階乗モーメント

確率論において、階乗モーメントは、ランダム変数の階乗の下降の期待値または平均として定義される数学的量です。階乗モーメントは、非負の整数値ランダム変数の研究に役立ち、 ^[1]確率生成関数を使用して離散ランダム変数のモーメントを導出する際に発生します。

階乗モーメントは、離散的な数学的構造を研究する組み合わせ論という数学の分野における解析ツールとして機能します。^[2]

自然数rに対して、実数または複素数上の確率分布のr次の階乗モーメント、言い換えれば、その確率分布を持つランダム変数X^は[3]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]},}$

ここでEは期待値（演算子）であり、

${\displaystyle (x)_{r}:=\underbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)} _{r{\text{ factors}}}\equiv {\frac {x!}{(xr)!}}}$

は階乗の減少であり、これが名前の由来となっているが、( x ) _rという表記は数学の分野によって異なる。^{[a]もちろん、定義では期待値が意味を持つことが要求され、これは}( X ) _r ≥ 0またはE[|( X ) _r |] < ∞の場合に当てはまる。

Xをn回の試行における成功回数、p _rをn回の試行のうちいずれかr回が全て成功する確率とすると、 ^[5]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)p_{r}}$

確率変数Xがパラメータλのポアソン分布に従う場合、 Xの階乗モーメントは

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r},}$

これらは、第二種スターリング数を含むモーメントと比較すると、形式が単純です。

確率変数Xが成功確率p∈ [ 0,1]と試行回数nの二項分布に従う場合、 Xの階乗モーメントは^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r},}$

ここで慣例により、r > nの場合はおよび はゼロであると理解されます。 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}}$${\displaystyle (n)_{r}}$

確率変数Xが、母集団サイズN、母集団内の成功状態の数K∈ {0,..., N }の超幾何分布を持ち、n∈{0,..., N}を描く場合、Xの階乗モーメントは^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}} r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}.}$

ランダム変数Xがパラメータα > 0、β > 0、試行回数nのベータ二項分布に従う場合、 Xの階乗モーメントは

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}$

ランダム変数Xのr次の素モーメントは、その階乗モーメントを使って次の式で表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{r}]=\sum _{j=1}^{r}\left\{{r \atop j}\right\}\operatorname {E} [(X)_{j}],}$

ここで中括弧は第二種スターリング数を表します。

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