なモデルは、要素が確率に従って追加される古典モデルです。このモデルは、David Rideout とRafael Sorkinにより、古典的逐次成長 (CSG) ダイナミクスとして知られています。^{[ 10 ]}古典的逐次成長モデルは、新しい要素を 1 つずつ追加することによって因果集合を生成する方法です。新しい要素を追加する方法に関するルールが指定され、モデルのパラメータに応じて、異なる因果集合が生成されます。

量子力学の経路積分定式化に類似して、因果集合の量子力学を開発するアプローチの1つは、因果集合の和アプローチで作用原理を適用することである。Sorkinは、 d'Alembertianの離散アナログを提案しており、これはRicci曲率スカラーを定義するために使用でき、それによって因果集合上のBenincasa–Dowker作用を定義できる。^{[ 11 ] [ 12 ]}モンテカルロシミュレーションは、 Benincasa–Dowker作用を使用して2Dで連続相の証拠を提供している。^{[ 13 ]}

• 因果動的三角測量（CDT）
• 因果構造
• 一般相対性理論
• 秩序理論

• 量子重力への因果集合アプローチ：ジョー・ヘンソンによる因果集合に関するレビュー論文
• 因果関係の集合としての時空― ルカ・ボンベリ、ジョーハン・リー、デイビッド・マイヤー、ラファエル・D・ソーキンによる初期の論文の一つ
• 順序から学ぶ幾何学：因果集合- ラファエル・D・ソーキンによるアインシュタイン・オンライン掲載の非専門家向け記事
• 特集号：量子重力への因果集合アプローチ 古典重力と量子重力 第35巻、2018年