オンシェルとオフシェル

物理学、特に場の量子論では、古典的な運動方程式を満たす物理システムの構成は質量殻上にある（オンシェル）と呼ばれ、満たさないものは質量殻から外れている（オフシェル）と呼ばれます。

量子場の理論では、仮想粒子はエネルギーと運動量の関係を満たさないためオフシェルと呼ばれます。一方、実際の交換粒子はこの関係を満たしており、オン（質量）シェルと呼ばれます。^{[1] [2] [3]}たとえば古典力学では、作用の定式化において、変分原理の極値解はオンシェルであり、オイラー-ラグランジュ方程式はオンシェル方程式を与えます。物理的作用と保存則の微分可能な対称性に関するノイマンの定理は、もう1つのオンシェル定理です。

質量シェルは質量双曲面の同義語であり、次の方程式の解を記述する エネルギー-運動量空間内の双曲面を意味します。

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$、

質量エネルギー等価式は、粒子の運動量と静止質量によってエネルギーを表します。質量殻の式は、 4元運動量、アインシュタイン記法で計量記号(+,−,−,−)、単位で表され、光速、として表されます。文献では、計量記号が (−,+,+,+) である場合にも と記載されることがあります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c=1}$${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$

交換された仮想粒子の 4 元運動量は で、質量は です。 仮想粒子の 4 元運動量は、入ってくる粒子と出ていく粒子の 4 元運動量の差です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle q_{\mu }}$${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$${\displaystyle q_{\mu }}$

ファインマン図の内部プロパゲーターに対応する仮想粒子は、一般にシェルから外れることが許されるが、その過程の振幅は、それらがシェルからどれだけ離れているかに応じて減少する。^[4]これは、プロパゲーターの依存性が、入射粒子と出射粒子の4元運動量によって決定されるためである。プロパゲーターは、通常、質量シェル上に特異点を持つ。 ^[5]${\displaystyle q^{2}}$

プロパゲーターについて言えば、方程式を満たす の負の値はオンシェルであると考えられますが、古典理論では粒子のエネルギーに負の値は認められていません。これは、プロパゲーターが、粒子が一方向にエネルギーを運び、その反粒子が反対方向にエネルギーを運ぶケースを 1 つの式に組み込むためです。オンシェルの負と正は、正のエネルギーの反対方向の流れを単に表します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

例として、D次元ミンコフスキー空間のスカラー場を考えてみましょう。で与えられるラグランジアン密度を考えます。作用${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

この作用に対するオイラー・ラグランジュ方程式は、場とその導関数を変化させ、変化をゼロに設定することで見つけることができ、次のようになります。

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

ここで、無限小時空変換を 考える。ラグランジアン密度はスカラーなので、無限小変換の下では無限小変換される。一方、テイラー展開により、一般に ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

を代入して次の点に留意します（変化は時空内の各点で独立しているため）。 ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

これは独立した翻訳に当てはまるので、 を で割って次のように書くことができます。 ${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...}$${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

これは、運動方程式（この場合は、上記のオイラー・ラグランジュ方程式）を尊重するかどうかに関係なく、任意のフィールド構成に対して真であるため、シェル外を保持する方程式の例です。ただし、オイラー・ラグランジュ方程式を単純に代入するだけで、 シェル内方程式を導くことができます。

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

これは次のように書くことができます。

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

括弧内の量を と定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

これはノイマンの定理の一例です。ここで、保存量は応力エネルギーテンソルであり、これはシェル上でのみ保存されます。つまり、運動方程式が満たされている場合です。