サブグループのインデックス

数学、特に群論において、群Gにおける部分群Hの指数は、 GにおけるHの左剰余類の数、または同等に、 GにおけるHの右剰余類の数である。指数は次のように表される。${\displaystyle |G:H|}$または${\displaystyle [G:H]}$または${\displaystyle (G:H)}$Gは左剰余類の非交和であり、各左剰余類はHと同じ大きさであるため、指数は2 つの群の位数と次の式で関連付けられます。

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

（数量の一部が無限大の場合は、それらを基数として解釈する。）したがって、指数は${\displaystyle |G:H|}$GとHの「相対的な大きさ」を測定します。

例えば、${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$を加算に関する整数のグループとし、${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$偶数からなる部分群とする。すると${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ 2 つの剰余類を持つ${\displaystyle \mathbb {Z} }$すなわち偶数集合と奇数集合、したがってインデックス${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$2. より一般的には、${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$任意の正の整数nに対して。

Gが有限の場合、式は次のように書ける。${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$、そしてそれは ラグランジュの定理を意味する。${\displaystyle |H|}$分ける${\displaystyle |G|}$。

Gが無限大の場合、${\displaystyle |G:H|}$は、有限または無限の非ゼロ基数です。たとえば、${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$、 しかし${\displaystyle |\mathbb {R}$ :\mathbb {Z} |} は無限です。

NがGの正規部分群である場合、${\displaystyle |G:N|}$商群の位数に等しい${\displaystyle G/N}$基となる集合は${\displaystyle G/N}$は、 GにおけるNの剰余類の集合です。

• HがGの部分群であり、KがHの部分群である場合、

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• HとKがGの部分群である場合、

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

等号で${\displaystyle HK=G}$。 （もし${\displaystyle |G:H\cap K|}$が有限である場合、等号が成り立つのは、${\displaystyle HK=G}$）

• 同様に、HとKがGの部分群である場合、

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

等号で${\displaystyle HK=G}$。 （もし${\displaystyle |H:H\cap K|}$が有限である場合、等号が成り立つのは、${\displaystyle HK=G}$）

• GとHがグループであり、${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$が準同型である場合、の核のインデックスは${\displaystyle \varphi }$Gにおけるは画像の次数に等しい。

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• G を集合Xに作用する群とし、x ∈ X とする。このとき、Gによるxの軌道の濃度は、 xの安定化群の指数に等しい。  

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

これは軌道安定化定理として知られています。

• 軌道安定化定理の特殊なケースとして、共役軌道の数は${\displaystyle gxg^{-1}}$要素の${\displaystyle x\in G}$は、 Gにおけるxの中心化のインデックスに等しい。
• 同様に、共役体の数${\displaystyle gHg^{-1}}$Gにおける部分群Hの指数は、 GにおけるHの正規化群の指数に等しい。
• HがGの部分群である場合、 Hの正規コアの指数は次の不等式を満たす。

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

ここで 、! は階乗関数を表します。これについては後ほど詳しく説明します。

• その結果として、 GにおけるHの指数が 2 である場合、または有限群の場合、Gの位数を割り切る最小の素数pである場合、 Hは正規群である。なぜなら、そのコアの指数もp でなければならず、したがってH はそのコアと等しくなる、つまり正規群となるからである。
• 最小素数指数を持つ部分群は存在しない場合があることに注意してください。例えば、素数でない位数の単純群や、より一般的には完全群などがこれに該当します。

• 交互のグループ${\displaystyle A_{n}}$対称群の指数は2である${\displaystyle S_{n},}$したがって、それは正常なことである。
• 特殊直交群${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$直交群において指数2を持つ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$したがって、それは正常です。
• 自由アーベル群${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$指数2のサブグループが3つあります。

$\{(x,y)\mid x{\text{は偶数}},\quad \{(x,y)\mid y{\text{は偶数}},\quad {\text{かつ}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{は偶数}}}$。

• より一般的には、pが素数であれば${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$もっている${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$指数pのサブグループ、${\displaystyle (p^{n}-1)}$非自明な準同型写像${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$。
• 同様に、自由群${\displaystyle F_{n}}$もっている${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$ 指数pのサブグループ。
• 無限二面体群は指数2の巡回部分群を持ち、それは必然的に正規部分群である。

H がGにおいて無限個の剰余類を持つ場合、 GにおけるHの指数は無限であると言われる。この場合、指数は無限である。${\displaystyle |G:H|}$は実際には基数です。たとえば、GにおけるHの指数は、 HがGにおいて可算個の剰余類を持つかどうかに応じて、可算または非可算になります。H の指数は、Gの位数以下であることに注意してください。これは、自明な部分群の場合、または実際にはGの位数より小さい無限位数を持つ任意の部分群Hの場合に実現されます。

群G (有限群または無限群)の有限指数部分群Hは、必ずGの有限指数正規部分群Nを含みます。実際、Hの指数がnであれば、 Nの指数はnの約数であり、かつnの倍数になります。実際、N はGからHの左 (または右) 剰余類の置換群への自然準同型の核とみなすことができます。右剰余類を用いて、これをさらに詳しく説明しましょう。

Gの要素のうち、すべての剰余類を同じに保つ要素は群を形成する。

この群をAと呼ぼう。A の定義により Ha ⊂ H なので、A は H の部分群であることに注意する。Bを、 Hの剰余類に対して与えられた置換を行うGの要素の集合とする。このとき、BはAの右剰余類である。

これまで述べてきたことは、 Hの指数が有限か無限かに関わらず当てはまります。ここで、指数が有限数nであると仮定します。剰余類の可能な順列の数は有限、つまりn ! なので、 Bのような集合は有限個しか存在しません。( Gが無限の場合、そのような集合はすべて無限になります。) これらの集合の集合は順列の群の部分集合と同型な群を形成するので、これらの集合の数はn ! を割り切る必要があります。さらに、 Hの各剰余類はAの同じ数の剰余類を含むので、 nの倍数でなければなりません。最後に、あるc ∈ Gとa ∈ Aに対してca = xcである場合、任意のd ∈ Gに対してdca = dxcですが、あるh ∈ Hに対してdca = hdcも成り立ちます ( Aの定義により)、したがってhd = dxとなります。これは任意のdに対して真であるため、x はA の要素でなければならず、ca = xcはcac ⁻¹ ∈ Aを意味し、したがってAは正規部分群である。

正規部分群の指数はn !の約数であるだけでなく、他の条件も満たさなければなりません。正規部分群はHの部分群であるため、Gにおけるその指数はHにおける指数のn倍でなければなりません。また、 Gにおけるその指数は、 n個の対象の順列の群である対称群S _nの部分群に対応していなければなりません。したがって、例えばnが 5 の場合、指数は 5! を割り切る 15 にはなり得ません。なぜなら、S ₅には位数 15 の部分群が存在しないからです。

n = 2の場合、指数 2 の部分群Hが正規部分群であるという、かなり明白な結果が得られます。なぜなら、Hの正規部分群はGにおいて指数 2 を持ち、したがってHと同一になるからです。（ GのHに含まれないすべての要素がHの右剰余類と左剰余類を構成し、したがって両者が同一であることに注目することによっても、この事実に到達できます。）より一般に、指数pの部分群（ pはGの位数の最小素因数、 Gが有限の場合）は、 Nの指数がp !を割り切るため、 p と等しくなければならず、他の素因数を持たないため、必然的に正規になります。たとえば、位数 21 の非可換群の部分群Z _{7は正規です（} 「小さな非可換群とフロベニウス群のリスト#例」を参照）。

最小素数pのインデックスを持つ部分群が正規であるという結果の別の証明、および素数インデックスを持つ部分群の他の性質は( Lam 2004 )で与えられています。

素数冪指数の正規部分群は、 p群への全射写像の核であり、焦点部分群定理: 部分群で説明され、焦点部分群定理で詳述されているように、興味深い構造を持っています。

素数冪指数には3つの重要な正規部分群があり、それぞれが特定のクラスにおける最小の正規部分群である。

• E ^p ( G ) は、すべての指数p の正規部分群の共通部分です。G / E ^p ( G ) は基本アーベル群であり、G が射影する最大の基本アーベルp群です。
• p ( G ) は、 G / Kがアーベルp群となるようなすべての正規部分群Kの共通部分である(つまり、Kは指数である) ^。${\displaystyle p^{k}}$派生群を含む正規部分群${\displaystyle [G,G]}$): G / A ^p ( G ) は、 Gが射影する最大のアーベルp群 (必ずしも初等的である必要はない)です。
• O ^p ( G ) は、 G / Kが (非可換の場合もある) p群 (つまり、Kは指数) であるような、Gのすべての正規部分群Kの共通部分です。${\displaystyle p^{k}}$正規部分群): G / O ^p ( G ) は、 Gが射影する最大のp群 (必ずしもアーベル群ではない)です。O ^p ( G ) は、p残差部分群。

これらは群K に対するより弱い条件であるため、包含関係が得られる。

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

これらの群は、そこで議論されているように、シロー部分群および転送準同型と重要な関連性を持っています。

• 事実上
• コディメンション

• PlanetMathにおける素数指数の部分群の正規性。
• 「最小素数指数の部分群は正規である」Groupprops、群特性Wiki