ワイブル分布

ワイブル確率変数の確率密度関数は^{[ 4 ] [ 5 ]}である。

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}}$

ここで、k > 0 は分布の形状パラメータ、λ > 0 は分布の尺度パラメータです。その相補累積分布関数は、伸長指数関数です。ワイブル分布は、他の多くの確率分布と関連しています。特に、指数分布( k = 1) とレイリー分布( k = 2 および )の間を補間します。$\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$[ ^{6 ]​}

量x が「故障までの時間」である場合、ワイブル分布は、ハザード率が時間のべき乗に比例する分布を与えます。形状パラメータkはそのべき乗に 1 を加えた値であり、したがってこのパラメータは次のように直接解釈できます。^{[ 7 ]}

• 値${\displaystyle k<1\,}$これは、ハザード率が時間とともに減少することを示しています（リンディ効果の場合と同様ですが、これはワイブル分布ではなくパレート分布^{[ 8 ]}に対応します）。これは、重大な「乳児死亡率」、つまり欠陥品が早期に故障し、欠陥品が母集団から淘汰されるにつれてハザード率が時間とともに減少する場合に発生します。イノベーションの普及の文脈では、これはネガティブな口コミを意味します。ハザード関数は、採用者の割合の単調減少関数です。
• 値${\displaystyle k=1\,}$これは、ハザード率が時間を通じて一定であることを示しています。これは、ランダムな外部イベントが死亡または故障を引き起こしていることを示唆している可能性があります。ワイブル分布は指数分布に縮小されます。
• 値${\displaystyle k>1\,}$これは、ハザード率が時間とともに増加することを示しています。これは、「老化」プロセス、つまり時間の経過とともに故障しやすくなる部品がある場合に起こります。イノベーションの普及という文脈では、これは肯定的な口コミを意味します。ハザード関数は、採用者の割合の単調増加関数です。この関数は最初は凸関数で、次に凹関数となり、変曲点があります。${\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,}$。

材料科学の分野では、強度分布の形状パラメータkはワイブル係数として知られています。イノベーションの普及という観点から見ると、ワイブル分布は「純粋な」模倣／拒絶モデルと言えます。

ワイブル分布の密度関数の形状は、kの値によって大きく変化します。 0 < k < 1 の場合、密度関数はx が上からゼロに近づくにつれて ∞ に近づき、厳密に減少します。k = 1 の場合、密度関数はx が上からゼロに近づくにつれて1/ λに近づき、厳密に減少します。 k > 1 の場合、密度関数はx が上からゼロに近づくにつれてゼロに近づき、最頻値まで増加し、その後減少します。 0 < k < 1 の場合、密度関数はx = 0で無限大の負の傾きを持ち、 1 < k < 2 の場合、 x = 0で無限大の正の傾きを持ち、 k > 2の場合、 x = 0で傾きはゼロになります。k = 1の場合、密度はx = 0 で有限の負の傾きを持ちます。 k = 2 の場合、密度はx = 0 で有限の正の傾きを持ちます。 k が無限大に近づくと、ワイブル分布はx = λを中心とするディラックのデルタ分布に収束します。さらに、歪度と変動係数は形状パラメータのみに依存します。ワイブル分布の一般化として、タイプIIIの双曲線分布があります。

ワイブル分布の累積分布関数は

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

x ≥ 0の場合、F ( x ; k ; λ) = 0 となり、 x < 0 の場合、F ( x ; k ; λ) = 0 となります。

x = λの場合、すべてのkの値に対してF ( x ; k ; λ) =  1  − e ⁻¹ ≈ 0.632 となります。逆に、F ( x ; k ; λ ) = 0.632 のとき、 xの値は≈ λです。      

ワイブル分布の分位点（逆累積分布）関数は

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

0 ≤ p < 1 の場合。

故障率h（またはハザード関数）は次のように表される。

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

平均故障間隔時間（MTBF）は

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}$

ワイブル分布に従う確率変数の対数のモーメント母関数は^{[ 13 ]}で与えられる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

ここでΓはガンマ関数である。同様に、log Xの特性関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

特に、Xのn番目の生モーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

ワイブル確率変数の平均と分散は次のように表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

そして

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

歪度は次のように表される。

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}$

どこ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$、これは次のように書くこともできます。

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

ここで、平均はμで表され、標準偏差はσで表されます。

過剰尖度は次のように与えられる。

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

どこ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$尖度超過は次のように表すこともできます。

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.}$

X自体のモーメント生成関数にはさまざまな表現が利用可能です。冪級数として、生のモーメントがすでにわかっているので、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

あるいは、積分を直接扱うこともできる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

パラメータkが有理数であると仮定すると、k = p / q ( pとqは整数) と表され、この積分は解析的に評価できます。^{[ a ]} tを− tに置き換えると、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

ここで、GはマイヤーG関数である。

この特徴的な関数は Muraleedharan らによっても得られています。 (2007) ^{[ 16 ]}

させて${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$独立同分布のワイブル確率変数で、尺度パラメータは${\displaystyle \lambda }$形状パラメータ${\displaystyle k}$これらの最小値が${\displaystyle n}$確率変数は${\displaystyle Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$すると、累積確率分布は${\displaystyle Z}$は

${\displaystyle F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.}$

つまり、${\displaystyle Z}$また、スケールパラメータを持つワイブル分布にも従います。${\displaystyle n^{-1/k}\lambda }$形状パラメータ付き${\displaystyle k}$。

いくつか修正する${\displaystyle \alpha >0}$。 させて${\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})}$非負であり、すべてゼロではない。${\displaystyle g_{1},...,g_{n}}$独立したサンプルである${\displaystyle {\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})}$、それから^{[ 17 ]}

• ${\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$
• ${\displaystyle \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)}$。

情報エントロピーは^{[ 18 ]}で与えられる。

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

どこ${\displaystyle \gamma }$はオイラー・マスケローニ定数です。ワイブル分布は、x ^kの固定期待値がλ ^kに等しく、ln( x ^k ) の固定期待値が ln( λ ^k ) −に等しい非負の実数確率変数の最大エントロピー分布です。  ${\displaystyle \gamma }$。

2 つのワイブル分布間のカルバック・ライブラー情報量は^{[ 19 ]で与えられます。}

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$

ワイブル分布がデータに適合しているかどうかは、ワイブルプロットを用いて視覚的に評価できる。^{[ 20 ]}ワイブルプロットは、経験累積分布関数をプロットしたものである。${\displaystyle {\widehat {F}}(x)}$Q-Qプロットの一種における特別な軸上のデータ。軸は${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$対${\displaystyle \ln(x)}$この変数変更の理由は、累積分布関数を線形化できるからである。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

これは標準的な直線の形をしていることがわかります。したがって、データがワイブル分布から得られたものであれば、ワイブルプロット上では直線が期待されます。

データから経験分布関数を得るにはさまざまなアプローチがあります。1つの方法は、各点の垂直座標を取得することです。

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$、

どこ${\displaystyle i}$データポイントのランクであり、${\displaystyle n}$はデータポイントの数です。^{[ 21 ] [ 22 ]}もう一つの一般的な推定値^{[ 23 ]}は

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.5}{n}}}$。

線形回帰は、適合度を数値的に評価し、ワイブル分布のパラメータを推定するためにも使用できます。勾配は形状パラメータについて直接情報を提供します。${\displaystyle k}$スケールパラメータ${\displaystyle \lambda }$推測することもできる。

ワイブル分布の変動係数は形状パラメータのみに依存します: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle CV^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}.}$

サンプル量を等しくする${\displaystyle s^{2}/{\bar {x}}^{2}}$に${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$形状パラメータのモーメント推定値${\displaystyle k}$ルックアップテーブルまたはグラフから読み取ることができます。${\displaystyle CV^{2}}$対${\displaystyle k}$より正確な推定値${\displaystyle {\hat {k}}}$根探索アルゴリズムを使用して解くことができます

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}={\frac {s^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}.}$

スケールパラメータのモーメント推定値は、第1モーメント方程式を用いて次のように求めることができる。

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {\bar {x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{\hat {k}}}\right)}}.}$

最尤推定量は${\displaystyle \lambda }$パラメータが与えられた${\displaystyle k}$[ ^{24 ]​}

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}}$

最尤推定量${\displaystyle k}$は、次の方程式のkの解である^{[ 25 ]}

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

この方程式は、${\displaystyle {\widehat {k}}}$暗黙のうちに、一般的に解く必要があるのは${\displaystyle k}$数値的な手段によって。

いつ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$は${\displaystyle N}$データセットから観測された最大のサンプル数${\displaystyle N}$サンプル、次に、${\displaystyle \lambda }$パラメータが与えられた${\displaystyle k}$[ ^{25 ]​}

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}$

また、その条件が与えられた場合、${\displaystyle k}$は

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

これもまた陰関数なので、一般的には解く必要がある。${\displaystyle k}$数値的な手段によって。