運動定数

力学において、運動定数は運動を通じて保存される物理量 であり、事実上運動に制約を課します。しかし、これは数学的制約であり、運動方程式の自然な帰結であり、物理的制約（追加の制約力を必要とする）ではありません。一般的な例としては、エネルギー、線形運動量、角運動量、ラプラス・ルンゲ・レンツ・ベクトル（反二乗の力の法則）などがあります。

運動定数は、運動方程式を解かずに運動の特性を導くことができるので便利です。幸運な場合には、運動の軌道さえも、運動定数に対応する等値面の交点として導くことができます。例えば、ポアンソ作図は、剛体のトルクのない回転が球（全角運動量の保存）と楕円体（エネルギーの保存）の交点であることを示しています。これは、そうでなければ導出して視覚化するのが困難な軌道です。したがって、運動定数の特定は力学における重要な目標です。

運動定数を識別する方法はいくつかあります。

• 最も単純だが体系的ではないアプローチは、直感的な（「精神的な」）導出であり、ある量が一定であると仮定され（おそらく実験データによる）、その後、運動全体にわたって保存されることが数学的に示されます。
• ハミルトン・ヤコビ方程式は、特にハミルトニアンが直交座標で認識可能な関数形式を採用している場合に、運動定数を識別するための一般的に使用される簡単な方法を提供します。
• もう 1 つのアプローチは、保存量がラグランジアンの対称性に対応することを認識することです。ネーターの定理は、対称性からそのような量を導く体系的な方法を提供します。 たとえば、エネルギー保存は、時間の原点のシフトに対するラグランジアンの不変性から生じ、線形運動量の保存は、空間の原点のシフト(並進対称性)に対するラグランジアンの不変性から生じ、角運動量の保存は、回転に対するラグランジアンの不変性から生じます。 逆もまた真です。つまり、ラグランジアンのすべての対称性は、保存された電荷または保存された電流と呼ばれる運動定数に対応します。
• ある量は、その全時間微分がゼロのとき、運動定数である。これは、ハミルトニアンを含むポアソン括弧が、その時間に関する偏微分を引いた値に等しいときに発生する^[1]。${\displaystyle A}$$${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},}$$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.}$$

もう一つの有用な結果はポアソンの定理であり、これは 2 つの量と が運動定数である場合、それらのポアソン括弧 も運動定数であるということを述べています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \{A,B\}}$

n自由度とn運動定数を持ち、任意の運動定数のペアのポアソン括弧が消えるようなシステムは、完全に積分可能なシステムとして知られています。このような運動定数の集合は、互いに反転していると言われています。閉じたシステム（時間に明示的に依存しないラグランジアン）の場合、システムのエネルギーは運動定数（保存量）です。

観測可能な量Q は、ハミルトニアンHと交換可能であり、それ自体が時間に明示的に依存しない 場合は、運動定数になります。これは、 が交換関係に ある ためです。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,}$$$${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH\,}$$

位置、運動量、時間に依存する 観測可能な量Qがあるとする。$${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$$

また、シュレーディンガー方程式に従う波動関数が存在することも $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .}$$

Qの期待値の時間微分を取るには積の法則を使う必要があり、結果は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}}$$

最後に、

量子力学システムの任意の状態において、HとQが可換である、つまり Qが 時間に明示的に依存しないならば、 $${\displaystyle \left[H,Q\right]=0}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

しかし、がハミルトニアンの固有関数である場合でも、 Q が時間に 依存しない という状況は変わりません 。 ${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \left[H,Q\right]\neq 0}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle }$$ それ 以来 、 ハミルトニアンの固有状態は定常状態とも呼ばれるようになりました。 $${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}}$$

一般に、積分可能なシステムには、エネルギー以外の運動定数があります。対照的に、エネルギーは、積分不可能なシステムにおける唯一の運動定数です。このようなシステムはカオスと呼ばれます。一般に、古典的な機械システムは、積分可能である場合にのみ量子化できます。2024年現在、カオス的な力学システムを量子化する一貫した方法は知られていません。

運動定数は、与えられた力場において、軌道全体にわたって一定である位相空間座標（位置と速度、または位置と運動量）と時間の任意の関数として定義される。運動定数のサブセットは、軌道に沿って一定である位相空間座標のみの任意の関数として定義される運動の積分、または第 1 積分である。運動のすべての積分は運動定数であるが、運動定数は時間に依存する可能性があるため、その逆は真ではない。^[2]運動の積分の例としては、角運動量ベクトル、または時間に依存しないハミルトニアンなどがある。運動定数であるが運動の積分ではない関数の例としては、1 次元で一定速度で移動する物体の 関数が挙げられる。${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v} }$${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$${\displaystyle C(x,v,t)=x-vt}$

ゲージ理論から物理的情報を抽出するには、ゲージ不変観測量を構築するか、ゲージを固定します。標準的な言語では、これは通常、ゲージが第一級制約を生成する制約面上でポアソン交換する関数を構築するか、各ゲージ軌道内の点を区別して後者の流れを固定することを意味します。このようなゲージ不変観測量は、ゲージ生成器の「運動定数」であり、ディラック観測量と呼ばれます。

• グリフィス、デイビッド・J. (2004)。量子力学入門（第2版）。プレンティス・ホール。ISBN 0-13-805326-X。