スティルチェス変換

数学において、実区間I上の密度測度ρのスティルチェス変換 Sρ ( z )は、 Iの外側で定義される複素変数zの関数であり、式は次の 通りである_。

$${\displaystyle S_{\rho }(z)=\int _{I}{\frac {\rho (t)\,dt}{tz}},\qquad z\in \mathbb {C} \setminus I.}$$

特定の条件下では、スティルチェス-ペロンの逆公式のおかげで、スティルチェス変換から密度関数ρを再構成することができます。たとえば、密度ρがI全体で連続である場合、この区間内では

$${\displaystyle \rho (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{\rho }(xi\varepsilon )-S_{\rho }(x+i\varepsilon )}{2i\pi }}.}$$

密度の尺度ρが各整数に対して等式で定義される任意の次数の モーメントを持つ場合、$${\displaystyle m_{n}=\int _{I}t^{n}\,\rho (t)\,dt,}$$

ρのスティルチェス変換は、各整数nに対して、無限大近傍における漸近展開を 許容し、$${\displaystyle S_{\rho}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {m_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).}$$

特定の条件下では、ローラン級数としての完全な展開が得られます。 $${\displaystyle S_{\rho }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}.}$$

この対応は、区間I上の連続関数の空間上の内積 を定義します。 ${\textstyle (f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\rho (t)\,dt}$

{ P _n } がこの積の直交多項式の列である場合、関連する二次多項式の列を次の式で 作成できます。$${\displaystyle Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{tx}}\rho (t)\,dt.}$$

は、 S _ρ ( z )の無限近傍における パデ近似であると思われる。${\textstyle F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}}$$${\displaystyle S_{\rho}(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).}$$

これら2つの多項式列は3つの項で同じ再帰関係を満たすので、連続する収束が分数F _n ( z )であるスティルチェス変換の連分数を展開することができます。

スティルチェス変換は、密度ρから二次多項式を直交系に変換するための有効な測度を構築するためにも使用できます。(詳細については、二次測度の記事を参照してください。)

• 直交多項式
• 二次多項式
• 二次対策

• HS Wall (1948)。連分数の解析理論。D. Van Nostrand Company Inc.