基本的なイラストと背景 例として、物理システムが空間内での向きに関係なく同じように振る舞う場合（つまり、不変で ある場合）、そのラグランジアン は連続回転に対して対称になります。この対称性から、ネーターの定理は、システムの運動法則の結果として、システムの角運動量が保存されることを規定します。 [ 4 ] ：
別の例として、ある物理過程が場所や時間に関係なく同じ結果を示す場合、そのラグランジアンはそれぞれ空間と時間の連続的な並進に対して対称になります。ノーターの定理によれば、これらの対称性は、この系における線運動量 とエネルギー の保存則 をそれぞれ説明しています。[ 5 ] : 23 [ 6 ] : 261
ノーターの定理は、保存則に関する洞察を与えてくれるという点でも、実用的な計算ツールとしても重要である。この定理によって、研究者は物理システムの観測された対称性から保存量（不変量）を決定することができる。逆に、研究者は、物理システムを記述するために、与えられた不変量を持つ仮想的なラグランジアンのクラス全体を考慮することができる。[ 4 ] ： Xを保存する物理理論が提案されたと仮定する。研究者は、連続対称性によって X を 保存するラグランジアンの種類を計算できる。ノーターの定理により、これらのラグランジアンの特性は、その意味を理解し、新しい理論の適合性を判断するためのさらなる基準を提供する。
ノーターの定理には、一般性の程度が異なる多数のバージョンが存在する。この定理には、ワード・タカハシ恒等式で表される自然な量子力学的対応物がある。ノーターの定理の 超空間 への一般化も存在する。[ 7 ]
細かい技術的な点はさておき、ネーターの定理は非公式に次のように述べることができる。
システムが連続対称性を持つ場合、時間的に保存される対応する量が存在する。[ 8 ]
体を含む、より洗練された定理のバージョンは次のように述べている。
局所的な作用によって生成されるすべての連続的な対称性には 、保存される電流 が対応し、その逆もまた然りである。
上記の記述における「対称性」とは、より正確には、特定の技術的基準を満たす一次元リー 変換群に関して、物理法則が取る形式の共変性を指します。 物理量 の保存則は通常、 連続方程式 として表されます。
この定理の正式な証明では、不変性の条件を利用して、保存される物理量に関連する電流の式を導出します。現代の用語では、保存される量はネーター電荷 と呼ばれ、その電荷を運ぶ流れはネーター電流 と呼ばれます。ネーター電流は、ソレノイド （発散なし）ベクトル場 を除いて 定義されます。
重力の文脈では、フェリックス・クラインによる作用 I のネーターの定理の記述は、不変量について次のように規定している。[ 9 ]
積分 I がρ パラメータを持つ連続群G ρ ρ個の線形独立な組み合わせは発散である。
概念の簡単な図解と概要 座標対称性に関するノーターの定理を示す図 ノーターの定理の基本的な考え方は、1つの座標系を用いると最も簡単に説明できる。q {\displaystyle q} φ : q ↦ q + δ q {\displaystyle \varphi :q\mapsto q+\delta q}
あらゆる軌道を考慮するq （ t ） {\displaystyle q(t)} 運動法則を満たす 動作 。つまり、S {\displaystyle S} 静止して おり、つまり、軌道の局所的な変化 によって変化しません。特に、対称流を適用する変化によっても変化しません。φ {\displaystyle \varphi } [ t 0 , t 1 ] τ \displaystyle \tau }
アクションの総変化S {\displaystyle S} [ t 0 、 t 1 ] {\displaystyle [t_{0},t_{1}]} Δ S {\displaystyle \Delta S} φ {\displaystyle \varphi } L {\displaystyle L} S = ∫ L {\textstyle S=\int L} q {\displaystyle q} q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} δ q / τ {\displaystyle \delta q/\tau } δ q {\displaystyle \delta q} τ \displaystyle \tau } δ q / τ ≫ δ q {\displaystyle \delta q/\tau \gg \delta q} q ˙ → q ˙ ± δ q / τ {\displaystyle {\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau }
これによりラグランジアンは次のように変化します。Δ L ≈ （ ∂ L / ∂ q ˙ ） Δ q ˙ {\displaystyle \Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}} Δ S = ∫ Δ L ≈ ∫ ∂ L ∂ q ˙ Δ q ˙ ≈ ∫ ∂ L ∂ q ˙ （ ± δ q τ ） ≈ ± ∂ L ∂ q ˙ δ q = ± ∂ L ∂ q ˙ φ 。 {\displaystyle \Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .}
これらの最後の項は、エンドポイント付近で評価されます。t 0 {\displaystyle t_{0}} t 1 {\displaystyle t_{1}} Δ S {\displaystyle \Delta S} （ ∂ L ∂ q ˙ φ ） （ t 0 ） = （ ∂ L ∂ q ˙ φ ） （ t 1 ） 、 {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),} （ ∂ L / ∂ q ˙ ） φ {\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi } q {\displaystyle q} （ ∂ L / ∂ q ˙ ） = p {\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p}
より一般的なケースでも同様の考え方が当てはまります。
座標が増えるとq r {\displaystyle q_{r}} q r ↦ q r + φ r {\displaystyle q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}} ∑ r （ ∂ L / ∂ q ˙ r ） φ r {\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}} 時間不変性は エネルギー保存を意味する：ラグランジアンが時間変換に対して不変であると仮定する。t ↦ t + T {\displaystyle t\mapsto t+T} T 〜 τ {\displaystyle T\ll \tau } t 0 + τ {\displaystyle t_{0}+\tau } t 1 − τ {\displaystyle t_{1}-\tau } （ t 0 、 t 0 + τ ） {\displaystyle (t_{0},t_{0}+\tau )} （ t 0 、 t 0 + τ + T ） {\displaystyle (t_{0},t_{0}+\tau +T)} （ t 1 − τ 、 t 1 ） {\displaystyle (t_{1}-\tau ,t_{1})} （ t 1 − τ + T 、 t 1 ） {\displaystyle (t_{1}-\tau +T,t_{1})} （ t 0 、 t 1 ） {\displaystyle (t_{0},t_{1})} Δ S ≈ ± （ T L + ∫ ∑ r ∂ L ∂ q ˙ r Δ q ˙ r ） ≈ ± T （ L − ∑ r ∂ L ∂ q ˙ r q ˙ r ） 。 {\displaystyle \Delta S\approx \pm \left(TL+\int \sum _{r}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-\sum _{r}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right).} T L {\displaystyle TL} τ {\displaystyle \tau } τ + T {\displaystyle \tau +T} τ {\displaystyle \tau } τ − T {\displaystyle \tau -T} + T L （ t 0 ） {\displaystyle +TL(t_{0})} − T L （ t 1 ） {\displaystyle -TL(t_{1})} （ τ + T ） / τ {\displaystyle (\tau +T)/\tau } （ τ − T ） / τ {\displaystyle (\tau -T)/\tau } q ˙ r {\displaystyle {\dot {q}}_{r}} q ˙ r ∓ （ T / τ ） q ˙ r {\displaystyle {\dot {q}}_{r}\mp (T/\tau ){\dot {q}}_{r}} T / τ {\displaystyle T/\tau } ± T （ L − ∑ r （ ∂ L / ∂ q ˙ r ） q ˙ r ） {\textstyle \pm T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)} Δ S = 0 {\displaystyle \Delta S=0} ∑ r ∂ L ∂ q ˙ r q ˙ r − L {\displaystyle \sum _{r}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}-L} t 0 {\displaystyle t_{0}} t 1 {\displaystyle t_{1}} 最後に、軌道の代わりにq （ t ） {\displaystyle q(t)} ψ （ q r 、 t ） {\displaystyle \psi (q_{r},t)} 間隔[ t 0 、 t 1 ] {\displaystyle [t_{0},t_{1}]} U {\displaystyle U} （ q r 、 t ） {\displaystyle (q_{r},t)} エンドポイントt 0 {\displaystyle t_{0}} t 1 {\displaystyle t_{1}} ∂ U {\displaystyle \partial U} そしてその貢献はΔ S {\displaystyle \Delta S} 保存される電流 の流れとして解釈されるj r {\displaystyle j_{r}} ∂ U {\displaystyle \partial U} Δ S {\displaystyle \Delta S} j r {\displaystyle j_{r}} ∂ U {\displaystyle \partial U}
歴史的背景 保存則 とは、システムの進化の数学的記述におけるある量Xが、その運動全体を通して一定であり続けること、つまり 不変量であることを述べる法則である。数学的には、 X の変化率(時間 に関する導関数 ) はゼロである。
d X d t = X ˙ = 0 。 {\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.} このような量は保存されると言われ、しばしば運動の定数 と呼ばれます（ただし、運動そのものが 関係する必要はなく、時間経過に伴う変化のみが関係します）。例えば、系のエネルギーが保存される場合、そのエネルギーは常に不変であり、これは系の運動に制約を課し、運動を求めるのに役立つ可能性があります。このような運動の定数は、系の性質に関する洞察を与えるだけでなく、有用な計算ツールでもあります。例えば、近似解は、適切な保存則を満たす最も近い状態を見つけることで修正できます。
最初に発見された運動の定数は運動量 と運動エネルギー であり、これらは17世紀にルネ・デカルト とゴットフリート・ライプニッツが 衝突 実験に基づいて提唱し、その後の研究者によって改良された。アイザック・ニュートンは 、運動量の保存則を現代的な形で初めて明言し、それがニュートンの運動法則の結果であることを示した。 一般相対性理論 によれば、線運動量、エネルギー、角運動量の保存則は、応力エネルギーテンソル （非重力応力エネルギー）とランダウ・リフシッツ応力エネルギー運動量擬テンソル （重力応力エネルギー）の和で表現した場合にのみ、全体的に厳密に成り立つ。自由落下する基準系における非重力線運動量とエネルギーの局所的な保存は、応力エネルギーテンソル の共変発散 がゼロになることで表される。天体の天体力学 の研究で発見されたもう一つの重要な保存量は、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル である。
18世紀後半から19世紀初頭にかけて、物理学者たちは不変量を発見するためのより体系的な方法を開発した。1788年には、最小作用の原理 に関連するラグランジュ力学が開発されたことで、大きな進歩がもたらされた。このアプローチでは、系の状態は任意の種類の 一般化座標 q で記述でき、運動法則はニュートン力学で慣例となっていたデカルト座標系 で表現する必要はない。作用は、 ラグランジュ関数 L と呼ばれる関数の時間積分Iとして定義される。
私 = ∫ L （ q 、 q ˙ 、 t ） d t 、 {\displaystyle I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,} ここで、 q の上のドットは座標q の変化率を表します。
q ˙ = d q d t 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.} ハミルトンの原理は 、物理的な経路q ( t ) (システムが実際にたどる経路) は、少なくとも一次のオーダーまでは、その経路の微小な変化がIに変化をもたらさない経路であると述べている。この原理から 、オイラー・ラグランジュ方程式 が得られる。
d d t （ ∂ L ∂ q ˙ ） = ∂ L ∂ q 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.} したがって、座標の 1 つ、例えばq k がラグランジアンに現れない場合、方程式の右辺はゼロになり、左辺は、
d d t （ ∂ L ∂ q ˙ k ） = d p k d t = 0 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,} 勢いが
p k = ∂ L ∂ q ˙ k {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}} 運動全体（物理的な経路上）において保存される。
したがって、無視できる 座標q k が ラグランジアンに含まれていないということは、ラグランジアンがq k の変化や変換の影響を受けないことを意味します。つまり、ラグランジアンは不変であり、そのような変換に対して対称性 を示すと言えます。これが、ノーターの定理で一般化された基本的な考え方です。
19世紀には、保存量を求めるためのいくつかの代替手法が開発されました。特にウィリアム・ローワン・ハミルトン によって開発されました。例えば、彼は正準変換 の理論を開発し、座標を変更することで、上記のようにラグランジアンから一部の座標が消え、正準運動量が保存されるようになりました。保存量を求めるためのもう一つのアプローチ、そしておそらく最も効率的な方法は、ハミルトン・ヤコビ方程式 です。
エミー・ネーターの不変性定理に関する研究は、1915年にフェリックス・クライン とダフィット・ヒルベルトが アルベルト・アインシュタイン の一般相対性理論に関する研究に取り組んでいた際に始まった[ 10 ] ： [ 11 ] ：
数式
ネーターの定理の本質は、無視できる座標の概念を一般化することにある。
上記で定義したラグランジアンL は 、時間変数t と一般化座標 q の小さな摂動（歪み）に対して不変であると仮定できる。
t → t ′ = t + δ t q → q ′ = q + δ q 、 {\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}} ここで、摂動δt とδq は どちらも小さいが、変動する。一般性を保つために、作用の対称変換が（例えば） N 個あると仮定する。つまり、作用は変化しない変換であり、インデックスr = 1, 2, 3, ..., N でラベル付けされる。
すると、結果として生じる摂動は、個々のタイプの摂動の線形和として表すことができ、
δ t = ∑ r ε r T r δ q = ∑ r ε r Q r 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}} ここで、εr は それぞれに対応する微小 パラメータ係数である。
並進の場合、Q r は 長さ の単位を持つ定数です。回転の場合、それはq の成分に関する線形式であり、パラメータは角度 を構成します。
これらの定義を用いて、ノーターは Nの 量が
（ ∂ L ∂ q ˙ ⋅ q ˙ − L ） T r − ∂ L ∂ q ˙ ⋅ Q r {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}} 保存される（運動の定数 ）。
例 I. 時間不変性
例として、時間に依存しないラグランジアン、すなわち、座標qに変化がない状態で t → t + δ t の変化に対して不変（対称）なラグランジアンを考えてみましょう。この場合、N = 1、T = 1、Q = 0 となり、対応する保存量は全エネルギー H [ 12 ] : 401です。
H = ∂ L ∂ q ˙ ⋅ q ˙ − L 。 {\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.} II. 並進不変性
座標q k q k q k δq k N = 1、T = 0、Q k = 1 となり、保存量は対応する線形運動量 p k [ 12 ] :
p k = ∂ L ∂ q k ˙ 。 {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.} 特殊 相対性理論と一般相対性理論 では、これら 2 つの保存則は、グローバルに (上記のように) 表現することも、連続方程式として局所的に 表現することもできます。グローバル版は、単一のグローバル保存則、すなわちエネルギー運動量 4 ベクトルの保存則に統合できます。エネルギーと運動量の保存則の局所版 (時空の任意の点において) も、時空の点で局所的に定義された量、 すなわち応力エネルギー テンソル [ 13 ] :
III. 回転不変性
角運動量 L = r × p の保存則は、線運動量の保存則と類似している。[ 12 ] : nを中心とした角度 δθ の小さな回転によって変化しないと仮定する。このような回転は、デカルト座標を 次の式で変換する。
r → r + δ θ n × r 。 {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .} 時間は変換されないので、T = 0、N = 1となります。δθを ε パラメータ、デカルト座標r を一般化座標q とすると、対応するQ 変数は次のように与えられます。
Q = n × r 。 {\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .} すると、ノーターの定理によれば、次の量が保存される。
∂ L ∂ q ˙ ⋅ Q = p ⋅ （ n × r ） = n ⋅ （ r × p ） = n ⋅ L 。 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .} 言い換えれば、角運動量Lの n 軸に沿った成分は保存される。そして、n が任意の値、すなわち系が回転に対して不感応である場合、L のすべての成分が保存される。つまり、角運動量 は保存される。
場の理論版 上述のノーターの定理はそれ自体有用ではあるものの、1915年に導出された一般版の特殊な場合である。一般版の定理の本質を示すために、ここでは4次元時空における連続場に対するノーターの定理を示す。場の理論に関する問題は 力学の 問題よりも現代物理学においてより一般的であるため、この場の理論版がノーターの定理の中で最もよく用いられるバージョンである。
微分可能な体 の集合があるとするφ {\displaystyle \varphi } T （ x 、 t ） {\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)} 最小作用の原理は このような場にも適用できるが、その作用は空間と時間に関する積分となる。
S = ∫ L （ φ 、 ∂ μ φ 、 x μ ） d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x} （この定理は、ラグランジアンがn 階 微分まで依存する場合にもさらに一般化でき、ジェットバンドルを 使用して定式化することもできます。）
分野の継続的な変革φ {\displaystyle \varphi }
φ ↦ φ + ε Ψ 、 {\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,} どこΨ {\displaystyle \Psi } x μ {\displaystyle x^{\mu }} φ {\displaystyle \varphi } Ψ {\displaystyle \Psi } S {\displaystyle {\mathcal {S}}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}}
L ↦ L + ε ∂ μ Λ μ 、 {\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },} 発散定理 によれば、発散の積分は境界項となるためである。与えられた作用によって記述されるシステムは、このタイプの複数の独立した対称性を持つ可能性があり、それらはによって添え字付けられる。r = 1 、 2 、 … 、 N 、 {\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}
φ ↦ φ + ε r Ψ r 、 {\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},} その結果
L ↦ L + ε r ∂ μ Λ r μ 。 {\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.} このようなシステムについては、ネーターの定理によれば、N {\displaystyle N} 電流密度
j r ν = Λ r ν − ∂ L ∂ （ ∂ ν φ ） ⋅ Ψ r {\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\cdot \Psi _{r}} （ここでドット積は フィールドの インデックスを縮約するものと理解されるが、ν {\displaystyle \nu } r {\displaystyle r}
このような場合、保存則 は4次元的に表現される。
∂ ν j ν = 0 、 {\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,} これは、球体内の保存量の量は、その一部が球体から流出しない限り変化しないという考え方を表しています。例えば、電荷 は保存されます。球体内の電荷量は、電荷が球体に出入りしない限り変化しません。
派生
独立変数1つ 最も単純なケース、つまり独立変数が1つ（時間）のシステムを考えてみましょう。従属変数q が、作用積分が
私 = ∫ t 1 t 2 L [ q [ t ] 、 q ˙ [ t ] 、 t ] d t {\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}
従属変数のわずかな微小変化に対して不変である。言い換えれば、オイラー・ラグランジュ方程式を満たす。
d d t ∂ L ∂ q ˙ [ t ] = ∂ L ∂ q [ t ] 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].} そして、積分が連続対称性の下で不変であると仮定します。数学的には、このような対称性は流れ φ として表され、変数に対して次のように作用します。
t → t ′ = t + ε T q [ t ] → q ′ [ t ′ ] = φ [ q [ t ] 、 ε ] = φ [ q [ t ′ − ε T ] 、 ε ] {\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}} ここで、ε は流量を示す実変数であり、Tは 流量が時間をどれだけずらすかを示す実定数（ゼロになる場合もある）である。
q ˙ [ t ] → q ˙ ′ [ t ′ ] = d d t φ [ q [ t ] 、 ε ] = ∂ φ ∂ q [ q [ t ′ − ε T ] 、 ε ] q ˙ [ t ′ − ε T ] 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].} 作用積分は
私 ′ [ ε ] = ∫ t 1 + ε T t 2 + ε T L [ q ′ [ t ′ ] 、 q ˙ ′ [ t ′ ] 、 t ′ ] d t ′ = ∫ t 1 + ε T t 2 + ε T L [ φ [ q [ t ′ − ε T ] 、 ε ] 、 ∂ φ ∂ q [ q [ t ′ − ε T ] 、 ε ] q ˙ [ t ′ − ε T ] 、 t ′ ] d t ′ {\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}} これはε の関数とみなすことができる。ε = 0における導関数を計算し、ライプニッツの法則 を用いると、次の式が得られる。
0 = d 私 ′ d ε [ 0 ] = L [ q [ t 2 ] 、 q ˙ [ t 2 ] 、 t 2 ] T − L [ q [ t 1 ] 、 q ˙ [ t 1 ] 、 t 1 ] T + ∫ t 1 t 2 ∂ L ∂ q （ − ∂ φ ∂ q q ˙ T + ∂ φ ∂ ε ） + ∂ L ∂ q ˙ （ − ∂ 2 φ （ ∂ q ） 2 q ˙ 2 T + ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ − ∂ φ ∂ q q ¨ T ） d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}} オイラー・ラグランジュ方程式は、
d d t （ ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ T ） = （ d d t ∂ L ∂ q ˙ ） ∂ φ ∂ q q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ （ d d t ∂ φ ∂ q ） q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ¨ T = ∂ L ∂ q ∂ φ ∂ q q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ （ ∂ 2 φ （ ∂ q ） 2 q ˙ ） q ˙ T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ¨ T 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}} これを前の式に代入すると、
0 = d 私 ′ d ε [ 0 ] = L [ q [ t 2 ] 、 q ˙ [ t 2 ] 、 t 2 ] T − L [ q [ t 1 ] 、 q ˙ [ t 1 ] 、 t 1 ] T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 2 ] T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 1 ] T + ∫ t 1 t 2 ∂ L ∂ q ∂ φ ∂ ε + ∂ L ∂ q ˙ ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}} 再びオイラー・ラグランジュ方程式を用いると、
d d t （ ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε ） = （ d d t ∂ L ∂ q ˙ ） ∂ φ ∂ ε + ∂ L ∂ q ˙ ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ = ∂ L ∂ q ∂ φ ∂ ε + ∂ L ∂ q ˙ ∂ 2 φ ∂ ε ∂ q q ˙ 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.} これを前の式に代入すると、
0 = L [ q [ t 2 ] 、 q ˙ [ t 2 ] 、 t 2 ] T − L [ q [ t 1 ] 、 q ˙ [ t 1 ] 、 t 1 ] T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 2 ] T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ [ t 1 ] T + ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε [ t 2 ] − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε [ t 1 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}} そこからわかることは
（ ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ q q ˙ − L ） T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}} は運動の定数、つまり保存量である。φ[ q ,0] = q なので、∂ φ ∂ q = 1 {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}
（ ∂ L ∂ q ˙ q ˙ − L ） T − ∂ L ∂ q ˙ ∂ φ ∂ ε 。 {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.} 数式の複雑さを避けるため、この導出では流量が時間経過によって変化しないと仮定した。より一般的な場合でも同じ結果が得られる。
場の理論的導出 ネーターの定理はテンソル場に対しても導出できる。φ A {\displaystyle \varphi ^{A}} A は、さまざまなテンソル場のさまざまな成分にわたって変化します。これらの場の量は、4 次元空間上で定義された関数であり、その点は座標x μ でラベル付けされています。ここで、添え字μ は時間 ( μ = 0) と 3 つの空間次元 ( μ = 1, 2, 3) にわたって変化します。これらの 4 つの座標は独立変数であり、各イベントにおける場の値は従属変数です。微小変換の下では、座標の変化は次のように表されます。
x μ → ξ μ = x μ + δ x μ {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }} 一方、場変数の変換は次のように表される。
φ A → α A （ ξ μ ） = φ A （ x μ ） + δ φ A （ x μ ） 。 {\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.} この定義によれば、フィールドの変動はδ φ A {\displaystyle \delta \varphi ^{A}} α A は μ に依存するからである。本質的な変化を分離するために、一点x μ における場の変化を次のように定義することができる。
α A （ x μ ） = φ A （ x μ ） + δ ¯ φ A （ x μ ） 。 {\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.} 座標が変更されると、ラグランジアンが積分される時空領域の境界も変化します。元の境界と変換後の境界は、それぞれΩとΩ'で表されます。
ノーターの定理は、座標と場変数の特定の変換が作用 を変化させないという仮定から始まる。作用は、与えられた時空領域におけるラグランジュ密度の積分として定義される。数学的に表現すると、この仮定は次のように書ける。
∫ Ω ′ L （ α A 、 α A 、 ν 、 ξ μ ） d 4 ξ − ∫ Ω L （ φ A 、 φ A 、 ν 、 x μ ） d 4 x = 0 {\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0} ここで、コンマ添え字は、コンマの後に続く座標に関する偏微分を表します。例：
φ A 、 σ = ∂ φ A ∂ x σ 。 {\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.} ξは積分のためのダミー変数であり、境界Ωの変化は仮定により無限小であるため、2つの積分は発散定理 の4次元版を用いて以下の形式に結合することができる。
∫ Ω { [ L （ α A 、 α A 、 ν 、 x μ ） − L （ φ A 、 φ A 、 ν 、 x μ ） ] + ∂ ∂ x σ [ L （ φ A 、 φ A 、 ν 、 x μ ） δ x σ ] } d 4 x = 0 。 {\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.} ラグランジアンの差は、微小変動の一次までで次のように表すことができる。
[ L （ α A 、 α A 、 ν 、 x μ ） − L （ φ A 、 φ A 、 ν 、 x μ ） ] = ∂ L ∂ φ A δ ¯ φ A + ∂ L ∂ φ A 、 σ δ ¯ φ A 、 σ 。 {\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.} しかし、変分は上記のように同じ点で定義されているため、変分と導関数は逆の順序で実行できます。つまり、それらは可換です。
δ ¯ φ A 、 σ = δ ¯ ∂ φ A ∂ x σ = ∂ ∂ x σ （ δ ¯ φ A ） 。 {\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.} オイラー・ラグランジュ場の方程式を用いて
∂ ∂ x σ （ ∂ L ∂ φ A 、 σ ） = ∂ L ∂ φ A {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}} ラグランジアンの差は、次のように簡潔に表すことができる。
[ L （ α A 、 α A 、 ν 、 x μ ） − L （ φ A 、 φ A 、 ν 、 x μ ） ] = ∂ ∂ x σ （ ∂ L ∂ φ A 、 σ ） δ ¯ φ A + ∂ L ∂ φ A 、 σ δ ¯ φ A 、 σ = ∂ ∂ x σ （ ∂ L ∂ φ A 、 σ δ ¯ φ A ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}} したがって、動作の変化は次のように表すことができます。
∫ Ω ∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ φ A 、 σ δ ¯ φ A + L （ φ A 、 φ A 、 ν 、 x μ ） δ x σ } d 4 x = 0 。 {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.} これは任意の領域Ωに対して成り立つので、被積分関数はゼロでなければならない。
∂ ∂ x σ { ∂ L ∂ φ A 、 σ δ ¯ φ A + L （ φ A 、 φ A 、 ν 、 x μ ） δ x σ } = 0 。 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.} 様々な対称 変換の任意の組み合わせに対して、摂動は次のように記述できる。
δ x μ = ε X μ δ φ A = ε Ψ A = δ ¯ φ A + ε L X φ A {\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}} どこL X φ A {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}} 、 φ A {\displaystyle \varphi ^{A}} Xμ 方向 φ A {\displaystyle \varphi ^{A}} X μ 、 ν = 0 {\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}
L X φ A = ∂ φ A ∂ x μ X μ 。 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.} これらの式は、ある一点での場の変化が次のようになることを意味する。
δ ¯ φ A = ε Ψ A − ε L X φ A 。 {\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.} 上記の発散をε = 0でε に関して微分し、符号を反転すると、保存則が得られる。
∂ ∂ x σ j σ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0} ここで保存電流は
j σ = [ ∂ L ∂ φ A 、 σ L X φ A − L X σ ] − （ ∂ L ∂ φ A 、 σ ） Ψ A 。 {\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}
n 次元の向き付けられたリーマン 多様体、あるいはより一般的にはローレンツ多様体 M と、ターゲット多様体T が あると仮定します。C {\displaystyle {\mathcal {C}}} M からT への滑らかな関数 の構成空間 とする。（より一般的には、M 上のファイバー束 T の滑らかな切断を考えることができる。）
物理学におけるこのMの例としては、以下のようなものがある。
古典力学の ハミルトニアン 形式において、Mは一 次元多様体である。R {\displaystyle \mathbb {R} } 空間 の余接束 である。場の理論 では、Mは 時空 多様体であり、ターゲット空間は任意の点で場が取り得る値の集合です。たとえば、m 個 の実 数値スカラー場 がある場合、φ 1 、 … 、 φ m {\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 同型である R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 関数 があると仮定します
S : C → R 、 {\displaystyle {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,} アクション と呼ばれる。（値はR {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} }
ノーターの定理の通常のバージョンを得るには、作用 に対する追加の制約が必要です。S [ φ ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]} M 上の積分 である。
L （ φ 、 ∂ μ φ 、 x ） {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)} ラグランジュ密度 と呼ばれるもので、φ {\displaystyle \varphi } 導関数 、および位置。言い換えれば、φ {\displaystyle \varphi } C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
S [ φ ] = ∫ M L [ φ （ x ） 、 ∂ μ φ （ x ） 、 x ] d n x 。 {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.} 境界条件 、すなわち値の指定が与えられたと仮定します。φ {\displaystyle \varphi } M がコンパクト な場合、境界で、 または何らかの制限φ {\displaystyle \varphi } x が∞に近づくとき、部分空間 はC {\displaystyle {\mathcal {C}}} φ {\displaystyle \varphi } すべての関数 の導関数がS {\displaystyle {\mathcal {S}}} φ {\displaystyle \varphi }
δ S [ φ ] δ φ （ x ） = 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}=0} そしてそれはφ {\displaystyle \varphi } は与えられた境界条件を満たし、シェル 解のサブスペースである。（定常作用の原理 を参照）
さて、ここで、無限小変換が あると仮定します。C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 関数 導出 Q によって生成され、
Q [ ∫ N L d n x ] = ∫ ∂ N f μ [ φ （ x ） 、 ∂ φ 、 ∂ ∂ φ 、 … ] d s μ {\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }} 次元のすべてのコンパクト部分多様体Nに対して n {\displaystyle n}
Q [ L （ x ） ] = ∂ μ f μ （ x ） {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)} すべてのx に対して、ここで、
L （ x ） = L [ φ （ x ） 、 ∂ μ φ （ x ） 、 x ] 。 {\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\;.} これがオンシェル とオフシェルの 両方で成り立つ場合、Qは オフシェル対称性を生成すると言います。これがオンシェルで のみ成り立つ場合、Qは オンシェル対称性を生成すると言います。Qによって生成される対称性が積分されて連続対称性になる場合、 Qは 1パラメータ 対称 リー群 の生成元であると言います。
さて、任意のNに対して、 オイラー・ラグランジュの 定理により、オンシェル (かつオンシェルのみ)が成り立つ。
Q [ ∫ N L d n x ] = ∫ N [ ∂ L ∂ φ − ∂ μ ∂ L ∂ （ ∂ μ φ ） ] Q [ φ ] d n x + ∫ ∂ N ∂ L ∂ （ ∂ μ φ ） Q [ φ ] d s μ = ∫ ∂ N f μ d s μ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&=\int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}} これは任意のN に対して真であるため、
∂ μ [ ∂ L ∂ （ ∂ μ φ ） Q [ φ ] − f μ ] = 0 。 {\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]=0\;.} しかし、これは電流の連続方程式です J μ {\displaystyle J^{\mu }} [ 15 ]
J μ := ∂ L ∂ （ ∂ μ φ ） Q [ φ ] − f μ 、 {\displaystyle J^{\mu }\,:=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },} これは対称性 に関連するネーター電流 と呼ばれます。連続方程式によれば、この電流を空間的なスライス上で 積分する と、ネーター電荷と呼ばれる保存量が 得られます（もちろん、M が非コンパクトであれば、電流は無限遠で十分に速く減衰します）。
ノーターの定理はオンシェル 定理であり、運動方程式（古典的な経路）の使用に基づいています。これは境界条件と変分原理の関係を反映しています。作用に境界項がないと仮定すると、ノーターの定理は、
∫ ∂ N J μ d s μ = 0 。 {\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }=0\;.} 期待値を含むノーターの定理の量子版（例：⟨ ∫ ∂ ⋅ J d 4 x ⟩ = 0 {\textstyle \left\langle \int \partial \cdot {\textbf {J}}~d^{4}x\right\rangle =0} シェル 量を調べるには、ワード・タカハシ恒等式 も有効です。
リー代数への一般化 2 つの対称性導出Q 1 とQ 2 があると仮定します。すると、[ Q 1 , Q 2 ] も対称性導出となります。これを具体的に見てみましょう。 Q 1 [ L ] = ∂ μ f 1 μ {\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{1}^{\mu }} Q 2 [ L ] = ∂ μ f 2 μ {\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}
それから、 [ Q 1 、 Q 2 ] [ L ] = Q 1 [ Q 2 [ L ] ] − Q 2 [ Q 1 [ L ] ] = ∂ μ f 12 μ {\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]=\partial _{\mu }f_{12}^{\mu }} f 12 μ = Q 1 [ f 2 μ ] − Q 2 [ f 1 μ ] {\displaystyle f_{12}^{\mu }=Q_{1}[f_{2}^{\mu }]-Q_{2}[f_{1}^{\mu }]} j 12 μ = （ ∂ ∂ （ ∂ μ φ ） L ） （ Q 1 [ Q 2 [ φ ] ] − Q 2 [ Q 1 [ φ ] ] ） − f 12 μ 。 {\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}
これは、ネーターの定理をより大きなリー代数に自然な形で拡張できることを示している。
証明の一般化 これは、 QS ≈ 0を満たす任意の局所 対称性導関数Q に適用され、ラグランジアンが場の高階導関数に依存するものを含む、より一般的な局所関数微分可能な作用にも適用されます。εを 、そのサポートの閉包が境界と分離しているような、時空（または時間）多様体の任意の滑らかな関数とします。εは テスト関数 です。すると、変分原理（ちなみに境界には適用されません）により、q [ ε ] [Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] によって生成される導関数分布 q は、すべてのεに対して q [ ε ][ S ] ≈ 0 を満たし、より簡潔に言えば、境界上にないすべてのxに対して q ( x )[ S ] ≈ 0を満たします（ただし、 q ( x ) は導関数 分布 の略記であり、一般にx によってパラメータ化された導関数ではないことに注意してください）。これはネーターの定理の一般化である。
この一般化が上記のバージョンとどのように関連しているかを確認するために、アクションが、のみに依存するラグランジアンの時空積分であると仮定します。φ {\displaystyle \varphi }
Q [ L ] ≈ ∂ μ f μ {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }} それから、
q [ ε ] [ S ] = ∫ q [ ε ] [ L ] d n x = ∫ { （ ∂ ∂ φ L ） ε Q [ φ ] + [ ∂ ∂ （ ∂ μ φ ） L ] ∂ μ （ ε Q [ φ ] ） } d n x = ∫ { ε Q [ L ] + ∂ μ ε [ ∂ ∂ （ ∂ μ φ ） L ] Q [ φ ] } d n x ≈ ∫ ε ∂ μ { f μ − [ ∂ ∂ （ ∂ μ φ ） L ] Q [ φ ] } d n x {\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}} すべての人々のためにε {\displaystyle \varepsilon }
より一般的には、ラグランジアンが高階微分に依存する場合、
∂ μ [ f μ − [ ∂ ∂ （ ∂ μ φ ） L ] Q [ φ ] − 2 [ ∂ ∂ （ ∂ μ ∂ ν φ ） L ] ∂ ν Q [ φ ] + ∂ ν [ [ ∂ ∂ （ ∂ μ ∂ ν φ ） L ] Q [ φ ] ] − ⋯ ] ≈ 0. {\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.}
例
例１：エネルギー保存の法則 質量m 、座標x のニュートン粒子が、ポテンシャルV の影響下で時間t によって座標化されて運動する場合を考えてみましょう。作用 S は次のようになります。
S [ x ] = ∫ L [ x （ t ） 、 x ˙ （ t ） ] d t = ∫ （ m 2 ∑ 私 = 1 3 x ˙ 私 2 − V （ x （ t ） ） ） d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}} 括弧内の最初の項は粒子の運動エネルギーであり、2番目の項はその 位置エネルギーである。 時間並進 の生成子を考える。Q = d d t {\displaystyle Q={\frac {d}{dt}}} Q [ x （ t ） ] = x ˙ （ t ） {\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)} xは 時間に対して明確な依存性を持つが、Vは 持たない。したがって、次のようになる。
Q [ L ] = d d t [ m 2 ∑ 私 x ˙ 私 2 − V （ x ） ] = m ∑ 私 x ˙ 私 x ¨ 私 − ∑ 私 ∂ V （ x ） ∂ x 私 x ˙ 私 {\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}} 設定できます
L = m 2 ∑ 私 x ˙ 私 2 − V （ x ） 。 {\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).} それから、
j = ∑ 私 = 1 3 ∂ L ∂ x ˙ 私 Q [ x 私 ] − L = m ∑ 私 x ˙ 私 2 − [ m 2 ∑ 私 x ˙ 私 2 − V （ x ） ] = m 2 ∑ 私 x ˙ 私 2 + V （ x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}} 右辺はエネルギーであり、ネーターの定理によれば、d j / d t = 0 {\displaystyle dj/dt=0}
より一般的には、ラグランジアンが明示的に時間に依存しない場合、その量は
∑ 私 = 1 3 ∂ L ∂ x ˙ 私 x 私 ˙ − L {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L} （ハミルトニアン と呼ばれる）は保存される。
例２：運動量中心の保存 引き続き1次元の時間について考えると、
S [ x → ] = ∫ L [ x → （ t ） 、 x → ˙ （ t ） ] d t = ∫ [ ∑ α = 1 N m α 2 （ x → ˙ α ） 2 − ∑ α < β V α β （ x → β − x → α ） ] d t 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}} のためにN {\displaystyle N}
のためにQ → {\displaystyle {\vec {Q}}}
Q 私 [ x α j （ t ） ] = t δ 私 j 。 {\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.} そして
Q 私 [ L ] = ∑ α m α x ˙ α 私 − ∑ α < β t ∂ 私 V α β （ x → β − x → α ） = ∑ α m α x ˙ α 私 。 {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}} これは次のような形式をとる。d d t ∑ α m α x α 私 {\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}
f → = ∑ α m α x → α 。 {\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.} それから、
j → = ∑ α （ ∂ ∂ x → ˙ α L ） ⋅ Q → [ x → α ] − f → = ∑ α （ m α x → ˙ α t − m α x → α ） = P → t − M x → C M {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}} どこP → {\displaystyle {\vec {P}}} M は全質量であり、x → C M {\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}
d j → d t = 0 ⇒ P → − M x → ˙ C M = 0. {\displaystyle {\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}
例1と例2はどちらも1次元多様体（時間）に関するものです。時空に関する例としては、（3 + 1）-ミンコフスキー時空における 4次ポテンシャル を持つ質量ゼロの実スカラー場の共形変換 が挙げられます。
S [ φ ] = ∫ L [ φ （ x ） 、 ∂ μ φ （ x ） ] d 4 x = ∫ （ 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − λ φ 4 ） d 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}} Q については、時空再スケーリングの生成子を考えます。言い換えれば、
Q [ φ （ x ） ] = x μ ∂ μ φ （ x ） + φ （ x ） 。 {\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).} 右辺の第２項は「共形重み」によるものである。φ {\displaystyle \varphi }
Q [ L ] = ∂ μ φ （ ∂ μ φ + x ν ∂ μ ∂ ν φ + ∂ μ φ ） − 4 λ φ 3 （ x μ ∂ μ φ + φ ） 。 {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).} これは次のような形式をとる。
∂ μ [ 1 2 x μ ∂ ν φ ∂ ν φ − λ x μ φ 4 ] = ∂ μ （ x μ L ） {\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)} （ダミーインデックスの変更を行った箇所）したがって、
f μ = x μ L 。 {\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.} それから
j μ = [ ∂ ∂ （ ∂ μ φ ） L ] Q [ φ ] − f μ = ∂ μ φ （ x ν ∂ ν φ + φ ） − x μ （ 1 2 ∂ ν φ ∂ ν φ − λ φ 4 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}} ネーターの定理は次のように述べている。∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}
この方程式のワード・タカハシ 類似式を見つけようとすると、異常 のために問題にぶつかる。
アプリケーション ノーターの定理を応用することで、物理学者は、関連する法則の形式を不変にする様々な変換を分析するだけで、物理学におけるあらゆる一般理論についての洞察を得ることができる。例えば、次のようになる。
孤立系 が空間的な並進 に対して不変であること（つまり、物理法則が空間内のあらゆる場所で同じであること）は、線運動量保存の法則 （孤立系の全線運動量は一定であるという法則）を与える。孤立系が時間 変換に対して不変であること（すなわち、物理法則がどの時点においても同じであること）は、エネルギー保存の法則 （孤立系の全エネルギーは一定であるという法則）を与える。孤立系が回転 に対して不変であること（すなわち、物理法則が空間内のあらゆる角度方向に対して同じであること）は、角運動量保存の法則 （孤立系の全角運動量は一定であるという法則）を与える。孤立系がローレンツブーストに対して不変であること（つまり、物理法則がすべての慣性系に対して同じであること）は、重心定理（孤立系の重心は一定速度で移動するという定理）を与える。 量子場理論 では、ノーターの定理の類似物であるワード・タカハシ恒等 式により、荷電粒子の 複素 場の位相因子 の変化と、それに伴う電位 とベクトルポテンシャル のゲージに対する不変性から、 電荷 の保存などのさらなる保存則が得られます。
ノーター電荷は、静止ブラックホール のエントロピー を計算する際にも使用されます。[ 16 ]
参考文献 ↑ ネーター、E. (1918)。「不変変分問題」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 。数学物理学クラス。1918 : 235–257 . ↑ Müller, Johanna; Hermann, Sophie; Sammüller, Florian; Schmidt, Matthias (2024). "平衡統計力学のゲージ不変性". Physical Review Letters . 133 (21) 217101. arXiv : 2406.19235 . Bibcode : 2024PhRvL.133u7101M . doi : 10.1103/PhysRevLett.133.217101 . PMID 39642496 . ↑ Peng, Liangrong; Hong, Liu (2021-10-31). "Recent Advances in Conservation–Dissipation Formalism for Irreversible Processes" . Entropy . 23 (11): 1447. arXiv : 2109.07063 . Bibcode : 2021Entrp..23.1447P . doi : 10.3390/e23111447 . ISSN 1099-4300 . PMC 8620699 . PMID 34828145 . 1 2 José, Jorge V.; Saletan, Eugene J. (1998). Classical Dynamics: A Contemporary Approach . Cambridge [England]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64890-5 OCLC 857769535 ↑ ハンド、ルイス・N.、フィンチ、ジャネット・D. (1998). 解析力学 . ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-57327-0 OCLC 37903527 ↑ ソーントン、スティーブン・T.、マリオン、ジェリー・B. (2004). 粒子と系の古典力学 （第5 版）. ボストン、マサチューセッツ州：ブルックス/コール、センゲージラーニング. ISBN 978-0-534-40896-1 . OCLC 759172774 . ↑ デ・アスカラガ、ジャイアント;ルキエルスキー、J.ビンデル、P. (1986-07-01)。 「超空間におけるスーパーフィールドと標準メソッド」 。 現代物理学の文字 A 。 01 (4): 293–302 。 Bibcode : 1986MPLA....1..293D 。 土井 ： 10.1142/S0217732386000385 。 ISSN 0217-7323 。 ↑ Thompson, WJ (1994).角運動量：物理系における回転対称性 に関する 図解ガイド 。第 1巻。Wiley。p. 5。ISBN 0-471-55264-X 。↑ Nina Byers (1998)「E. Noetherによる対称性と保存則の間の深いつながりの発見」。1996年12月2日～4日にイスラエルのバル＝イラン大学で開催されたエミー・ノーターの遺産に関するシンポジウムの議事録、付録B。 ↑ ディック、オーギュスト（1981）。 エミー ・ ノーザー 1882–1935 。ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー・ボストン。doi ： 10.1007/ 978-1-4684-0535-4。ISBN 978-1-4684-0537-8 。↑ Rowe, David E. (2021). Emmy Noether – Mathematician Extraordinaire . Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-030-63810-8 . ISBN 978-3-030-63809-2 。1 2 3 ランチョス、C. (1970). 力学の変分原理 （第4 版）. ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 0-486-65067-7 。1 2 3 ゴールドスタイン、ハーバート （1980）。 古典力学 （第2 版）。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー 。ISBN 0-201-02918-9 。↑ Houchmandzadeh, B. (2025). "A geometric derivation of Noether's theorem" . European Journal of Physics . 46 (2): 025003. arXiv : 2502.19438 . Bibcode : 2025EJPh...46b5003H . doi : 10.1088/1361-6404/adb546 . ↑ マイケル・E・ペスキン、ダニエル・V・シュローダー（1995）。 『量子場理論入門 』ベーシックブックス、 18ページ 。ISBN 0-201-50397-2 。↑ Iyer, Vivek; Wald, Robert M. (1995 年 10 月 15 日). "静止ブラックホールのエントロピーを計算するための Noether 電荷法と Euclidean 法の比較". Physical Review D . 52 (8): 4430– 4439. arXiv : gr-qc/9503052 . Bibcode : 1995PhRvD..52.4430I . doi : 10.1103/PhysRevD.52.4430 . PMID 10019667 . S2CID 2588285 .
さらに読む ネーターの原著論文
ネーター、エミー (1918)。 「不変変分問題」[ 不変変分問題] 。Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス (ドイツ語)。ワイドマンシェ・ブッフハンドルング: 235–257 。再掲載 ネーター、エミー (1983)。 「不変変分問題」[ 不変変分問題] 。ゲザメルテ・アブハンドルンゲン （ドイツ語）。ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー。231～ 239ページ。 翻訳 ノーザー、エミー (1971)。 「不変変動問題」。輸送理論と統計物理学 。1 ( 3) 。モート ・タヴェル訳: 186–207。arXiv : physics/0503066。Bibcode : 1971TTSP .... 1..186N。doi : 10.1080 / 00411457108231446。S2CID 119019843 。 Gott. Nachr. 1918:235–257) その他
Badin, Gualtiero; Crisciani, Fulvio (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics: Mechanics, Symmetries and Conservation Laws . Springer. p. 218. Bibcode : 2018vffg.book.....B . doi : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5 . S2CID 125902566 . Baez, John (2002). "Noether's Theorem in a Nutshell" . math.ucr.edu . 2020年 8月28日 取得 .バイアーズ、ニーナ（1998）。「E. ノーターによる対称性と保存則の間の深いつながりの発見」。arXiv : physics /9807044 。 Cuesta, Vladimir; Merced Montesinos; José David Vergara (2007). "非正準シンプレクティック構造を持つゲージ系の作用原理のゲージ不変性". Physical Review D . 76 (2) 025025. Bibcode : 2007PhRvD..76b5025C . doi : 10.1103/PhysRevD.76.025025 . Hanc, J.; Tuleja, S.; Hancova, M. (2004). "対称性と保存則: ノーターの定理の結果" . American Journal of Physics . 72 (4): 428–35 . Bibcode : 2004AmJPh..72..428H . doi : 10.1119/1.1591764 . ジョンソン、トリスタン（2016）。ネーターの定理：対称性と保存 （学士（優等））。ユニオン大学。 2025年 8月10日 取得 。 コスマン＝シュヴァルツバッハ、イヴェット （2010）。ネーターの定理：20世紀における不変性と保存則。数学史 および 物理科学史の資料と研究。シュプリンガー・フェルラーク 。ISBN 978-0-387-87867-6 。レオーネ、ラファエル（2018年4月11日）。「ノーターの定理の素晴らしさ、100年後、そしてラウス還元について」。arXiv ： 1804.01714 [ physics.hist -ph ]。 Montesinos, Merced; Ernesto Flores (2006). "ネーターの定理のみを使用して得られた、Maxwell、Yang–Mills、および Proca 理論における対称エネルギー–運動量テンソル" (PDF) . Revista Mexicana de Física . 52 (1): 29– 36. arXiv : hep-th/0602190 . Bibcode : 2006RMxF...52...29M . 2016-03-04 のオリジナル(PDF) からアーカイブ済み. 2014-11-12 に取得 . Moser, Seth (2020年4月21日). 「ラグランジアンを視覚化することによってネーターの定理を理解する」 . Physics Capstone Projects : 1– 12. 2020年 8月28日 取得 。 ノイエンシュワンダー、ドワイト・E. (2010).エミー・ネーターの素晴らしい定理 . ジョンズ・ホプキンス大学出版局. ISBN 978-0-8018-9694-1 。 Olver, Peter (1993).微分方程式へのリー群の応用 .大学院数学テキスト . 第 107巻（第2 版）. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95000-1 。Quigg, Chris (2019年7月9日). 「コロキウム：ノーターの定理の1世紀」. arXiv : 1902.01989 [ physics.hist-ph ]. Sardanashvily, G. (2009). "一般設定におけるゲージ保存則: スーパーポテンシャル". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 6 (6): 1047–1056 . arXiv : 0906.1732 . Bibcode : 2009arXiv0906.1732S . doi : 10.1142/S0219887809003862 . サルダナシュヴィリ、G. (2016).ノーターの定理：力学と場の理論への応用 .シュプリンガー・フェルラーク . ISBN 978-94-6239-171-0 。
外部リンク MathPagesに掲載されているネーターの定理。 
![{\displaystyle [t_{0},t_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe2ab6560fe2acf9a63ad878ad482164b79012d)
![{\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1d2178c06e8bd1d9fc73f720067dd6f2fc2b83)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb82beae5339280dd6af2797f94149a25072bbb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615e95321b6368092234da2547b7a7d93171f37a)
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac381fce8ece1d2256fef05c3abb5226c7e6398)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5799d04efe74b0cb5b531ad9309ce6b439e116a4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]TL[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79397ffad3db948266bdffaa8086ffe0f4ff325e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfcb48f4ea4935d25568365c7bf334e05c57d4ab)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]TL[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb793fe08b154e9abfe0f1f1c08ee120e50e634)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]TL[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b12fa9bfc81062bd8af58db62a3acffa9656d13)
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce13bd3145ff1a36fc5a09fb2c41406195c0a83b)
![{\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b1cd7bf5f8cd92e7f7dd78b6b0dc424234318e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0baaa34dae8af1b8184180fec3335490ead75b9f)
![${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbb1c56bca865eb082c638fc0cddc167c9cfc12)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116c201dde0387f10986dbfe000d90ea527add9c)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df433b04fcebf484b519c08811a0c35f7d377a5f)
![{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56c6f57bfa16089a68e6367b55c22023746b31d)
![{\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7206003d21d3076531b109f4c495951d2c5360)
![{\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783dfeb077d75c74001b16901af455cdcee9739a)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9da403253cd9db84dca1ac2b58e2d2c26c8b9c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&=\int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdae9bbbea85984d11b74860f23a0e55a2e433c4)
![{\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7976ecf6daa1ae3052acba9838c1f7ccd6b27cf8)
![{\displaystyle J^{\mu }\,:=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d549aa45b2b7af72c0660004314f6bd55e688ae)
![\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b0c08a9530946711f71832c2e150b0789a0f44)
![\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ce9fdc740605a74ca0751af8b2617819719e27)
![{\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]=\partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd515330027976376458d2f316a753975eb220c6)
![{\displaystyle f_{12}^{\mu }=Q_{1}[f_{2}^{\mu }]-Q_{2}[f_{1}^{\mu }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e1322cf8e269e73eae2b5a7eb90572cb7b07a6)
![{\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fce0b0072d845d239f468c2cc5e6e2356d5b7b)
![\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139febb70957d3fc394379208a529645d3f92607)
![{\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3615c0162305ef0e649028bc079ed02d8c2ca86)
![{\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\約 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a81ef689e5701aaaaf0ee99f58a1e554d345910)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec50d4775eb44fbf64884412f0fd669819c8226)
![{\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59fcdeff41ae9b824b27254a1525dc0c9608658)
![{\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7d4e8806a6a19efa4d3a6fe86e0bd78e181bcd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e87a1cabf3054c0a2423a0fa680c28b55f3826)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a9bd4cf651129217de039e63e147f093a13f1f)
![{\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04eeeae3d39c079ff0f3c3081cd8f691884a1ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2a29ade78a0d9c46eb70ea013edc7f39d3bbef)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}tM{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa78fceffcc8679f50aa89efecea5a13bff398de)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d429891430f27f656044878c3550b6e2ab73db)
![{\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa98911ac733411476087fe41ccc4671f375a41)
![{\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22c85148f7941edd3e27997a900822380dbb9d4)
![{\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2502c143fa1e515de8f50a365ef75e517db2707)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3955202e968da948e469581289961c32140f9dc4)
