チェルノフ行き

確率論において、チェルノフ境界とは、確率変数のモーメント生成関数に基づいて、確率変数の裾の指数的に減少する上限のことである。このような指数境界の最小値は、チェルノフ境界またはチェルノフ・クラマー境界を形成し、指数よりも速く減少する可能性がある（たとえば、ガウス分布以下）。^{[1] [2]これは、}ベルヌーイ確率変数の和など、独立した確率変数の和に特に有用である。^{[3] [4]}

この限界値は、1952年の論文でこの方法を説明したヘルマン・チェルノフにちなんで名付けられることが多いが、 ^[5]チェルノフ自身はヘルマン・ルービンに帰属させている。^[6] 1938年にハラルド・クラメールは、現在クラメールの定理として知られているほぼ同じ概念を発表していた。

これは、マルコフの不等式やチェビシェフの不等式などの、裾の減衰に対してべき乗則の境界しか生成しない第 1 モーメントまたは第 2 モーメントベースの裾の境界よりも厳しい境界です。ただし、合計に適用する場合、チェルノフ境界ではランダム変数が独立していることが要求されますが、これはマルコフの不等式やチェビシェフの不等式のどちらにも要求されない条件です。

チェルノフ境界は、ベルンシュタインの不等式と関連しています。また、ホエフディングの不等式、ベネットの不等式、マクダーミッドの不等式を証明するのにも使用されます。

ランダム変数の一般的なチェルノフ境界は、マルコフの不等式を に適用することで得られます（そのため、指数マルコフ境界または指数モーメント境界と呼ばれることもあります）。 が正の場合、これは の右裾に、そのモーメント生成関数に関する境界を与えます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle e^{tX}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(t)=\operatorname {E} (e^{tX})}$

${\displaystyle \operatorname {P} \left(X\geq a\right)=\operatorname {P} \left(e^{tX}\geq e^{ta}\right)\leq M(t)e^{-ta}\qquad (t>0)}$

この境界はすべての正の に対して成り立つので、最小値を取ることができます。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \operatorname {P} \left(X\geq a\right)\leq \inf _{t>0}M(t)e^{-ta}}$

同じ分析を負の値で実行すると、左側の裾に同様の境界が得られます。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \operatorname {P} \left(X\leq a\right)=\operatorname {P} \left(e^{tX}\geq e^{ta}\right)\leq M(t)e^{-ta}\qquad (t<0)}$

そして

${\displaystyle \operatorname {P} \left(X\leq a\right)\leq \inf _{t<0}M(t)e^{-ta}}$

量は期待値、あるいは同等のとして表すことができます。 ${\displaystyle M(t)e^{-ta}}$${\displaystyle \operatorname {E} (e^{tX})e^{-ta}}$${\displaystyle \operatorname {E} (e^{t(Xa)})}$

指数関数は凸関数なので、Jensen の不等式 により となります。したがって、 のとき、右側の裾の境界は 1 以上であり、したがって自明です。同様に、 のとき、左側の境界は自明です。したがって、2 つの最小値を組み合わせて、両側チェルノフ境界を定義できます。これは、（中央値ではなく平均値で折り畳まれた） の折り畳まれた累積分布関数の上限を提供します。${\displaystyle \operatorname {E} (e^{tX})\geq e^{t\operatorname {E} (X)}}$${\displaystyle a\leq \operatorname {E} (X)}$${\displaystyle a\geq \operatorname {E} (X)}$$${\displaystyle C(a)=\inf _{t}M(t)e^{-ta}}$$${\displaystyle X}$

両側チェルノフ境界の対数は、速度関数（またはクラメール変換）として知られています。これは、ルジャンドル・フェンシェル変換またはキュムラント生成関数の凸共役に相当し、次のように定義されます。モーメント生成関数は対数凸なので、凸共役の性質により、チェルノフ境界は対数凹でなければなりません。チェルノフ境界は平均 で最大になり、変換に対して不変です。 ${\displaystyle I=-\log C}$ ${\displaystyle K=\log M}$$${\displaystyle I(a)=\sup _{t}at-K(t)}$$${\displaystyle C(\operatorname {E} (X))=1}$${\textstyle C_{X+k}(a)=C_{X}(a-k)}$

チェルノフ境界は、が単一の集中した質量（退化した分布）である場合に限り正確である。境界は、有界ランダム変数の極値またはそれを超える場合にのみ厳密であり、その場合、無限大に対して下限が達成される。無界ランダム変数の場合、境界はどこでも厳密ではないが、指数以下の因子までは漸近的に厳密である（「指数的に厳密」）。^[要出典]個々のモーメントは、解析の複雑さが増すという代償を払って、より厳密な境界を提供できる。^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

実際には、正確なチェルノフ境界は扱いにくく、解析的に評価するのが難しい場合があります。その場合は、代わりにモーメント（またはキュムラント）生成関数の適切な上限を使用できます（例：サブガウス チェルノフ境界を与えるサブ放物線 CGF）。

モーメント生成関数のみを使用して、ペイリー・ジグムント不等式を に適用することで裾確率の下限が得られ、次のようになります。(左裾の境界は負の に対して得られます)。ただし、チェルノフ境界とは異なり、この結果は指数的に厳密ではありません。 ${\displaystyle e^{tX}}$$${\displaystyle \operatorname {P} \left(X>a\right)\geq \sup _{t>0\land M(t)\geq e^{ta}}\left(1-{\frac {e^{ta}}{M(t)}}\right)^{2}{\frac {M(t)^{2}}{M(2t)}}}$$${\displaystyle t}$

テオドソプロス^[9]は指数傾斜法を用いてより厳密なMGFベースの下限値を構築した。

特定の分布（二項分布など）では、チェルノフ境界と同じ指数順序の下限が利用できる場合がよくあります。

X がn 個の独立したランダム変数X ₁、...、X _nの合計である場合、 Xのモーメント生成関数は個々のモーメント生成関数の積となり、次のようになります。

そして：

${\displaystyle \Pr(X\leq a)\leq \inf _{t<0}e^{-ta}\prod _{i}\operatorname {E} \left[e^{tX_{i}}\right]}$

特定のチェルノフ境界は、ランダム変数の特定のインスタンスのモーメント生成関数を計算することによって達成されます。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-t\cdot X_{i}}\right]}$${\displaystyle X_{i}}$

ランダム変数も同一分布( iid ) である場合、合計のチェルノフ境界は、単一変数のチェルノフ境界の単純な再スケーリングに縮小されます。つまり、n個の iid 変数の平均のチェルノフ境界は、単一変数のチェルノフ境界のn乗に相当します(クラメールの定理を参照)。

チェルノフ境界は、分布に関係なく、独立した有界ランダム変数の一般的な合計にも適用できます。これは、ヘフディングの不等式として知られています。証明は他のチェルノフ境界と同様のアプローチに従いますが、モーメント生成関数を境界付けるためにヘフディングの補題を適用します (ヘフディングの不等式を参照)。

ヘフディングの不等式。X 1 , ..., X _{n が}[a,b]の範囲の値を取る独立したランダム変数であるとする。Xをそれらの合計とし、 _μ = E [ X ]を合計の期待値とする。すると、任意のに対して、 ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle \Pr(X\leq \mu -t)<e^{-2t^{2}/(n(b-a)^{2})},}$

${\displaystyle \Pr(X\geq \mu +t)<e^{-2t^{2}/(n(b-a)^{2})}.}$

以下のセクションにおけるベルヌーイ確率変数の境界は、確率pが1に等しい ベルヌーイ確率変数に対して、${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\cdot X_{i}}\right]=(1-p)e^{0}+pe^{t}=1+p(e^{t}-1)\leq e^{p(e^{t}-1)}.}$

チェルノフ境界には、元の加法形式（絶対誤差の境界を与える）や、より実用的な乗法形式（平均に対する 誤差の境界を与える）など、さまざまな種類があります。

乗法的チェルノフ境界。X 1 , ..., X _{n が}{0, 1}の範囲の値を取る独立したランダム変数であるとする。Xをそれらの合計とし、μ = _E [ X ]を合計の期待値とする。すると、任意のδ > 0に対して、

${\displaystyle \Pr(X\geq (1+\delta )\mu )\leq \left({\frac {e^{\delta }}{(1+\delta )^{1+\delta }}}\right)^{\mu }.}$

同様の証明戦略を使用して、0 < δ < 1の場合、

${\displaystyle \Pr(X\leq (1-\delta )\mu )\leq \left({\frac {e^{-\delta }}{(1-\delta )^{1-\delta }}}\right)^{\mu }.}$

上記の式は実際には扱いにくいことが多いため、対数不等式のリストからの不等式に従う、より緩いがより便利な次の境界^[10]がよく使用されます。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {2\delta }{2+\delta }}\leq \log(1+\delta )}$

${\displaystyle \Pr(X\geq (1+\delta )\mu )\leq e^{-\delta ^{2}\mu /(2+\delta )},\qquad 0\leq \delta ,}$

${\displaystyle \Pr(X\leq (1-\delta )\mu )\leq e^{-\delta ^{2}\mu /2},\qquad 0<\delta <1,}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq \delta \mu )\leq 2e^{-\delta ^{2}\mu /3},\qquad 0<\delta <1.}$

の境界は自明であることに注意してください。 ${\displaystyle \delta =0}$

さらに、ランバートW関数のテイラー展開に基づいて、^[11]

${\displaystyle \Pr(X\geq R)\leq 2^{-xR},\qquad x>0,\ R\geq (2^{x}e-1)\mu .}$

次の定理はワシリー・ヘフディング^[12]によるもので、チェルノフ・ヘフディングの定理と呼ばれています。

チェルノフ・ヘフディング定理。X 1、...、X _{n が}{0, 1}の値を取るiidランダム変数であるとします。p ₌ E[ X ₁ ]およびε > 0とします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left({\frac {1}{n}}\sum X_{i}\geq p+\varepsilon \right)\leq \left(\left({\frac {p}{p+\varepsilon }}\right)^{p+\varepsilon }{\left({\frac {1-p}{1-p-\varepsilon }}\right)}^{1-p-\varepsilon }\right)^{n}&=e^{-D(p+\varepsilon \parallel p)n}\\\Pr \left({\frac {1}{n}}\sum X_{i}\leq p-\varepsilon \right)\leq \left(\left({\frac {p}{p-\varepsilon }}\right)^{p-\varepsilon }{\left({\frac {1-p}{1-p+\varepsilon }}\right)}^{1-p+\varepsilon }\right)^{n}&=e^{-D(p-\varepsilon \parallel p)n}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle D(x\parallel y)=x\ln {\frac {x}{y}}+(1-x)\ln \left({\frac {1-x}{1-y}}\right)}$

は、それぞれパラメータxとyを持つベルヌーイ分布のランダム変数間のカルバック・ライブラーダイバージェンスです。p ≥ ⁠1/2⁠、つまり​${\displaystyle D(p+\varepsilon \parallel p)\geq {\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2p(1-p)}}}$

${\displaystyle \Pr \left({\frac {1}{n}}\sum X_{i}>p+x\right)\leq \exp \left(-{\frac {x^{2}n}{2p(1-p)}}\right).}$

より単純な境界は、 D ( p + ε || p ) ≥ 2 ε ²を用いて定理を緩和することによって得られる。これは、 D ( p + ε || p )の凸性と、

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varepsilon ^{2}}}D(p+\varepsilon \parallel p)={\frac {1}{(p+\varepsilon )(1-p-\varepsilon )}}\geq 4={\frac {d^{2}}{d\varepsilon ^{2}}}(2\varepsilon ^{2}).}$

この結果は、ヘフディングの不等式の特別な場合である。

${\displaystyle {\begin{aligned}D((1+x)p\parallel p)\geq {\frac {1}{4}}x^{2}p,&&&{-{\tfrac {1}{2}}}\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\[6pt]D(x\parallel y)\geq {\frac {3(x-y)^{2}}{2(2y+x)}},\\[6pt]D(x\parallel y)\geq {\frac {(x-y)^{2}}{2y}},&&&x\leq y,\\[6pt]D(x\parallel y)\geq {\frac {(x-y)^{2}}{2x}},&&&x\geq y\end{aligned}}}$

p < ⁠の場合に強くなります1/8⁠なども使われます。

チェルノフ境界は、スパースネットワークにおけるセットバランスやパケット ルーティングに非常に役立ちます。

セットバランス問題は、統計実験を設計する際に発生します。通常、統計実験を設計する際には、実験の各参加者の特徴を考慮して、参加者を2つの別々のグループに分割し、各特徴が2つのグループ間で可能な限りバランスが取れるようにする必要があります。^[13]

チェルノフ境界は、疎なネットワークでパケットをルーティングする際にネットワークの輻輳を軽減する順列ルーティング問題の厳密な境界を得るためにも使用されます。^[13]

チェルノフ境界は計算学習理論において、学習アルゴリズムがおそらく近似的に正しいことを証明するために使用されます。つまり、十分に大きなトレーニングデータセットでは、アルゴリズムの誤差が小さい可能性が高いことを証明するために使用されます。^[14]

チェルノフ境界は、ランダム化による摂動空間を探索することで、アプリケーション/アルゴリズムの「堅牢性レベル」を評価するために効果的に使用できます。^[15] チェルノフ境界を使用すると、強力でほとんど非現実的な小さな摂動仮説（摂動の大きさが小さい）を放棄できます。堅牢性レベルは、特定のアルゴリズムの選択、ハードウェア実装、または構造パラメータが不確実性の影響を受けるソリューションの妥当性を検証または拒否するために使用できます。

チェルノフ境界の単純で一般的な使用法は、ランダム化アルゴリズムの「ブースティング」です。確率p > 1/2 で目的の答えとなる推測を出力するアルゴリズムがある場合、アルゴリズムを回実行し、アルゴリズムをn /2 回以上実行して出力される推測を出力することで、より高い成功率を得ることができます。(このような推測は 1 回以上実行することはできません。) これらのアルゴリズムの実行が独立していると仮定すると、推測のn /2 回以上が正しい確率は、確率pで 1 になる独立したベルヌーイランダム変数X _kの合計がn /2を超える確率に等しくなります。これは、乗法チェルノフ境界 (シンクレアの授業ノートの系 13.3、μ = np ) を介して少なくとも証明できます。: ^[16]${\displaystyle n=\log(1/\delta )2p/(p-1/2)^{2}}$${\displaystyle 1-\delta }$

${\displaystyle \Pr \left[X>{n \over 2}\right]\geq 1-e^{-n\left(p-1/2\right)^{2}/(2p)}\geq 1-\delta }$

ルドルフ・アールスヴェーデとアンドレアス・ウィンターは行列値ランダム変数に対するチェルノフ境界を導入した。^[17]次のバージョンの不等式はトロップの研究で見ることができる。^[18]

M ₁ , ..., M _{t を}、およびとなる独立した行列値のランダム変数とします。行列の演算子ノルムを で表します。 がすべての に対してほぼ確実に成り立つ場合、任意のε > 0に対して${\displaystyle M_{i}\in \mathbb {C} ^{d_{1}\times d_{2}}}$${\displaystyle \mathbb {E} [M_{i}]=0}$${\displaystyle \lVert M\rVert }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lVert M_{i}\rVert \leq \gamma }$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,t\}}$

${\displaystyle \Pr \left(\left\|{\frac {1}{t}}\sum _{i=1}^{t}M_{i}\right\|>\varepsilon \right)\leq (d_{1}+d_{2})\exp \left(-{\frac {3\varepsilon ^{2}t}{8\gamma ^{2}}}\right).}$

0 からの偏差がεによって高い確率で制限されると結論付けるためには、の対数に比例するサンプル数を選択する必要があることに注意してください。一般に、残念ながら への依存は 避けられません。たとえば、次元 の対角ランダム符号行列を考えてみましょう。 t個の独立したサンプルの合計の演算子ノルムは、長さtのd個の独立したランダムウォークの最大偏差とまったく同じです。一定の確率で最大偏差の固定境界を達成するには、このシナリオでt がdとともに対数的に増加する必要があることは容易にわかります。^[19]${\displaystyle t}$${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle \log(\min(d_{1},d_{2}))}$${\displaystyle d\times d}$

次元への依存性を避けるために、 M のランクが低いと仮定すると、次の定理が得られます。

0 < ε < 1で、M がほぼ確実に およびとなるランダム対称実数行列であるとします。 Mの台上の各要素のランクは最大でもrであると仮定します。 ${\displaystyle \|\operatorname {E} [M]\|\leq 1}$${\displaystyle \|M\|\leq \gamma }$

${\displaystyle t=\Omega \left({\frac {\gamma \log(\gamma /\varepsilon ^{2})}{\varepsilon ^{2}}}\right).}$

ほぼ確実に成り立つ 場合、${\displaystyle r\leq t}$

${\displaystyle \Pr \left(\left\|{\frac {1}{t}}\sum _{i=1}^{t}M_{i}-\operatorname {E} [M]\right\|>\varepsilon \right)\leq {\frac {1}{\mathbf {poly} (t)}}}$

ここでM ₁ , ..., M _tはMのiidコピーです。

チェルノフの限界値の次の変形は、母集団内の多数派が標本内の少数派になる確率、またはその逆の確率を制限するために使用できます。^[20]

一般集団Aと部分集団B  ⊆  Aがあるとします。部分集団の相対的な大きさ (| B |/| A |) を rでマークします。

整数kとサイズkのランダムサンプルS  ⊂  Aを選択したとします。サンプル内のサブ母集団の相対的なサイズ (| B ∩ S |/| S |) をr _Sでマークします。

そして、すべての分数d∈  [0,1]について：

${\displaystyle \Pr \left(r_{S}<(1-d)\cdot r\right)<\exp \left(-r\cdot d^{2}\cdot {\frac {k}{2}}\right)}$

特に、BがAで多数派である場合（つまりr  > 0.5）、BがSで多数派であり続ける確率（r _S  > 0.5）は、次のように制限することができます。d =  1 − 1/(2 r ): ^[21]

${\displaystyle \Pr \left(r_{S}>0.5\right)>1-\exp \left(-r\cdot \left(1-{\frac {1}{2r}}\right)^{2}\cdot {\frac {k}{2}}\right)}$

もちろん、この境界はまったく厳密ではありません。たとえば、r  = 0.5 の場合、Prob > 0 という単純な境界が得られます。

乗法チェルノフ境界の条件に従って、X ₁、...、X _nを独立したベルヌーイ確率変数とし、その合計がXで、それぞれが1に等しい 確率p _{i を持つものとします。ベルヌーイ変数の場合:}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\cdot X_{i}}\right]=(1-p_{i})e^{0}+p_{i}e^{t}=1+p_{i}(e^{t}-1)\leq e^{p_{i}(e^{t}-1)}}$

そこで、（１）を任意のに対して、そして、のときに用いると、 ${\displaystyle a=(1+\delta )\mu }$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]=\textstyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X>(1+\delta )\mu )&\leq \inf _{t\geq 0}\exp(-t(1+\delta )\mu )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {E} [\exp(tX_{i})]\\[4pt]&\leq \inf _{t\geq 0}\exp {\Big (}-t(1+\delta )\mu +\sum _{i=1}^{n}p_{i}(e^{t}-1){\Big )}\\[4pt]&=\inf _{t\geq 0}\exp {\Big (}-t(1+\delta )\mu +(e^{t}-1)\mu {\Big )}.\end{aligned}}}$

t = log(1 + δ )と設定して、 δ > 0に対してt > 0とすると、次のように代入して求めることができる。

${\displaystyle \exp {\Big (}-t(1+\delta )\mu +(e^{t}-1)\mu {\Big )}={\frac {\exp((1+\delta -1)\mu )}{(1+\delta )^{(1+\delta )\mu }}}=\left[{\frac {e^{\delta }}{(1+\delta )^{(1+\delta )}}}\right]^{\mu }.}$

これは望ましい結果であることを証明します。

q = p + εとする。( 1 )においてa = nqとすると、次式を得る。

${\displaystyle \Pr \left({\frac {1}{n}}\sum X_{i}\geq q\right)\leq \inf _{t>0}{\frac {E\left[\prod e^{tX_{i}}\right]}{e^{tnq}}}=\inf _{t>0}\left({\frac {E\left[e^{tX_{i}}\right]}{e^{tq}}}\right)^{n}.}$

ここで、 Pr( X _i = 1) = p、Pr( X _i = 0) = 1 − pであることから、

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {E} \left[e^{tX_{i}}\right]}{e^{tq}}}\right)^{n}=\left({\frac {pe^{t}+(1-p)}{e^{tq}}}\right)^{n}=\left(pe^{(1-q)t}+(1-p)e^{-qt}\right)^{n}.}$

したがって、微積分を使って簡単に下限値を計算できます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(pe^{(1-q)t}+(1-p)e^{-qt}\right)=(1-q)pe^{(1-q)t}-q(1-p)e^{-qt}}$

方程式をゼロにして解くと、

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-q)pe^{(1-q)t}&=q(1-p)e^{-qt}\\(1-q)pe^{t}&=q(1-p)\end{aligned}}}$

となることによって

${\displaystyle e^{t}={\frac {(1-p)q}{(1-q)p}}.}$

したがって、

${\displaystyle t=\log \left({\frac {(1-p)q}{(1-q)p}}\right).}$

q = p + ε > pなので、 t > 0となり、tについて境界が満たされます。 tについて解いた後、上の式に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\log \left(pe^{(1-q)t}+(1-p)e^{-qt}\right)&=\log \left(e^{-qt}(1-p+pe^{t})\right)\\&=\log \left(e^{-q\log \left({\frac {(1-p)q}{(1-q)p}}\right)}\right)+\log \left(1-p+pe^{\log \left({\frac {1-p}{1-q}}\right)}e^{\log {\frac {q}{p}}}\right)\\&=-q\log {\frac {1-p}{1-q}}-q\log {\frac {q}{p}}+\log \left(1-p+p\left({\frac {1-p}{1-q}}\right){\frac {q}{p}}\right)\\&=-q\log {\frac {1-p}{1-q}}-q\log {\frac {q}{p}}+\log \left({\frac {(1-p)(1-q)}{1-q}}+{\frac {(1-p)q}{1-q}}\right)\\&=-q\log {\frac {q}{p}}+\left(-q\log {\frac {1-p}{1-q}}+\log {\frac {1-p}{1-q}}\right)\\&=-q\log {\frac {q}{p}}+(1-q)\log {\frac {1-p}{1-q}}\\&=-D(q\parallel p).\end{aligned}}}$

我々は今、望んでいた結果を得ました。

${\displaystyle \Pr \left({\tfrac {1}{n}}\sum X_{i}\geq p+\varepsilon \right)\leq e^{-D(p+\varepsilon \parallel p)n}.}$

対称的なケースの証明を完了するには、ランダム変数Y _i = 1 − X _iを定義し、同じ証明を適用して、それを境界に代入するだけです。

• バーンスタイン不等式
• 集中度の不等式− ランダム変数の裾の境界の要約。
• クラメールの定理
• エントロピー値が危険にさらされている
• ホーフディングの不等式
• マトリックス チェルノフ境界
• モーメント生成関数

• Chernoff, H. (1952). 「観測値の合計に基づく仮説検定の漸近効率の尺度」Annals of Mathematical Statistics . 23 (4): 493–507. doi : 10.1214/aoms/1177729330 . JSTOR  2236576. MR  0057518. Zbl  0048.11804.
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